Mecánica geométrica

La mecánica geométrica es una rama de las matemáticas que aplica métodos geométricos particulares a muchas áreas de la mecánica , desde la mecánica de partículas y cuerpos rígidos hasta la mecánica de fluidos y la teoría de control .

La mecánica geométrica se aplica principalmente a sistemas cuyo espacio de configuración es un grupo de Lie o un grupo de difeomorfismos o, de manera más general, donde algún aspecto del espacio de configuración tiene esta estructura de grupo. Por ejemplo, el espacio de configuración de un cuerpo rígido, como un satélite, es el grupo de movimientos euclidianos (traslaciones y rotaciones en el espacio), mientras que el espacio de configuración de un cristal líquido es el grupo de difeomorfismos acoplados a un estado interno (simetría de calibre o parámetro de orden).

Mapa de momento y reducción

Una de las ideas principales de la mecánica geométrica es la reducción , que se remonta a la eliminación del nodo de Jacobi en el problema de los 3 cuerpos, pero que en su forma moderna se debe a K. Meyer (1973) e independientemente a JE Marsden y A. Weinstein (1974), ambos inspirados en el trabajo de Smale (1970). La simetría de un sistema hamiltoniano o lagrangiano da lugar a cantidades conservadas, por el teorema de Noether , y estas cantidades conservadas son los componentes de la función de momento J. Si P es el espacio de fases y G el grupo de simetría, la función de momento es una función , y los espacios reducidos son cocientes de los conjuntos de nivel de J por el subgrupo de G que conserva el conjunto de nivel en cuestión: para uno define , y este espacio reducido es una variedad simpléctica si es un valor regular de J. $\mathbf {J} :P\to {\mathfrak {g}}^{*}$ $\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}$ $P_{\mu }=\mathbf {J} ^{-1}(\mu )/G_{\mu }$ ${\estilo de visualización \mu}$

Principios variacionales

Principio de Hamilton
Principio de Lagrange d'Alembert
Principio de mínima acción de Maupertuis
Euler-Poincaré
Vakonomic

Integradores geométricos

Uno de los avances más importantes que se han producido a partir del enfoque geométrico de la mecánica es la incorporación de la geometría a los métodos numéricos. En particular, los integradores simplécticos y variacionales están demostrando ser particularmente precisos para la integración a largo plazo de sistemas hamiltonianos y lagrangianos.

Historia

El término "mecánica geométrica" se refiere ocasionalmente a la mecánica del siglo XVII. ^[1]

Como disciplina moderna, la mecánica geométrica tiene sus raíces en cuatro obras escritas en la década de 1960: Vladimir Arnold (1966), Stephen Smale (1970) y Jean-Marie Souriau (1970), y la primera edición de la Fundación de la Mecánica de Abraham y Marsden (1967). El trabajo fundamental de Arnold demostró que las ecuaciones de Euler para el cuerpo rígido libre son las ecuaciones para el flujo geodésico en el grupo de rotación SO(3) y trasladó esta visión geométrica a la dinámica de los fluidos ideales, donde el grupo de rotación se sustituye por el grupo de difeomorfismos que preservan el volumen. El artículo de Smale sobre Topología y Mecánica investiga las cantidades conservadas que surgen del teorema de Noether cuando un grupo de simetrías de Lie actúa sobre un sistema mecánico, y define lo que ahora se llama el mapa de momento (que Smale llama momento angular), y plantea preguntas sobre la topología de las superficies de nivel de energía-momento y el efecto sobre la dinámica. En su libro, Souriau también considera las cantidades conservadas que surgen de la acción de un grupo de simetrías, pero se concentra más en las estructuras geométricas involucradas (por ejemplo, las propiedades de equivariancia de este momento para una amplia clase de simetrías) y menos en cuestiones de dinámica.

Estas ideas, y particularmente las de Smale, fueron centrales en la segunda edición de Fundamentos de Mecánica (Abraham y Marsden, 1978).

