Teorema de división de Geroch

En la teoría de la estructura causal en variedades lorentzianas , el teorema de Geroch o teorema de escisión de Geroch (demostrado por primera vez por Robert Geroch ) proporciona una caracterización topológica de los espaciotiempos globalmente hiperbólicos . Este teorema fue mejorado por A. N. Bernal y M. Sánchez, quienes demostraron no solo la escisión suave global ^{[ 1 ]} sino también una escisión ortogonal de Cauchy global ^{[ 2 ]} , distinguiendo así claramente una segmentación del espacio de una familia asociada de observadores .

Una superficie de Cauchy puede tener esquinas y, por lo tanto, no necesariamente es una subvariedad diferenciable del espaciotiempo; sin embargo, siempre es continua (e incluso Lipschitz continua ). Utilizando el flujo de un campo vectorial elegido como completo, suave y de tipo temporal, es elemental demostrar que si una superficie de Cauchy S es C ^k -suave, entonces el espaciotiempo es C ^k -difeomorfo al producto S × R , y que cualesquiera dos de dichas superficies de Cauchy son C ^k -difeomorfas. ^{[ 3 ]}

Robert Geroch demostró en 1970 que todo espaciotiempo globalmente hiperbólico tiene una superficie de Cauchy ^S , y que el homeomorfismo (como un difeomorfismo C0 ) a S × R puede seleccionarse de manera que toda superficie de la forma S × { a } sea una superficie de Cauchy y cada curva de la forma { s } × R sea una curva temporal continua. ^{[ 4 ]}

Los libros de texto fundamentales, como * The Large Scale Structure of Space-Time* de Stephen Hawking y George Ellis, afirmaban que las técnicas de suavizado permiten reforzar el resultado de Geroch, pasando de un contexto topológico a uno suave. Para ello, se cita la tesis de Seifert ^{[ 5 ]} . Sin embargo, la demostración de este resultado (publicada posteriormente como artículo ^{[ 6 ]} ) se consideró matemáticamente insuficiente. De hecho, Sachs y Wu ^{[ 7 ]} acuñaron el término "teorema popular" para la pregunta subyacente más simple: si un espaciotiempo globalmente hiperbólico admite una hipersuperficie suave de tipo espacial . Los libros estándar de Geometría Lorentziana citan a Sachs y Wu ^{[ 8 ]} o ignoran a Seifert, centrándose exclusivamente en las propiedades topológicas ^{[ 9 ] .}

Bernal y Sánchez ^{[ 10 ]} demostraron la existencia de una hipersuperficie de Cauchy suave de tipo espacial y, luego, reforzaron la teoría topológica de Geroch a la${\displaystyle C^{k}}$categoría. La demostración introduce un procedimiento original que parte del homeomorfismo de Geroch y utiliza funciones definidas localmente de tipo${\displaystyle h_{p}(q)=e^{-(1/d(p,q)^{2})}}$, dónde${\displaystyle d}$es la llamada distancia lorentziana. Dicha función es suave en entornos convexos y su gradiente es de tipo temporal cuando no es nulo. Esta última propiedad es esencial para asegurar la no degeneración de la hipersuperficie de Cauchy, que se obtiene como un valor regular para una función obtenida como una suma localmente finita de funciones.${\displaystyle h_{p}}$'s.

Además, estos autores ^{[ 11 ]} dieron una división de los espaciotiempos globalmente hiperbólicos mucho más refinada que la topológica de Geroch, que ni siquiera se había conjeturado antes. Específicamente, la división de Bernal-Sánchez es una isometría suave entre el espaciotiempo globalmente hiperbólico y el producto ortogonal.${\displaystyle \mathbb {R} \times S}$, dónde${\displaystyle S}$una hipersuperficie de Cauchy suave. La demostración se basa en la construcción de una función temporal de Cauchy.${\displaystyle \tau }$, definido por las propiedades:

• (a)${\displaystyle \tau }$es temporal , es decir, suave con gradiente que apunta al pasado. En particular, esto implica que${\displaystyle \tau }$es una función del tiempo , es decir, es continua y estrictamente creciente en curvas causales dirigidas hacia el futuro, y
• (b)${\displaystyle \tau }$es Cauchy , es decir, las rebanadas${\displaystyle \tau ={\text{constante}}}$son hipersuperficies de Cauchy.

El resultado formal es entonces el siguiente.

Teorema. (División de Bernal-Sánchez) Cualquier espaciotiempo globalmente hiperbólico es isométrico al producto ortogonal suave.${\displaystyle (\mathbb {R} \times S,g)}$(dónde${\displaystyle S}$es una variedad difeomorfa a cualquier hipersuperficie de Cauchy de tipo espacial) dotada de la métrica:

${\displaystyle g=-\beta \,d\tau ^{2}+g_{\tau }}$

Aquí, la raíz cuadrada de la función${\displaystyle \beta$ :=1/|g(\nabla \tau ,\nabla \tau )|>0} se llama lapso , el tensor${\displaystyle g_{\tau }}$representa una métrica riemanniana en cada segmento${\displaystyle \{\tau \}\times S,\tau \in \mathbb {R} }$variando suavemente con${\displaystyle \tau }$y la proyección natural${\displaystyle \mathbb {R} \times S\rightarrow \mathbb {R} }$, también etiquetado${\displaystyle \tau }$, se convierte en una función temporal de Cauchy.

