Construcción de reglas y compases

Cómo crear un hexágono regular con una regla y un compás.

En geometría , la construcción con regla y compás —también conocida como construcción con regla y compás , construcción euclidiana o construcción clásica— es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas utilizando únicamente una regla idealizada y un compás .

Se supone que la regla idealizada, conocida como regla recta , tiene una longitud infinita, un solo borde y ninguna marca. Se supone que el compás no tiene radio máximo ni mínimo, y se supone que se "colapsa" al levantarlo de la página, por lo que no se puede usar directamente para transferir distancias. (Esta es una restricción sin importancia ya que, usando un procedimiento de varios pasos, se puede transferir una distancia incluso con un compás que se colapsa; véase el teorema de equivalencia del compás . Sin embargo, tenga en cuenta que si bien un compás que no se colapsa sostenido contra una regla recta podría parecer equivalente a marcarlo, la construcción de neusis sigue siendo inadmisible y esto es lo que realmente significa sin marcar: véase Reglas marcables más adelante). Más formalmente, las únicas construcciones permisibles son las otorgadas por los tres primeros postulados de los Elementos de Euclides .

Resulta que cualquier punto que se pueda construir usando regla y compás también se puede construir usando solo el compás , o solo la regla si se dispone de un solo círculo y su centro.

Los matemáticos de la antigua Grecia fueron los primeros en concebir construcciones con regla y compás, y varios problemas antiguos de geometría plana imponen esta restricción. Los antiguos griegos desarrollaron muchas construcciones, pero en algunos casos no pudieron llevarlas a cabo. Gauss demostró que algunos polígonos son construibles, pero que la mayoría no lo son. Algunos de los problemas más famosos de regla y compás fueron refutados por Pierre Wantzel en 1837 utilizando la teoría de campos , concretamente la trisección de un ángulo arbitrario y la duplicación del volumen de un cubo (véase § construcciones imposibles ). Muchos de estos problemas son fácilmente resolubles siempre que se permitan otras transformaciones geométricas; por ejemplo, la construcción de neusis puede utilizarse para resolver los dos primeros problemas.

En términos algebraicos , una longitud es construible si y solo si representa un número construible , y un ángulo es construible si y solo si su coseno es un número construible. Un número es construible si y solo si se puede escribir utilizando las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas , pero sin raíces de orden superior.

Regla y compás

La "regla" y el "compás" de las construcciones con regla y compás son versiones idealizadas de las reglas y compases del mundo real .

La regla es un borde infinitamente largo sin marcas. Solo se puede usar para trazar un segmento de línea entre dos puntos o para extender un segmento de línea ya existente.
El compás puede tener un radio arbitrariamente grande sin marcas (a diferencia de algunos compases reales). Se pueden dibujar círculos y arcos circulares a partir de dos puntos dados: el centro y un punto en la circunferencia. El compás puede o no plegarse. ^{[ a ]}
Los segmentos de línea y los círculos construidos tienen precisión infinita y anchura cero.

Los compases reales no se colapsan, y las construcciones geométricas modernas suelen utilizar esta característica. Un «compás plegable» parecería ser un instrumento menos potente. Sin embargo, según el teorema de equivalencia del compás en la Proposición 2 del Libro 1 de los Elementos de Euclides , no se pierde potencia al usar un compás plegable. Aunque la proposición es verdadera, sus demostraciones tienen una larga y compleja historia. ^{[ 1 ]} En cualquier caso, la equivalencia es la razón por la que esta característica no se estipula en la definición del compás ideal.

Cada construcción debe ser matemáticamente exacta . No se permiten estimaciones a ojo de las distancias ^{[ b ]} ni el uso de marcas en una regla. Cada construcción también debe terminar . Es decir, la construcción debe tener un número finito de pasos y no ser el límite de aproximaciones cada vez más precisas. ^{[ c ]}

Dicho así, las construcciones con regla y compás parecen un juego de salón , más que un problema práctico serio. Sin embargo, el propósito de las restricciones es garantizar que se pueda demostrar que las construcciones son exactamente correctas.

