Subiendo y bajando

Primero, aclaramos algunos términos. Si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$son ideales primos de A y B , respectivamente, tales que

${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}}$

(tenga en cuenta que${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$es automáticamente un ideal primo de A ) entonces decimos que${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$se encuentra bajo${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$y eso${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$yace sobre${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$En general, se dice que una extensión de anillo A  ⊆ B de anillos conmutativos satisface la propiedad de superposición si todo ideal primo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$A se encuentra bajo algún ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$de B.​ 

Se dice que la extensión A  ⊆ B satisface la propiedad de incomparabilidad si siempre que ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$son primos distintos de B que se encuentran sobre un primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$en A , entonces${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ⊈ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$ y${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$ ⊈ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$.

Se dice que la extensión de anillo A  ⊆ B satisface la propiedad ascendente si siempre que 

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\subseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

es una cadena de ideales primordiales de A y

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

es una cadena de ideales primos de B con m < n y tal que${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$yace sobre${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$para 1  ≤ i ≤ m , entonces la última cadena se puede extender a una cadena   

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$yace sobre${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$para cada 1  ≤ i ≤ n .   

En ( Kaplansky 1970 ) se demuestra que si una extensión A  ⊆ B satisface la propiedad de ir hacia arriba, entonces también satisface la propiedad de estar encima. 

Se dice que la extensión de anillo A  ⊆ B satisface la propiedad descendente si siempre que 

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\supseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

es una cadena de ideales primordiales de A y

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

es una cadena de ideales primos de B con m < n y tal que${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$yace sobre${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$para 1  ≤ i ≤ m , entonces la última cadena se puede extender a una cadena   

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$yace sobre${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$para cada 1  ≤ i ≤ n .   

Existe una generalización del caso de extensión de anillo con morfismos de anillo. Sea f  : A  → B un homomorfismo de anillo (unitario) tal que B es una extensión de anillo de f ( A ). Entonces se dice que f satisface la propiedad ascendente si la propiedad ascendente se cumple para f ( A ) en B .  

De manera similar, si B es una extensión de anillo de f ( A ), entonces se dice que f satisface la propiedad descendente si la propiedad descendente se cumple para f ( A ) en B .

En el caso de extensiones de anillos ordinarias como A  ⊆ B , el mapa de inclusión es el mapa pertinente.