Hispanopedia WikiEn geometría , una construcción de Steiner —también conocida como construcción solo con regla [ 1 ] — consiste en la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas utilizando únicamente una regla idealizada . Es similar a las construcciones con compás y regla, con la diferencia de que no se dispone del compás .
Se supone que la regla idealizada, conocida como escuadra , tiene una longitud infinita, un solo borde y ninguna marca. Se puede usar para trazar una línea entre dos puntos marcados en un plano y para construir los puntos de intersección entre dos líneas cualesquiera.
La regla es estrictamente menos precisa que la combinación de regla y compás; una regla solo puede producir invariantes proyectivas de la configuración inicial. Por ejemplo, no se puede marcar el punto medio de un segmento usando solo una regla, ya que una transformación proyectiva puede desplazarlo a otro lugar. Esto contrasta con el teorema de Mohr-Mascheroni , que establece que toda construcción con regla y compás puede realizarse solo con un compás.
Se dice que un conjunto de puntos o líneas es construible según el método de Steiner si puede construirse utilizando únicamente una regla. Compárese esto con el término «construible» , que incluye construcciones que implican el uso de un compás.
Resulta que, si se conoce inicialmente un círculo y su centro, cualquier construcción con regla y compás es posible utilizando solo una regla, lo que la hace tan eficaz como un compás. Este resultado se conoce como el teorema de Poncelet-Steiner .
Historia
El término construcción de Steiner recibe su nombre de Jakob Steiner , quien demostró por primera vez el teorema de Poncelet-Steiner en 1833, un teorema importante sobre construcciones que solo utilizan reglas. Desde entonces, el término se usa para referirse a construcciones geométricas que solo involucran una regla. [ 1 ]
Construcciones
En el libro La regla en las construcciones geométricas (1961), A. Smogorzhevskii presenta múltiples construcciones posibles utilizando únicamente una regla. El libro también contiene demostraciones elementales de estas construcciones. [ 2 ]
conjugado armónico
Dados tres puntos A , B y C sobre una línea recta, se puede construir el conjugado armónico D del punto C con respecto a A y B. Esto se logra aprovechando el teorema de Ceva y el teorema de Menelao .
Como corolario, si se conocen dos puntos A y B con su punto medio M dado, se puede trazar una recta paralela a la recta AB que pase por cualquier punto dado. Lo contrario también es cierto.
La versión dual es la siguiente: dadas tres líneas a , b , c que pasan por un punto común, se puede construir la línea d que, junto con la línea c , divide armónicamente las líneas a y b .
Polo y polar
Dada una sección cónica q y un punto P que no pertenece a dicha sección, es posible construir la línea polar π del punto P. Recíprocamente, si se conoce una línea recta π , es posible construir su polo P sobre la sección cónica.
Tangente a una cónica
Dada una sección cónica q y un punto P , es posible trazar tangentes a q que pasen por el punto P. Esta trazado es posible independientemente de si P se encuentra o no en la sección cónica.
Smogorzhevskii (2021) proporciona una construcción elemental de este resultado en su libro, pero también es posible dar una demostración para el caso del círculo utilizando geometría analítica y trigonometría. [ 3 ]
Determinar si seis puntos se encuentran sobre una cónica
Dados 6 puntos A , B , C , D , E , F , se puede determinar utilizando únicamente una regla si todos ellos se encuentran en la misma sección cónica.
La versión dual es la siguiente: dadas cualesquiera 6 líneas a , b , c , d , e , f , se puede determinar si inscriben una única sección cónica.
Blaise Pascal demostró el primero en 1639 utilizando el teorema de Pascal , que reduce la comprobación de si seis puntos se encuentran en una cónica a verificar si tres puntos son colineales. La versión dual puede demostrarse utilizando el teorema de Brianchon . [ 4 ]
En 2021, Traves y Wehlau encontraron un método que solo utiliza una regla para comprobar si 10 puntos se encuentran en la misma curva cúbica . [ 4 ]
Construcciones con dos líneas paralelas dadas
Si inicialmente se dan dos líneas paralelas l y m , son posibles las siguientes:
- Biseca un segmento AB dado en la línea l .