En coordenadas de producto${\displaystyle (\tau ,x^{i})}$de${\displaystyle \mathbb {R} \times S}$, la métrica anterior se escribe como:

${\displaystyle g=-\beta (\tau ,x^{k})\,d\tau ^{2}+\sum _{i,j}g_{ij}(\tau ,x^{k})\,dx^{i}\,dx^{j}}$

Nótese la ausencia de desplazamiento , es decir, términos cruzados.${\displaystyle d\tau \,dx^{i}}$, lo que implica la ortogonalidad entre la${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle S}$partes. H. Ringström proporcionó pruebas detalladas en formato de libro. ^{[ 12 ]} En términos generales, la división muestra que cualquier espaciotiempo globalmente hiperbólico admite una descomposición ortogonal global en "todo el espacio" y "tiempo en todas partes". Esto recupera una propiedad esencial de la relatividad especial , donde la descomposición es lineal, en marcado contraste con la no lineal globalmente hiperbólica.

Una serie de resultados posteriores resaltaron las sutilezas inherentes a la división ortogonal y proporcionaron aplicaciones adicionales, entre ellas:

1. Niveles de funciones de tiempo de Cauchy. Bernal y Sánchez ^{[ 13 ]} también analizaron las propiedades adicionales que pueden satisfacer las secciones de tipo espacial en descomposiciones hiperbólicas globales, demostrando en particular:

• Cualquier hipersuperficie de Cauchy (suave) de tipo espacial${\displaystyle S}$se puede expresar como el nivel${\displaystyle \tau =0}$para alguna función temporal de Cauchy${\displaystyle \tau }$(es decir, la rebanada)${\displaystyle \{0\}\times S}$en la división mencionada anteriormente). Por lo tanto, dicha división puede verse como una evolución temporal natural de los datos iniciales en${\displaystyle S}$.
• Cualquier hipersuperficie de Cauchy topológica, incluso si no es suave, puede considerarse como el nivel${\displaystyle t=0}$de una función de tiempo de Cauchy suave${\displaystyle t}$(observe que entonces${\displaystyle t}$no puede ser temporal en general). Esta propiedad llamativa subraya la confusión que surge al abordar el problema popular de buscar funciones de tiempo suaves en lugar de temporales. ^{[ 14 ]}

2. Funciones temporales y causalidad estable. El problema popular también involucró la existencia de funciones suaves para espaciotiempos causales estables y la consistencia de este nivel. Sánchez ^{[ 15 ]} demostró que la técnica en (Bernal & Sanchez 2005) también se puede aplicar aquí, probando entonces que cualquier espaciotiempo causal estable admite una función temporal.${\displaystyle \tau }$Por un lado, esto demostró la existencia de una función temporal suave en espaciostiempos causales estables, reforzando el resultado de Hawking de que estos espaciostiempos admiten una función temporal (continua). Por otro lado, la función temporal claramente permanece temporal para${\displaystyle C^{0}}$métricas cercanas, mostrando así que estas métricas son causales (es decir, no admiten curvas causales cercanas), es decir, la causalidad es una (${\displaystyle C^{0}}$) propiedad estable para los espaciotiempos que admiten una función temporal.

3. Estabilidad de la hiperbolicidad global y las funciones temporales de Cauchy. En cuanto a las funciones temporales, las temporales de Cauchy permanecen temporales de Cauchy en un${\displaystyle C^{0}}$vecindad de la métrica original. ^{[ 16 ]} En particular, esto demuestra que${\displaystyle C^{0}}$-estabilidad de la hiperbolicidad global. Este resultado aparece en el artículo original de Geroch (1970); sin embargo, Benavides y Minguzzi (2011) criticaron la demostración de Geroch y proporcionaron una alternativa sin utilizar funciones temporales. ^{[ 17 ]}