Historia

Los antiguos matemáticos griegos intentaron por primera vez construcciones con regla y compás, y descubrieron cómo construir sumas , diferencias , productos , razones y raíces cuadradas de longitudes dadas. ^{[ 2 ]}^{: p. 1} También podían construir la mitad de un ángulo dado , un cuadrado cuya área fuera el doble que la de otro cuadrado, un cuadrado con la misma área que un polígono dado y polígonos regulares de 3, 4 o 5 lados ^{[ 2 ]}^{: p. xi} (o uno con el doble de lados que un polígono dado ^{[ 2 ]}^{: pp. 49-50} ). Pero no podían construir un tercio de un ángulo dado , salvo en casos particulares, ni un cuadrado con la misma área que un círculo dado , ni polígonos regulares con otro número de lados. ^{[ 2 ]}^{: p. xi} Tampoco podían construir el lado de un cubo cuyo volumen fuera el doble del volumen de un cubo con un lado dado. ^{[ 2 ]}^{: p. 29}

Hipócrates y Menaechmus demostraron que el volumen del cubo podía duplicarse hallando las intersecciones de hipérbolas y parábolas , pero estas no pueden construirse con regla y compás. ^{[ 2 ]}^{: p. 30} En el siglo V a. C., Hipias utilizó una curva que llamó cuadratriz para trisecar el ángulo general y cuadrar el círculo, y Nicomedes en el siglo II a. C. mostró cómo utilizar una concoide para trisecar un ángulo arbitrario; ^{[ 2 ]}^{: p. 37} pero estos métodos tampoco pueden seguirse solo con regla y compás.

No se logró ningún progreso en los problemas sin resolver durante dos milenios, hasta que en 1796 Gauss demostró que se podía construir un polígono regular de 17 lados; cinco años después demostró el criterio suficiente para que un polígono regular de n lados fuera construible. ^{[ 2 ]}^{: págs. 51 y ss.}

En 1837, Pierre Wantzel publicó una demostración de la imposibilidad de trisecar un ángulo arbitrario o de duplicar el volumen de un cubo, ^{[ 3 ]} basándose en la imposibilidad de construir raíces cúbicas de longitudes. También demostró que la condición de constructibilidad suficiente de Gauss para polígonos regulares es igualmente necesaria. ^{[ 4 ]}

Luego, en 1882, Lindemann demostró que $\pi$ es un número trascendental , y por lo tanto es imposible, mediante regla y compás, construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado. ^{[ 2 ]}^{: p. 47}

Las construcciones básicas

Todas las construcciones con regla y compás consisten en la aplicación repetida de cinco construcciones básicas utilizando los puntos, líneas y círculos que ya se han construido. Estas son:

Crear una línea que pase por dos puntos
Crear un círculo que contenga un punto y tenga su centro en otro punto.
Crear un punto en la intersección de dos líneas (no paralelas).
Crear uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se intersecan).
Crear uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se intersecan).

Por ejemplo, partiendo de dos puntos distintos, podemos crear una línea o dos círculos (utilizando cada punto como centro y pasando por el otro). Si dibujamos ambos círculos, se crean dos nuevos puntos en sus intersecciones. Al trazar líneas entre los dos puntos originales y uno de estos nuevos puntos, se completa la construcción de un triángulo equilátero.

Por lo tanto, en cualquier problema geométrico tenemos un conjunto inicial de símbolos (puntos y líneas), un algoritmo y algunos resultados. Desde esta perspectiva, la geometría es equivalente a un álgebra axiomática , sustituyendo sus elementos por símbolos. Probablemente Gauss fue el primero en darse cuenta de esto y lo utilizó para demostrar la imposibilidad de algunas construcciones; solo mucho más tarde Hilbert halló un conjunto completo de axiomas para la geometría .

