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bosón de Goldstone

En física , los bosones de Goldstone o bosones de Nambu-Goldstone ( NGB ) son bosones que aparecen necesariamente en modelos que presentan ruptura espontánea de simetrías contin...

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En física , los bosones de Goldstone o bosones de Nambu-Goldstone ( NGB ) son bosones que aparecen necesariamente en modelos que presentan ruptura espontánea de simetrías continuas . Fueron descubiertos por Yoichiro Nambu en el contexto del mecanismo de superconductividad BCS , [ 1 ] y posteriormente dilucidados por Jeffrey Goldstone , [ 2 ] y generalizados sistemáticamente en el contexto de la teoría cuántica de campos . [ 3 ] En física de la materia condensada, estos bosones son cuasipartículas y se conocen como modos de Goldstone [ 4 ] o modos de Anderson-Bogoliubov. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

Estos bosones sin espín corresponden a los generadores de simetría interna que se rompen espontáneamente y se caracterizan por sus números cuánticos . Se transforman de forma no lineal (desplazan) bajo la acción de estos generadores y, por lo tanto, pueden ser excitados desde el vacío asimétrico por ellos. Así, pueden considerarse como excitaciones del campo en las direcciones de simetría rota en el espacio de grupo, y carecen de masa si la simetría que se rompe espontáneamente no se rompe explícitamente .

Si, por el contrario, la simetría no es exacta, es decir, si se rompe explícitamente y también de forma espontánea, entonces los bosones que emergen no carecen de masa, aunque suelen ser relativamente ligeros; se les denomina bosones pseudo-Goldstone o bosones pseudo-Nambu-Goldstone.

Teorema de Goldstone

El teorema de Goldstone examina una simetría continua genérica que se rompe espontáneamente ; es decir, sus corrientes se conservan, pero el estado fundamental no es invariante bajo la acción de las cargas correspondientes. Entonces, necesariamente, aparecen nuevas partículas escalares sin masa (o ligeras, si la simetría no es exacta) en el espectro de posibles excitaciones. Hay una partícula escalar —llamada bosón de Nambu-Goldstone— para cada generador de la simetría que se rompe, es decir, que no conserva el estado fundamental . El modo de Nambu-Goldstone es una fluctuación de longitud de onda larga del parámetro de orden correspondiente .

En virtud de sus propiedades especiales de acoplamiento al vacío de la teoría con simetría rota correspondiente, los bosones de Goldstone con momento nulo ("suaves") involucrados en amplitudes de teoría de campos hacen que dichas amplitudes se anulen ("ceros de Adler").