4. Incrustabilidad de Lorentz-Nash. La cuestión de si un espacio-tiempo${\displaystyle (M,g)}$es isométricamente incrustable en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski.${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$, para alguna (gran) dimensión${\displaystyle N}$es natural tanto desde el punto de vista geométrico (ya que se conecta con las incrustaciones euclidianas de Nash ) como por su aplicación en la teoría de cuerdas y branas . O. Müller y M. Sánchez ^{[ 18 ]} observaron que, si esta incrustación es válida, entonces${\displaystyle M}$admite una función temporal${\displaystyle \tau }$que además cumple con ser empinado, es decir,${\displaystyle \tau }$cumple${\displaystyle |g(\nabla \tau ,\nabla \tau )|\geq 1}$(en efecto,${\displaystyle \tau }$viene dada por la restricción de la coordenada de tiempo natural de${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$a la imagen de la incrustación). Por el contrario, en el caso de que la métrica${\displaystyle g}$es${\displaystyle C^{3}}$, también demostraron: si un espaciotiempo admite una función temporal pronunciada${\displaystyle \tau }$entonces puede ser incrustado isométricamente en algún${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$. De hecho, tal es${\displaystyle \tau }$permite reducir el problema al caso de incrustabilidad isométrica de variedades riemannianas en algún espacio euclidiano . En particular, el célebre Nash${\displaystyle C^{3}}$Entonces se puede aplicar el teorema de incrustabilidad . Nótese que tal${\displaystyle \tau }$produce una división como en la ecuación de división con lapso${\displaystyle \beta \leq 1}$Además, Müller y Sánchez resolvieron el problema de la incrustabilidad isométrica y conforme lorentziana en${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$y demostró en particular:

• Todo espaciotiempo globalmente hiperbólico admite una función temporal pronunciada y, por lo tanto, una división global de Bernal-Sánchez con lapso limitado.
• Cualquier${\displaystyle C^{3}}$El espaciotiempo hiperbólico global es isométricamente incrustable en algún${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$.
• Los argumentos en la literatura que afirmaban este último resultado eran erróneos porque utilizaban técnicas similares a las del antiguo problema popular. De hecho, se proporcionó un contraejemplo explícito a estos argumentos. ^{[ 19 ]}

5. Invariancia por isometrías. Müller ^{[ 20 ]} demostró que si la métrica globalmente hiperbólica${\displaystyle g}$es invariante bajo un grupo compacto de isometrías${\displaystyle G}$luego la función temporal de Cauchy${\displaystyle \tau }$(y, por lo tanto, la división) puede encontrarse invariante mediante isometrías.

6. Espaciotiempos globalmente hiperbólicos con frontera de tipo temporal. Los espaciotiempos con frontera de tipo temporal son espaciotiempos suaves.${\displaystyle ({\bar {M}},g)}$definido en una variedad con frontera${\displaystyle {\bar {M}}=M\cup \partial M}$, de tal manera que el límite${\displaystyle \partial M}$, hereda una métrica de Lorentz de${\displaystyle g}$Se denominan globalmente hiperbólicos cuando se cumplen las condiciones que definen la hiperbolicidad global (a saber, la causalidad y la compacidad de los diamantes) .${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$) están satisfechos incluyendo los puntos de${\displaystyle \partial M}$. Al extender el caso sin frontera, Aké, Flores y Sánchez ^{[ 21 ]} demostraron la equivalencia entre la hiperbolicidad global y la existencia de una hipersuperficie de Cauchy (con frontera).${\displaystyle {\bar {S}}}$, que puede ser elegido suave y de tipo espacial, así como la existencia de un difeomorfismo suave entre${\displaystyle {\bar {M}}}$y${\displaystyle \mathbb {R} \times {\bar {S}}}$También demostraron que la división ortogonal global sigue siendo válida; sin embargo, la técnica requiere un ingrediente nuevo y muy complejo. De hecho, ahora la función temporal de Cauchy requerida${\displaystyle \tau }$debe adaptarse al límite , es decir: a lo largo${\displaystyle \partial S}$, el gradiente${\displaystyle \nabla \tau }$debe ser tangente a${\displaystyle \partial S}$Esto se logra mediante un argumento sutil que involucra las siguientes herramientas:

• La doble variedad (sin límite)${\displaystyle M^{d}}$obtenido mediante la identificación de dos copias de la variedad original${\displaystyle {\bar {M}}}$a lo largo de${\displaystyle \partial M}$.
• La estabilidad de las funciones temporales de Cauchy permite reemplazar la métrica original por otra con conos más amplios en algunos pasos.
• La existencia de una métrica hiperbólica globalmente suavizada de forma adecuada${\displaystyle g^{d}}$en${\displaystyle M^{d}}$invariante bajo el difeomorfismo de espejo natural${\displaystyle i:M^{d}\rightarrow M^{d}}$(que intercambia los puntos de la doble variedad).
• Los resultados en el caso sin frontera, que permiten encontrar una función temporal de Cauchy${\displaystyle \tau ^{d}}$para${\displaystyle g^{d}}$invariante por${\displaystyle i}$(satisfaciendo así que${\displaystyle \nabla \tau ^{d}}$es tangente a${\displaystyle \partial M}$).

Utilizando estos ingredientes, la restricción de${\displaystyle \tau ^{d}}$al original${\displaystyle {\bar {M}}}$será la función adaptada requerida. Dicha división se vuelve aplicable a los espaciotiempos con frontera conforme de tipo temporal en el infinito, como los anti de Sitter (asintóticamente), por lo tanto en la correspondencia AdS/CFT .

Fuentes