Construcciones comunes con regla y compás

Las construcciones más utilizadas con regla y compás incluyen:

Construcción de la mediatriz a partir de un segmento
Encontrar el punto medio de un segmento.
Trazar una línea perpendicular desde un punto a una línea.
Bisecar un ángulo
Reflejar un punto en una línea
Construir una línea que pase por un punto y sea tangente a un círculo.
Construir un círculo que pase por 3 puntos no colineales.
Trazar una línea que pase por un punto dado y que sea paralela a una línea dada.

Puntos construibles

Podemos asociar un álgebra a nuestra geometría utilizando un sistema de coordenadas cartesianas formado por dos líneas, y representar los puntos de nuestro plano mediante vectores . Finalmente, podemos escribir estos vectores como números complejos.

Utilizando las ecuaciones de rectas y circunferencias, se puede demostrar que los puntos donde se intersecan se encuentran en una extensión cuadrática del cuerpo más pequeño F que contiene dos puntos en la recta, el centro de la circunferencia y el radio de la circunferencia. Es decir, tienen la forma $x+y={\sqrt {k}}$ donde x , y y k están en F.

Dado que el cuerpo de puntos construibles es cerrado bajo raíces cuadradas , contiene todos los puntos que se pueden obtener mediante una secuencia finita de extensiones cuadráticas del cuerpo de números complejos con coeficientes racionales. Según lo expuesto en el párrafo anterior, cualquier punto construible se puede obtener mediante dicha secuencia de extensiones. Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un punto construible (y, por lo tanto, para cualquier longitud construible) es una potencia de $2.$ En particular, cualquier punto (o longitud) construible es un número algebraico , aunque no todo número algebraico es construible; por ejemplo, $3\sqrt2 es algebraico$ pero no construible. ^{[ 3 ]}

Ángulos construibles

Existe una biyección entre los ángulos que se pueden construir y los puntos que se pueden construir en cualquier círculo construible. Los ángulos que se pueden construir forman un grupo abeliano bajo la suma módulo 2π (que corresponde a la multiplicación de los puntos en el círculo unitario vistos como números complejos). Los ángulos que se pueden construir son precisamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, seno o coseno) se puede construir como un número. Por ejemplo, el heptadecágono regular (el polígono regular de diecisiete lados ) se puede construir porque

{\begin{aligned}\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}&=\,-{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\\[5mu]&\qquad +\,{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\end{aligned}}

como lo descubrió Gauss . ^{[ 5 ]}

El grupo de ángulos construibles es cerrado bajo la operación de dividir ángulos por la mitad (que corresponde a la raíz cuadrada de los números complejos). Los únicos ángulos de orden finito que se pueden construir a partir de dos puntos son aquellos cuyo orden es una potencia de dos o el producto de una potencia de dos y un conjunto de primos de Fermat distintos . Además, existe un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.

Relación con la aritmética compleja

Dado un conjunto de puntos en el plano euclidiano , al seleccionar uno de ellos para llamarlo 0 y otro para llamarlo 1 , junto con una elección arbitraria de orientación, podemos considerar los puntos como un conjunto de números complejos .

Dada cualquier interpretación de un conjunto de puntos como números complejos, los puntos construibles mediante construcciones válidas con regla y compás son precisamente los elementos del cuerpo más pequeño que contiene el conjunto original de puntos y que es cerrado bajo las operaciones de conjugado complejo y raíz cuadrada (para evitar ambigüedad, podemos especificar la raíz cuadrada con un argumento complejo menor que π). Los elementos de este cuerpo son precisamente aquellos que pueden expresarse como una fórmula en los puntos originales utilizando únicamente las operaciones de suma , resta , multiplicación , división , conjugado complejo y raíz cuadrada , que se ve fácilmente que es un subconjunto denso y numerable del plano. Cada una de estas seis operaciones corresponde a una construcción simple con regla y compás. A partir de dicha fórmula, es sencillo producir una construcción del punto correspondiente combinando las construcciones para cada una de las operaciones aritméticas. Las construcciones más eficientes de un conjunto particular de puntos corresponden a atajos en dichos cálculos.