Ejemplos

Natural

  • En los fluidos , el fonón es longitudinal y corresponde al bosón de Goldstone de la simetría galileana que se rompe espontáneamente . En los sólidos , la situación es más compleja; los bosones de Goldstone son los fonones longitudinales y transversales, y resultan ser los bosones de Goldstone de la simetría galileana, traslacional y rotacional que se rompen espontáneamente, sin una correspondencia simple biunívoca entre los modos de Goldstone y las simetrías rotas.
  • En los imanes , la simetría rotacional original (presente en ausencia de un campo magnético externo) se rompe espontáneamente, de modo que la magnetización apunta en una dirección específica. Los bosones de Goldstone son entonces los magnones , es decir, ondas de espín en las que oscila la dirección de la magnetización local.
  • Los piones son los bosones pseudo-Goldstone que resultan de la ruptura espontánea de las simetrías de sabor quiral de la cromodinámica cuántica (QCD), efectuada por la condensación de quarks debido a la interacción fuerte. Estas simetrías se rompen aún más explícitamente por las masas de los quarks, de modo que los piones no carecen de masa, pero su masa es significativamente menor que la de los hadrones típicos.
  • Las componentes de polarización longitudinal de los bosones W y Z corresponden a los bosones de Goldstone de la parte espontáneamente rota de la simetría electrodébil SU(2) ⊗ U(1), que, sin embargo, no son observables. [ nb 1 ] Debido a que esta simetría es de calibre, los tres bosones de Goldstone potenciales son absorbidos por los tres bosones de calibre correspondientes a los tres generadores rotos; esto da a estos tres bosones de calibre una masa y el tercer grado de libertad de polarización necesario asociado. Esto se describe en el Modelo Estándar a través del mecanismo de Higgs . Un fenómeno análogo ocurre en la superconductividad , que sirvió como fuente de inspiración original para Nambu, a saber, el fotón desarrolla una masa dinámica (expresada como exclusión de flujo magnético de un superconductor), cf. la teoría de Ginzburg-Landau .
  • Las fluctuaciones primordiales durante la inflación pueden considerarse como bosones de Goldstone que surgen debido a la ruptura espontánea de la simetría de traslación temporal de un universo de De Sitter . Estas fluctuaciones en el campo escalar del inflatón posteriormente dan origen a la formación de la estructura cósmica . [ 8 ]
  • Ricciardi y Umezawa propusieron en 1967 una teoría general (cerebro cuántico) sobre el posible mecanismo cerebral de almacenamiento y recuperación de la memoria en términos de bosones de Nambu-Goldstone. [ 9 ] Esta teoría fue posteriormente extendida en 1995 por Giuseppe Vitiello teniendo en cuenta que el cerebro es un sistema "abierto" (el modelo cuántico disipativo del cerebro). [ 10 ] Aplicaciones de la ruptura espontánea de simetría y del teorema de Goldstone a sistemas biológicos, en general, han sido publicadas por E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani y G. Vitiello, [ 11 ] [ 12 ] y por E. Del Giudice, G. Preparata y G. Vitiello. [ 13 ] Mari Jibu y Kunio Yasue [ 14 ] y Giuseppe Vitiello, [ 15 ] basándose en estos hallazgos, discutieron las implicaciones para la conciencia.

Teoría

Consideremos un campo escalar complejo ϕ , con la restricción de queϕ∗ϕ=v2{\displaystyle \phi ^{*}\phi =v^{2}}, una constante. Una forma de imponer una restricción de este tipo es incluyendo un término de interacción potencial en su densidad lagrangiana ,

λ(ϕ∗ϕ−v2)2 ,{\displaystyle \lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,}

y tomando el límite cuando λ → ∞ . Esto se denomina el "modelo σ no lineal abeliano". [ nb 2 ]

La restricción y la acción que se describen a continuación son invariantes bajo una transformación de fase U (1), δϕ = i εϕ . El campo puede redefinirse para dar un campo escalar real (es decir, una partícula de espín cero) θ sin ninguna restricción.

ϕ=vmiiθ{\displaystyle \phi =ve^{i\theta }}

donde θ es el bosón de Nambu-Goldstone (en realidadvθ{\displaystyle v\theta }es) y la transformación de simetría U (1) produce un desplazamiento en θ , a saber:

δθ=ϵ ,{\displaystyle \delta \theta =\epsilon ~,}

pero no conserva el estado fundamental |0〉 (es decir, la transformación infinitesimal anterior no lo aniquila , el sello distintivo de la invariancia), como se evidencia en la carga de la corriente a continuación.

Por lo tanto, el vacío es degenerado y no invariante bajo la acción de la simetría que se rompe espontáneamente.

La densidad lagrangiana correspondiente viene dada por

L=12(∂μϕ∗)∂μϕ−metro2ϕ∗ϕ=12(−ivmi−iθ∂μθ)(ivmiiθ∂μθ)−metro2v2,{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _ {\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},}

y por lo tanto

=v22(∂μθ)(∂μθ)−metro2v2 .{\displaystyle ={\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta)(\partial _ {\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.}

Nótese que el término constantemetro2v2{\displaystyle m^{2}v^{2}} En el lagrangiano, la densidad no tiene significado físico, y el otro término es simplemente el término cinético para un escalar sin masa.