Aplicaciones

Gráficos de computadora
Teoría del control: véase Bloch (2003)
Cristales líquidos: véase Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)
Magnetohidrodinámica
Oscilaciones moleculares
Restricciones no holonómicas: véase Bloch (2003)
Estabilidad no lineal
Plasmas: véase Holm, Marsden, Weinstein (1985)
Mecánica cuántica
Química cuántica: véase Foskett, Holm, Tronci (2019)
Superfluidos
Termodinámica: véase Gay-Balmaz, Yoshimra (2018)
Planificación de trayectorias para la exploración espacial
Vehículos submarinos
Integradores variacionales; véase Marsden y West (2001)

Referencias

^ Sébastien Maronne, Marco Panza. "Euler, lector de Newton: mecánica y análisis algebraico". En: Raffaelle Pisano. Newton, Historia y epistemología histórica de la ciencia , 2014, pp. 12-21.

Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de mecánica (2.ª ed.), Addison-Wesley
Arnold, Vladimir (1966), "Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses apps a l'hydrodynamique des fluides parfaits" (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 16 : 319– 361, doi : 10.5802 /aif.233
Arnold, Vladimir (1978), Métodos matemáticos para la mecánica clásica , Springer-Verlag
Bloch, Anthony (2003). Mecánica y control no holonómicos . Springer-Verlag.
Foskett, Michael S.; Holm, Darryl D.; Tronci, Cesare (2019). "Geometría de la hidrodinámica cuántica no adiabática". Acta Applicandae Mathematicae . 162 (1): 63– 103. arXiv : 1807.01031 . doi :10.1007/s10440-019-00257-1. S2CID 85531406.
Gay-Balmaz, Francois; Ratiu, Tudor ; Tronci, Cesare (2013). "Teorías equivalentes de la dinámica de cristales líquidos". Arch. Ration. Mech. Anal . 210 (3): 773– 811. arXiv : 1102.2918 . Código Bibliográfico :2013ArRMA.210..773G. doi :10.1007/s00205-013-0673-1. S2CID 14968950.
Holm, Darryl D.; Marsden, Jerrold E. ; Ratiu, Tudor S. ; Weinstein, Alan (1985). "Estabilidad no lineal de equilibrios de fluidos y plasma". Physics Reports . 123 ( 1– 2): 1– 116. Bibcode :1985PhR...123....1H. doi :10.1016/0370-1573(85)90028-6.
Libermann, Paulette ; Marle, Charles-Michel (1987). Geometría simpléctica y mecánica analítica . Matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 35. Dordrecht: D. Reidel. doi :10.1007/978-94-009-3807-6. ISBN 90-277-2438-5.
Marsden, Jerrold ; Weinstein, Alan (1974), "Reducción de variedades simplécticas con simetría", Reports on Mathematical Physics , 5 (1): 121– 130, Bibcode :1974RpMP....5..121M, doi :10.1016/0034-4877(74)90021-4
Marsden, Jerrold ; Ratiu, Tudor S. (1999). Introducción a la mecánica y la simetría . Textos de Matemáticas Aplicadas (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98643-X.
Meyer, Kenneth (1973). "Simetrías e integrales en mecánica". Sistemas dinámicos (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971) . Nueva York: Academic Press. pp. 259– 272.
Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. (2004). Mapas de momento y reducción hamiltoniana . Progreso en Matemáticas. Vol. 222. Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
Smale, Stephen (1970), "Topología y mecánica I", Inventiones Mathematicae , 10 (4): 305– 331, Bibcode :1970InMat..10..305S, doi :10.1007/bf01418778, S2CID 189831616
Souriau, Jean-Marie (1970), Estructura de los sistemas dinámicos , Dunod

[1] Sébastien Maronne, Marco Panza. "Euler, lector de Newton: mecánica y análisis algebraico". En: Raffaelle Pisano. Newton, Historia y epistemología histórica de la ciencia , 2014, pp. 12-21.