De forma equivalente (y sin necesidad de elegir arbitrariamente dos puntos), podemos decir que, dada una orientación arbitraria, un conjunto de puntos determina un conjunto de razones complejas dadas por las razones de las diferencias entre cualesquiera dos pares de puntos. El conjunto de razones que se puede construir con regla y compás a partir de dicho conjunto de razones es precisamente el cuerpo más pequeño que contiene las razones originales y que es cerrado al tomar conjugados complejos y raíces cuadradas.

Por ejemplo, la parte real, la parte imaginaria y el módulo de un punto o razón z (tomando uno de los dos puntos de vista anteriores) son construibles ya que pueden expresarse como

\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\;

\mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\;

\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}.\;

Duplicar el cubo y trisecar un ángulo (excepto ángulos especiales como cualquier φ tal que φ /(2 $π$ )) sea un número racional con denominador no divisible por 3) requieren razones que son la solución de ecuaciones cúbicas , mientras que cuadrar el círculo requiere una razón trascendental . Ninguna de estas razones se encuentra en los campos descritos, por lo que no existe una construcción con regla y compás para ellas.

Construcciones imposibles

Los antiguos griegos pensaban que los problemas de construcción que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. ^{[ 6 ]} Sin embargo, con los métodos modernos, se ha demostrado que estas construcciones con regla y compás son lógicamente imposibles de realizar.

Cuadrar el círculo

El más famoso de estos problemas, la cuadratura del círculo , también conocida como cuadratura del círculo , consiste en construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado utilizando únicamente regla y compás.

Se ha demostrado que cuadrar el círculo es imposible, ya que implica generar un número trascendental . ${\sqrt {\pi }}$ Solo ciertos números algebraicos pueden construirse únicamente con regla y compás, concretamente aquellos formados a partir de los números enteros mediante una secuencia finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas. Por este motivo, la expresión «cuadrar el círculo» se usa a menudo para referirse a «hacer lo imposible».

Sin la restricción de requerir una solución solo con regla y compás, el problema se puede resolver fácilmente mediante una amplia variedad de medios geométricos y algebraicos; fue resuelto muchas veces en la antigüedad. ^{[ 7 ]}

Se puede lograr un método que se aproxima mucho a la "cuadratura del círculo" utilizando un triángulo de Kepler .

Duplicar el cubo

Duplicar el cubo es la construcción, utilizando únicamente regla y compás, de la arista de un cubo que tiene el doble de volumen que otro cubo con una arista dada. Esto es imposible porque ${\sqrt[{3}]{2}}$ Aunque es algebraica, no se puede calcular a partir de números enteros mediante suma, resta, multiplicación, división ni extracción de raíces cuadradas. Esto se debe a que su polinomio mínimo sobre los racionales tiene grado 3. Esta construcción es posible utilizando una regla con dos marcas y un compás.

Trisección angular

La trisección de ángulos consiste en construir, utilizando únicamente una regla y un compás, un ángulo que sea un tercio de un ángulo arbitrario dado. Esto es imposible en el caso general. Por ejemplo, una construcción con regla y compás no puede trisecar un ángulo de 60° (construyendo un ángulo de 20°). Como demostró Arquímedes , una construcción de neusis puede trisecar ángulos arbitrarios utilizando una regla con dos marcas. ^{[ 8 ]}

Distancia a una elipse

El segmento de recta desde cualquier punto del plano hasta el punto más cercano de una circunferencia puede construirse, pero el segmento desde cualquier punto del plano hasta el punto más cercano de una elipse de excentricidad positiva no puede, en general, construirse. ^{[ 9 ]} Nótese que los resultados aquí demostrados son principalmente consecuencia de la no constructividad de las cónicas. Si se considera la cónica inicial como dada, entonces la demostración debe revisarse para comprobar si es necesario generar otras cónicas distintas. Por ejemplo, se conocen construcciones para las normales de una parábola, pero requieren el uso de una intersección entre una circunferencia y la parábola misma. Por lo tanto, no son constructibles en el sentido de que la parábola no es constructible.