La corriente U (1) conservada inducida por simetría es

Jμ=v2∂μθ .{\displaystyle J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.}

La carga, Q , resultante de esta corriente desplaza θ y el estado fundamental a un nuevo estado fundamental degenerado. Por lo tanto, un vacío con 〈θ〉 = 0 se desplazará a un vacío diferente con 〈θ〉 = ε . La corriente conecta el vacío original con el estado bosónico de Nambu-Goldstone, 〈0| J 0 (0)| θ〉≠ 0 .

En general, en una teoría con varios campos escalares, ϕ j , el modo de Nambu-Goldstone ϕ g es sin masa y parametriza la curva de posibles estados de vacío (degenerados). Su característica distintiva bajo la transformación de simetría rota es una expectativa de vacío no nula 〈δϕ g〉 , un parámetro de orden , para que 〈ϕ g〉 = 0 se anule , en algún estado fundamental |0〉 elegido en el mínimo del potencial, 〈∂ V /∂ ϕ i〉 = 0 . En principio, el vacío debería ser el mínimo del potencial efectivo que tiene en cuenta los efectos cuánticos, sin embargo, es igual al potencial clásico en primera aproximación. La simetría dicta que todas las variaciones del potencial con respecto a los campos en todas las direcciones de simetría se anulan. El valor de vacío de la variación de primer orden en cualquier dirección se anula como se acaba de ver; mientras que el valor de vacío de la variación de segundo orden también debe anularse, como sigue. Los valores de vacío nulos de los incrementos de la transformación de simetría de campo no aportan información nueva.

Por el contrario, sin embargo, las expectativas de vacío no nulas de los incrementos de transformación , 〈δϕ g〉 , especifican los autovectores nulos (Goldstone) relevantes de la matriz de masa ,

⟨∂2V∂ϕi∂ϕj⟩⟨δϕj⟩=0 ,{\displaystyle \left\langle {\partial ^{2}V \over \partial \phi _{i}\partial \phi _{j}}\right\rangle \langle \delta \phi _{j}\rangle =0~,}

y, por lo tanto, los correspondientes autovalores de masa cero.

El argumento de Goldstone

El principio que sustenta el argumento de Goldstone es que el estado fundamental no es único. Normalmente, por conservación de la corriente, el operador de carga para cualquier corriente de simetría es independiente del tiempo,

ddtQ=ddt∫incógnitaJ0(incógnita)=0.{\displaystyle {d \over dt}Q={d \over dt}\int _{x}J^{0}(x)=0.}

Al aplicar el operador de carga al vacío , este se aniquila si es simétrico; de lo contrario , como ocurre en la ruptura espontánea de simetría, se genera un estado de frecuencia cero a partir de él, mediante la transformación de desplazamiento ilustrada anteriormente. En realidad, en este caso, la carga está mal definida (véase el argumento de Fabri-Picasso más adelante).

Pero sus conmutadores mejor comportados con campos, es decir, los desplazamientos de transformación no nulos 〈δϕ g〉 , son, sin embargo, invariantes en el tiempo ,

d⟨δϕgramo⟩dt=0,{\displaystyle {\frac {d\langle \delta \phi _{g}\rangle }{dt}}=0,}

generando así un δ( k0 ) en su transformada de Fourier. [ 16 ] (Esto garantiza que, al insertar un conjunto completo de estados intermedios en un conmutador de corriente no nula , solo se puede lograr una evolución temporal nula cuando uno o más de estos estados carecen de masa).

Por lo tanto, si el vacío no es invariante bajo la simetría, la acción del operador de carga produce un estado que es diferente del vacío elegido, pero que tiene frecuencia cero. Esta es una oscilación de longitud de onda larga de un campo que es casi estacionario: hay estados físicos con frecuencia cero, k 0 , de modo que la teoría no puede tener una brecha de masa .

