Teorema de Goldie

En matemáticas , el teorema de Goldie es un resultado estructural básico en la teoría de anillos , demostrado por Alfred Goldie durante la década de 1950. Lo que ahora se denomina un anillo de Goldie derecho es un anillo R que tiene dimensión uniforme finita ("rango finito") como módulo derecho sobre sí mismo, y satisface la condición de cadena ascendente en anuladores derechos de subconjuntos de R.

El teorema de Goldie establece que los anillos de Goldie derechos semiprimos son precisamente aquellos que poseen un anillo clásico derecho de cocientes artiniano semisimple . La estructura de este anillo de cocientes queda entonces completamente determinada por el teorema de Artin-Wedderburn .

En particular, el teorema de Goldie se aplica a los anillos noetherianos derechos semiprimos , ya que por definición los anillos noetherianos derechos tienen la condición de cadena ascendente en todos los ideales derechos. Esto es suficiente para garantizar que un anillo noetheriano derecho sea un anillo Goldie derecho. Lo contrario no se cumple: todo dominio de Ore derecho es un dominio Goldie derecho, y por lo tanto también lo es todo dominio integral conmutativo .

Una consecuencia del teorema de Goldie, también debido a Goldie, es que todo anillo ideal derecho principal semiprimo es isomorfo a una suma directa finita de anillos ideales derechos principales primos . Todo anillo ideal derecho principal primo es isomorfo a un anillo de matrices sobre un dominio de Ore derecho .

Este es un esbozo de la caracterización mencionada en la introducción. Puede encontrarse en ( Lam 1999 , p. 324) .

• Si R es un anillo Goldie derecho semiprimo, entonces es un orden derecho en un anillo semisimple:
  • Los ideales esenciales de derecho de R son precisamente aquellos que contienen un elemento regular .
  • No existen ideales nulos distintos de cero en R.
  • R es un anillo no singular derecho . ^{[ 1 ]}
  • De las observaciones anteriores, R es un anillo de Ore derecho , y por lo tanto existe su anillo clásico derecho de cocientes Q ^r . También de las observaciones anteriores, Q ^r es un anillo semisimple . Por lo tanto, R es un orden derecho en Q ^r .
• Si R es un orden correcto en un anillo semisimple Q , entonces es semiprimo derecho Goldie:
  • Cualquier orden correcto en un anillo noetheriano (como Q ) es correcto Goldie.
  • Cualquier orden correcto en un anillo semiprimo noetheriano (como Q ) es en sí mismo semiprimo.
  • Por lo tanto, R es semiprimo, ¿verdad, Goldie?

• Coutinho, SC; McConnell, JC (2003). "La búsqueda de anillos cociente (de anillos noetherianos no conmutativos)". American Mathematical Monthly . 110 (4): 298– 313. CiteSeerX 10.1.1.296.8947 . doi : 10.2307/3647879 . JSTOR 3647879 .  
• Goldie, AW (1958). "La estructura de los anillos primos bajo condiciones de cadena ascendente". Proc. London Math. Soc . 8 (4): 589– 608. doi : 10.1112/plms/s3-8.4.589 .
• Goldie, AW (1960). "Anillos semiprimos con condiciones máximas". Proc. London Math. Soc . 10 : 201–220 . doi : 10.1112/plms/s3-10.1.201 .
• Herstein, IN (1969). Temas de teoría de anillos . Conferencias de matemáticas de Chicago. Chicago, Ill.: Chicago Univ. Pr. pp. 61–86 . ISBN  978-0-226-32802-7.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 

• El teorema de Goldie en PlanetMath .
• Anillo Goldie en PlanetMath .