El problema de Alhazen

En 1997, el matemático de Oxford Peter M. Neumann demostró el teorema de que no existe una construcción con regla y compás para la solución general del antiguo problema de Alhazen (problema del billar o reflexión en un espejo esférico). ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Construcción de polígonos regulares

Algunos polígonos regulares (por ejemplo, un pentágono ) son fáciles de construir con regla y compás; otros no. Esto plantea la siguiente pregunta: ¿Es posible construir todos los polígonos regulares con regla y compás?

En 1796, Carl Friedrich Gauss demostró que se puede construir un polígono regular de 17 lados, y cinco años después demostró que se puede construir un polígono regular de n lados con regla y compás si los factores primos impares de n son primos de Fermat distintos . Gauss conjeturó que esta condición también era necesaria ; la conjetura fue demostrada por Pierre Wantzel en 1837. ^{[ 4 ]}

Los primeros polígonos regulares construibles tienen el siguiente número de lados:

3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51 , 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272... (secuencia A003401 en el OEIS )

Se sabe que existe una infinidad de polígonos regulares construibles con un número par de lados (porque si un n -gono regular es construible, también lo es un 2n-gono regular y , por lo tanto, un 4n- gono regular , un 8n- gono regular, etc.). Sin embargo, solo se conocen 5 números primos de Fermat, lo que da como resultado solo 31 n- gonos regulares construibles conocidos con un número impar de lados.

Construir un triángulo a partir de tres puntos o longitudes características dadas.

Dieciséis puntos clave de un triángulo son sus vértices , los puntos medios de sus lados , los pies de sus alturas , los pies de las bisectrices de sus ángulos internos , y su circuncentro , baricentro , ortocentro e incentro . Estos se pueden tomar de tres en tres para producir 139 problemas distintos no triviales de construcción de un triángulo a partir de tres puntos. ^{[ 12 ]} De estos problemas, tres involucran un punto que se puede construir de forma única a partir de los otros dos puntos; 23 se pueden construir de forma no única (de hecho, para infinitas soluciones) pero solo si las ubicaciones de los puntos obedecen ciertas restricciones; en 74 el problema es construible en el caso general; y en 39 el triángulo requerido existe pero no es construible.

Doce longitudes clave de un triángulo son las longitudes de los tres lados, las tres alturas , las tres medianas y las tres bisectrices de los ángulos . Junto con los tres ángulos, estas dan lugar a 95 combinaciones distintas, 63 de las cuales forman un triángulo construible, 30 no lo forman y dos están indefinidas. ^{[ 13 ]}^{: pp. 201–203}

Construcciones restringidas

Se han realizado diversos intentos para restringir las herramientas permitidas en las construcciones según diferentes normas, con el fin de determinar qué sigue siendo construible y cómo se puede construir, así como determinar los criterios mínimos necesarios para poder construir todo lo que se puede hacer con compás y regla.

Construir utilizando únicamente regla o únicamente compás.

Según el teorema de Mohr-Mascheroni , es posible construir cualquier cosa con un compás si se puede construir con regla y compás, siempre que los datos dados y los datos a encontrar consistan en puntos discretos (no líneas ni círculos). La veracidad de este teorema depende de la veracidad del axioma de Arquímedes , ^{[ 14 ]} que no es de primer orden. Ejemplos de construcciones solo con compás incluyen el problema de Napoleón .