Este argumento se aclara aún más al tomar el límite con cuidado. Si se aplica al vacío un operador de carga aproximado que actúa en una región enorme pero finita A ,

ddtQA=ddt∫incógnitami−incógnita22A2J0(incógnita)=−∫incógnitami−incógnita22A2∇⋅J=∫incógnita∇(mi−incógnita22A2)⋅J,{\displaystyle {d \over dt}Q_{A}={d \over dt}\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}J^{0}(x)=-\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\nabla \cdot J=\int _{x}\nabla \left(e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\right)\cdot J,}

Se produce un estado con derivada temporal aproximadamente nula,

‖ddtQA|0⟩‖≈1A‖QA|0⟩‖.{\displaystyle \left\|{d \over dt}Q_{A}|0\rangle \right\|\approx {\frac {1}{A}}\left\|Q_{A}|0\rangle \right\|.}

Suponiendo una brecha de masa no nula m 0 , la frecuencia de cualquier estado como el anterior, que es ortogonal al vacío, es al menos m 0 ,

‖ddt|θ⟩‖=‖H|θ⟩‖≥metro0‖|θ⟩‖.{\displaystyle \left\|{\frac {d}{dt}}|\theta \rangle \right\|=\|H|\theta \rangle \|\geq m_{0}\||\theta \rangle \|.}

Si A se vuelve grande, se produce una contradicción. Por consiguiente, m 0  =  0. Sin embargo, este argumento falla cuando la simetría está transformada mediante una transformación de gauge, ya que entonces el generador de simetría solo realiza dicha transformación. Un estado transformado mediante una transformación de gauge es exactamente el mismo estado, por lo que actuar con un generador de simetría no permite salir del vacío (véase el mecanismo de Higgs ).

Teorema de Fabri-Picasso. Q no existe propiamente en el espacio de Hilbert, a menos que Q |0〉 = 0 .

El argumento [ 17 ] [ 18 ] requiere que tanto el vacío como la carga Q sean invariantes traslacionalmente, P |0〉 = 0 , [ P,Q ]= 0 .

Consideremos la función de correlación de la carga consigo misma,

⟨0|QQ|0⟩=∫d3incógnita⟨0|j0(incógnita)Q|0⟩=∫d3incógnita⟨0|miiPAGincógnitaj0(0)mi−iPAGincógnitaQ|0⟩=∫d3incógnita⟨0|miiPAGincógnitaj0(0)mi−iPAGincógnitaQmiiPAGincógnitami−iPAGincógnita|0⟩=∫d3incógnita⟨0|j0(0)Q|0⟩{\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|QQ|0\rangle &=\int d^{3}x\langle 0|j_{0}(x)Q|0\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Q\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Qe^{iPx}e^{-iPx}\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|j_{0}(0)Q\right|0\right\rangle \end{aligned}}}

por lo tanto, el integrando del lado derecho no depende de la posición.

Por lo tanto, su valor es proporcional al volumen total del espacio, ‖Q|0⟩‖2=∞{\displaystyle \|Q|0\rangle \|^{2}=\infty }— a menos que la simetría no se rompa, Q |0〉 = 0. En consecuencia, Q no existe propiamente en el espacio de Hilbert.

Infrapartículas

Hay una laguna discutible en el teorema. Si se lee el teorema con atención, solo afirma que existen estados no vacíos con energías arbitrariamente pequeñas. Tomemos como ejemplo un modelo de super QCD quiral N = 1 con un VEV de squark distinto de cero que es conforme en el IR . La simetría quiral es una simetría global que se rompe (parcialmente) espontáneamente. Algunos de los "bosones de Goldstone" asociados con esta ruptura espontánea de simetría están cargados bajo el grupo de gauge no roto y, por lo tanto, estos bosones compuestos tienen un espectro de masas continuo con masas arbitrariamente pequeñas, pero aún así no hay ningún bosón de Goldstone con masa exactamente cero . En otras palabras, los bosones de Goldstone son infrapartículas .