- Dibuja una línea que pase por un punto dado P paralela a las líneas dadas l y m .
- Dado el segmento AB y el punto C en la línea l , construya el segmento CD en la línea l de tal manera que CD = n · AB ( n es un número entero).
- Dado el segmento AB en la línea l , divida AB en n partes iguales ( n es un número entero).
Construcciones con un paralelogramo o cuadrado dado
Si inicialmente se proporciona cualquier paralelogramo , es posible lo siguiente:
- Dibuja una línea que pase por un punto dado P y sea paralela a cualquier línea dada l .
Si se proporciona inicialmente cualquier cuadrado , son posibles las siguientes opciones:
- Dibuja una línea que pase por un punto dado P y sea perpendicular a cualquier línea dada l . Esta construcción funciona independientemente de si P está sobre la línea l o no.
- Biseca cualquier ángulo recto dado .
Teorema de Poncelet-Steiner
El teorema de Poncelet-Steiner establece que basta con un círculo y su centro para que una regla pueda realizar cualquier construcción con regla y compás . El teorema fue propuesto por primera vez por Jean Victor Poncelet en 1822 y demostrado por Jakob Steiner en 1833.
Esto demuestra que, si bien el compás puede facilitar las construcciones, ya no es necesario una vez que se ha dibujado el primer círculo. Todas las construcciones posteriores se pueden realizar utilizando únicamente la regla, aunque los arcos de los círculos no se pueden dibujar sin el compás.
Otras variantes del teorema también dan el mismo resultado, como cuando se dan dos círculos que se intersecan (sin sus centros) o dos círculos concéntricos.
Limitaciones
La regla es estrictamente menos precisa que la combinación de regla y compás. Esto se debe a que la regla solo puede generar invariantes proyectivas de la configuración inicial. Dado que las longitudes no se conservan bajo transformaciones proyectivas , ninguna construcción geométrica que involucre longitudes es posible utilizando únicamente una regla.
Por ejemplo, sin información adicional, es imposible calcular los puntos medios, ya que existe una transformación proyectiva que los desplaza a otro lugar. Del mismo modo, es imposible trazar líneas paralelas utilizando únicamente una regla.
Otro ejemplo es que, dado un círculo en el plano, es imposible determinar su centro utilizando únicamente una regla. Esto fue demostrado por primera vez por David Hilbert mediante una transformación proyectiva del plano sobre sí mismo, de modo que el círculo dado permanece fijo, pero su centro no se conserva. [ 5 ] Esto también evidencia la importancia del centro del círculo en el teorema de Poncelet-Steiner.
Esto demuestra que una regla solo puede lograr resultados que permite la geometría proyectiva, que son muchos menos que el conjunto completo de construcciones con regla y compás descritas en los Elementos de Euclides .
Referencias
- 1 2 Weisstein, Eric W. "Construcción Steiner" . MathWorld . Consultado el 8 de septiembre de 2025 .
- ↑ Smogorzhevskii, AS (1961). La regla en las construcciones geométricas (Conferencias populares de matemáticas, vol. 5) .
- ↑ Stupel, Moshe; Oxman, Victor; Sigler, Avi. "Más sobre construcciones geométricas de una tangente a un círculo con una regla solamente" (PDF) . The Electronic Journal of Mathematics and Technology . 8 (1). ISSN 1933-2823 .
- 1 2 Traves, Will; Wehlau, David (2021). "Diez puntos en una cúbica". arXiv : 2105.12058 [ math.AG ].
- ↑ Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996). ¿Qué son las matemáticas? Un enfoque elemental de ideas y métodos (PDF) . Oxford University Press. pág. 152. ISBN 0195105192.
Lecturas adicionales
- Smogorzhevskii, AS (1961). La regla en las construcciones geométricas (Conferencias populares de matemáticas, vol. 5) .
- Coxeter, HSM (2003). Geometría proyectiva (2.ª ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.
- Construcciones con regla y compás