No se puede decir lo mismo de las construcciones que utilizan únicamente una regla . Usando solo una regla, es imposible calcular la raíz cuadrada o marcar el punto medio de un segmento; pero (según el teorema de Poncelet-Steiner ) dado un círculo y su centro, se pueden construir.

Construcciones extendidas

Los antiguos griegos clasificaban las construcciones en tres categorías principales, según la complejidad de las herramientas necesarias para su solución. Si una construcción utilizaba únicamente regla y compás, se denominaba plana; si además requería una o más secciones cónicas (distintas del círculo), se denominaba sólida; la tercera categoría incluía todas las construcciones que no se ajustaban a ninguna de las dos anteriores. ^{[ 15 ]} Esta categorización encaja perfectamente con el punto de vista algebraico moderno. Un número complejo que puede expresarse utilizando únicamente operaciones de campo y raíces cuadradas (como se describió anteriormente ) tiene una construcción plana. Un número complejo que incluye además la extracción de raíces cúbicas tiene una construcción sólida.

En el lenguaje de los campos, un número complejo planar tiene grado potencia de dos y se encuentra en una extensión de campo que puede descomponerse en una torre de campos donde cada extensión tiene grado dos. Un número complejo de construcción sólida tiene grado con factores primos de dos y tres, y se encuentra en una extensión de campo que está en la cima de una torre de campos donde cada extensión tiene grado 2 o 3.

Construcciones sólidas

Un punto tiene una construcción sólida si se puede construir utilizando una regla, un compás y una herramienta de dibujo cónico (posiblemente hipotética) que pueda dibujar cualquier cónica con foco, directriz y excentricidad ya construidos. El mismo conjunto de puntos a menudo se puede construir utilizando un conjunto más pequeño de herramientas. Por ejemplo, utilizando un compás, una regla y un trozo de papel en el que tenemos la parábola ^y= x² junto con los puntos (0,0) y (1,0), se puede construir cualquier número complejo que tenga una construcción sólida. Del mismo modo, una herramienta que pueda dibujar cualquier elipse con focos y eje mayor ya construidos (piense en dos alfileres y un trozo de cuerda) es igual de potente. ^[¹⁶^]

Los antiguos griegos sabían que tanto duplicar el cubo como trisecar un ángulo arbitrario tenían construcciones sólidas. Arquímedes dio una construcción neusis del heptágono regular , que fue interpretada por comentaristas árabes medievales, Bartel Leendert van der Waerden y otros como basada en una construcción sólida, pero esto ha sido cuestionado, ya que son posibles otras interpretaciones. ^{[ 17 ]} La cuadratura del círculo no tiene una construcción sólida.

Un n -gono regular tiene una construcción sólida si y solo si n = 2 ^a 3 ^b m donde a y b son algunos enteros no negativos y m es un producto de cero o más primos de Pierpont distintos (primos de la forma 2 ^r 3 ^s + 1). Por lo tanto, un n -gono regular admite una construcción sólida, pero no planar, si y solo si n está en la secuencia

7 , 9 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42 , 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97... (secuencia A051913 en el OEIS )

El conjunto de n para los cuales un n -gono regular no tiene una construcción sólida es la secuencia

11 , 22 , 23 , 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100... (secuencia A048136 en el OEIS )

Al igual que ocurre con la cuestión de los números primos de Fermat, sigue siendo una incógnita si existe un número infinito de números primos de Pierpont.

Trisección angular

¿Qué pasaría si, además de la regla y el compás, tuviéramos una herramienta que pudiera (solo) trisecar un ángulo arbitrario? Tales construcciones son sólidas, pero existen números con construcciones sólidas que no se pueden construir con dicha herramienta. Por ejemplo, no podemos duplicar el cubo con ella. ^{[ 18 ]} Por otro lado, todo n-gono regular que tenga una construcción sólida se puede construir con dicha herramienta.