Extensiones

Teorías no relativistas

Una versión del teorema de Goldstone también se aplica a las teorías no relativistas . [ 19 ] [ 20 ] Básicamente establece que, para cada simetría rota espontáneamente, corresponde alguna cuasipartícula que es típicamente un bosón y no tiene brecha de energía . En la materia condensada, estos bosones de Goldstone también se denominan modos sin brecha (es decir, estados donde la relación de dispersión de energía es comomi∝pagnorte{\displaystyle E\propto p^{n}}y es cero parapag=0{\displaystyle p=0}), la versión no relativista de las partículas sin masa (es decir, fotones donde la relación de dispersión también esmi=pagdo{\displaystyle E=pc}y cero parapag=0{\displaystyle p=0}Nótese que la energía en el caso de materia condensada no relativista es H − μN − α → ⋅ P → y no H como lo sería en un caso relativista. Sin embargo, dos generadores rotos espontáneamente diferentes pueden ahora dar lugar al mismo bosón de Nambu-Goldstone.

Como primer ejemplo, un antiferromagneto tiene 2 bosones de Goldstone, un ferromagneto tiene 1 bosón de Goldstone, donde en ambos casos estamos rompiendo la simetría de SO(3) a SO(2), para el antiferromagneto la dispersión esmi∝pag{\displaystyle E\propto p}y el valor esperado del estado fundamental es cero, para el ferromagneto en cambio la dispersión esmi∝pag2{\displaystyle E\propto p^{2}}y el valor esperado del estado fundamental no es cero, es decir, hay una simetría rota espontáneamente para el estado fundamental [ 21 ] [ 22 ]

Como segundo ejemplo, en un superfluido , tanto la simetría del número de partículas U(1) como la simetría galileana se rompen espontáneamente. Sin embargo, el fonón es el bosón de Goldstone para ambas. [ 23 ] [ 24 ]

Aún en lo que respecta a la ruptura de simetría, también existe una estrecha analogía entre los modos sin brecha en la materia condensada y el bosón de Higgs, por ejemplo, en la transición de fase de paramagnetismo a ferromagnetismo [ 25 ] [ 26 ].

Ruptura de las simetrías del espacio-tiempo

A diferencia del caso de la ruptura de simetrías internas, cuando se rompen simetrías espaciotemporales como las de Lorentz , conformes, rotacionales o traslacionales, el parámetro de orden no tiene por qué ser un campo escalar, sino que puede ser un campo tensorial, y el número de modos sin masa independientes puede ser menor que el número de generadores rotos espontáneamente. Para una teoría con un parámetro de orden⟨ϕ(r)⟩{\displaystyle \langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle }que rompe espontáneamente una simetría del espacio-tiempo, el número de generadores rotosTa{\displaystyle T^{a}}menos el número de soluciones independientes no trivialesdoa(r){\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}a

doa(r)Ta⟨ϕ(r)⟩=0{\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0}

es el número de modos de Goldstone que surgen. [ 27 ] Para simetrías internas, la ecuación anterior no tiene soluciones no triviales, por lo que se cumple el teorema de Goldstone usual. Cuando existen soluciones, esto se debe a que los modos de Goldstone son linealmente dependientes entre sí, en el sentido de que el modo resultante puede expresarse como un gradiente de otro modo. Dado que la dependencia espaciotemporal de las solucionesdoa(r){\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}está en la dirección de los generadores intactos, cuando todos los generadores de traslación están rotos, no existen soluciones no triviales y el número de modos de Goldstone es una vez más exactamente el número de generadores rotos.

En general, el fonón es efectivamente el bosón de Nambu-Goldstone para la simetría de traslación rota espontáneamente [ 28 ] .

fermiones de Nambu-Goldstone

Las simetrías fermiónicas globales rotas espontáneamente, que ocurren en algunos modelos supersimétricos , dan lugar a fermiones de Nambu-Goldstone , u goldstinos . [ 29 ] [ 30 ] Estos tienen espín ⁠ 1 / 2 ⁠ , en lugar de 0, y llevan todos los números cuánticos de los respectivos generadores de supersimetría rotos espontáneamente.

La ruptura espontánea de la supersimetría desintegra ("reduce") las estructuras de supermultipletes en las características realizaciones no lineales de la supersimetría rota, de modo que los goldstinos son supercompañeros de todas las partículas de la teoría, de cualquier espín , y los únicos supercompañeros. Es decir, dos partículas que no son goldstinos están conectadas solo a goldstinos mediante transformaciones de supersimetría, y no entre sí, incluso si ya estaban conectadas antes de la ruptura de la supersimetría. Como resultado, las masas y las multiplicidades de espín de dichas partículas son arbitrarias.

Véase también

Notas

  1. ↑ En las teorías con simetría de gauge , los bosones de Goldstone están ausentes. Sus grados de libertad son absorbidos ("devorados", eliminados por gauge) por bosones de gauge , a través del mecanismo de Higgs . Estos últimos se vuelven masivos y su nueva polarización longitudinal es proporcionada por el posible bosón de Goldstone, en una elaborada reorganización de los grados de libertad.
  2. ↑ Corresponde al potencial del sombrero de Goldstone donde la punta y los lados se extienden hasta el infinito, conservando la ubicación del mínimo en su base.

Referencias

  1. ↑ Nambu, Y (1960). "Cuasipartículas e invariancia de gauge en la teoría de la superconductividad". Physical Review . 117 (3): 648– 663. Bibcode : 1960PhRv..117..648N . doi : 10.1103/PhysRev.117.648 .
  2. ↑ Goldstone, J (1961). "Teorías de campo con soluciones superconductoras" . Nuovo Cimento . 19 (1): 154– 164. Bibcode : 1961NCim...19..154G . doi : 10.1007/BF02812722 . S2CID 120409034 . 
  3. ↑ Goldstone, J; Salam, Abdus; Weinberg, Steven (1962). "Simetrías rotas". Physical Review . 127 (3): 965– 970. Bibcode : 1962PhRv..127..965G . doi : 10.1103/PhysRev.127.965 .
  4. ↑ Coleman, Piers (2015). Introducción a la física de muchos cuerpos . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 75, 398, 481. ISBN  978-1-139-02091-6.
  5. ↑ Anderson, PW (1958-05-15). "Estados excitados coherentes en la teoría de la superconductividad: invariancia de gauge y el efecto Meissner". Physical Review . 110 (4). American Physical Society (APS): 827– 835. Bibcode : 1958PhRv..110..827A . doi : 10.1103/physrev.110.827 . ISSN 0031-899X . 
  6. ↑ Anderson, PW (1958-12-15). "Aproximación de fase aleatoria en la teoría de la superconductividad". Physical Review . 112 (6). American Physical Society (APS): 1900– 1916. Bibcode : 1958PhRv..112.1900A . doi : 10.1103/physrev.112.1900 . ISSN 0031-899X . 
  7. ↑ Bogoljubov, NN; Tolmachov, VV; Širkov, DV (1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad". Fortschritte der Physik . 6 ( 11– 12). Wiley: 605– 682. Bibcode : 1958ForPh...6..605B . doi : 10.1002/prop.19580061102 . ISSN 0015-8208 . 
  8. ↑ Baumann, D.; McAllister, L. (2015). "1". Inflación y teoría de cuerdas . Cambridge University Press. pp. 5–8 . ISBN  978-1107089693.
  9. ↑ LM Ricciardi, H. Umezawa (1967). Cerebro y física de problemas de muchos cuerpos. Kybernetik, 4, 44–8. Reimpreso en: Globus GG, Pribram KH, Vitiello G., editores. Cerebro y ser. Ámsterdam: John Benjamins. Págs. 255–66 (2004).
  10. ↑ G. Vitiello, (1995). Disipación y capacidad de la memoria en el modelo del cerebro cuántico. Int. J. Mod. Phys. B9, 973-989.
  11. ↑ E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani, G. Vitiello (1985). Un enfoque de teoría cuántica de campos al comportamiento colectivo de sistemas biológicos. Nucl. Phys., B251 (FS 13), 375 - 400.
  12. ↑ E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani, G. Vitiello (1986). Campo electromagnético y ruptura espontánea de simetría en materia biológica. Nucl. Phys., B275 (FS 17), 185 - 199.