Origami

La teoría matemática del origami es más potente que la construcción con regla y compás. Los pliegues que satisfacen los axiomas de Huzita-Hatori pueden construir exactamente el mismo conjunto de puntos que las construcciones extendidas que utilizan un compás y una herramienta de dibujo cónico. Por lo tanto, el origami también puede utilizarse para resolver ecuaciones cúbicas (y, por consiguiente, ecuaciones cuárticas), y así resolver dos de los problemas clásicos. ^{[ 19 ]}

Reglas marcables

Arquímedes , Nicomedes y Apolonio propusieron construcciones que implicaban el uso de una regla con marcas. Esto les permitía, por ejemplo, tomar un segmento de recta, dos rectas (o círculos) y un punto; y luego trazar una recta que pasara por el punto dado e intersecara las dos rectas dadas, de modo que la distancia entre los puntos de intersección fuera igual al segmento dado. Los griegos lo llamaban neusis ("inclinación", "tendencia" o "vergencia"), porque la nueva recta tendía al punto. En este esquema ampliado, podemos trisecar un ángulo arbitrario (véase la trisección de Arquímedes ) o extraer una raíz cúbica arbitraria (debido a Nicomedes). Por lo tanto, cualquier distancia cuya razón con respecto a una distancia existente sea la solución de una ecuación cúbica o cuártica es construible. Usando una regla con marcas, se pueden construir polígonos regulares con construcciones sólidas, como el heptágono ; y John H. Conway y Richard K. Guy proporcionan construcciones para varios de ellos. ^[²⁰^]

La construcción de neusis es más potente que una herramienta de dibujo cónico, ya que permite construir números complejos que no tienen construcciones sólidas. De hecho, con esta herramienta se pueden resolver algunos quínticos que no se pueden resolver con radicales . ^{[ 21 ]} Se sabe que no se puede resolver un polinomio irreducible de grado primo mayor o igual a 7 con la construcción de neusis, por lo que no es posible construir un polígono regular de 23 o 29 polígonos con esta herramienta. Benjamin y Snyder demostraron que es posible construir el polígono regular de 11 polígonos, pero no proporcionaron una construcción. ^{[ 22 ]} Aún queda por determinar si un polígono regular de 25 o 31 polígonos es construible con esta herramienta.

Cálculo de dígitos binarios

En 1998, Simon Plouffe presentó un algoritmo de regla y compás que puede utilizarse para calcular dígitos binarios de ciertos números, como $\arctan(1/2)/\pi$ El algoritmo implica la duplicación repetida de un ángulo y se vuelve físicamente impracticable después de unos 20 dígitos binarios. ^{[ 23 ]}

Véase también

Círculo de Carlyle
Geometrografía
Lista de software de geometría interactiva ; la mayoría muestra construcciones con regla y compás.
Matemáticas del plegado de papel
Underwood Dudley , un matemático que se ha dedicado paralelamente a coleccionar demostraciones falsas realizadas con regla y compás.

Notas

↑ La brújula puede plegarse después de ser retirada de la página, borrando su radio "almacenado".
↑ Por ejemplo, observar la construcción y adivinar su precisión.
↑ Si se permite un número ilimitado de pasos, algunas construcciones que de otro modo serían imposibles se vuelven posibles mediante secuencias infinitas que convergen a un límite.

Referencias

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Enlaces externos

Construcciones de polígonos regulares por el Dr. Math en The Math Forum @ Drexel
Construcción con brújula únicamente en cut-the-knot
Trisección de ángulos por Hipócrates en Cut-the-knot
Weisstein, Eric W. "Trisección de ángulos" . MundoMatemático .

[1] La brújula puede plegarse después de ser retirada de la página, borrando su radio "almacenado".

[3] Por ejemplo, observar la construcción y adivinar su precisión.

[4] Si se permite un número ilimitado de pasos, algunas construcciones que de otro modo serían imposibles se vuelven posibles mediante secuencias infinitas que convergen a un límite.

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