  13. ^ E. Del Giudice, G. Preparata, G. Vitiello (1988). El agua como láser de electrones libres. Física. Rev. Lett., 61, 1085 – 1088.
  14. ↑ M. Jibu, K. Yasue (1995). Dinámica cerebral cuántica y conciencia. Ámsterdam: John Benjamins.
  15. ↑ Giuseppe Vitiello, Mi doble al descubierto: el modelo cuántico disipativo del cerebro. John Benjamins Publ. Co., Ámsterdam, 2001.
  16. ↑ Demostración del teorema de Goldstone en Scholarpedia - Kibble
  17. ↑ Fabri, E.; Picasso, LE (1966-03-07). "Teoría cuántica de campos y simetrías aproximadas". Physical Review Letters . 16 (10). American Physical Society (APS): 408– 410. Bibcode : 1966PhRvL..16..408F . doi : 10.1103/physrevlett.16.408.2 . ISSN 0031-9007 . 
  18. ↑ Dispensador Fabri 1965
  19. ↑ https://www.theorie.physik.uni-muenchen.de/activities/lectures/twentyfourth_series/murayama_2/video_murayama_colloquium/index.html Archivado el 14/01/2022 en Wayback Machine - min. 30-60
  20. ↑ Haruki Watanabe , Hitoshi Murayama, Descripción unificada de los bosones de Goldstone de Nambu sin invariancia de Lorentz, Phys. Rev. Lett. 108, 251602, 2012, https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.108.251602
  21. ↑ "mín. 42" . Archivado del original el 14 de enero de 2022. Consultado el 14 de enero de 2022 .
  22. ↑ Dispensador Fabri 1965
  23. ↑ Hoinka, Sascha; Dique, Paul; Lingham, Marco G.; Kinnunen, Jami J.; Bruun, Georg M.; Vale, Chris J. (2017). "Modo Goldstone y excitaciones de ruptura de pares en superfluidos atómicos de Fermi" . Física de la Naturaleza . 13 (10): 943–946 . arXiv : 1707.00406 . Código Bib : 2017NatPh..13..943H . doi : 10.1038/nphys4187 . S2CID 59392755 . 
  24. ↑ Leutwyler, H. "Fonones como bosones de Goldstone" (PDF) . cds.cern.ch. Consultado el 4 de noviembre de 2023 .
  25. ↑ Lykken, Joseph; Spiropulu, Maria (2013). "El futuro del bosón de Higgs" . Physics Today . 66 (12): 28– 33. Bibcode : 2013PhT....66l..28L . doi : 10.1063/PT.3.2212 . OSTI 1131296 . 
  26. ↑ Lykken, Joseph; Spiropulu, Maria (2013). "El futuro del bosón de Higgs" . Physics Today . 66 (12): 28– 33. Bibcode : 2013PhT....66l..28L . doi : 10.1063/PT.3.2212 . OSTI 1131296 . 
  27. ↑ Low, I.; Manohar, AV (febrero de 2002). "Simetrías espaciotemporales rotas espontáneamente y el teorema de Goldstone" . Phys. Rev. Lett . 88 (10): 101602– 101605. arXiv : hep- th /0110285 . Bibcode : 2002PhRvL..88j1602L . doi : 10.1103/PhysRevLett.88.101602 . PMID 11909340. S2CID 15997403 .  
  28. ↑ Gan, Woon Siong (2019). "Ruptura espontánea de simetría y fonón como modo Goldstone" . Enfoque de invariancia de gauge para campos acústicos . págs. 59–62 . doi : 10.1007/978-981-13-8751-7_11 . ISBN  978-981-13-8750-0. S2CID 201256113 . 
  29. ↑ Volkov, DV; Akulov, V. (1973). "¿Es el neutrino una partícula de Goldstone?". Physics Letters . B46 (1): 109– 110. Bibcode : 1973PhLB...46..109V . doi : 10.1016/0370-2693(73)90490-5 .
  30. ↑ Salam, A.; et al. (1974). "Sobre el fermión de Goldstone". Physics Letters . B49 (5): 465– 467. Bibcode : 1974PhLB...49..465S . doi : 10.1016/0370-2693(74)90637-6 .