Espacio vectorial graduado

En matemáticas , un espacio vectorial graduado es un espacio vectorial que tiene la estructura adicional de una graduación o gradación , que es una descomposición del espacio vectorial en una suma directa de subespacios vectoriales , generalmente indexados por los números enteros .

Para espacios vectoriales "puros", el concepto se introdujo en el álgebra homológica y se utiliza ampliamente para álgebras graduadas , que son espacios vectoriales graduados con estructuras adicionales.

Dejar${\displaystyle \mathbb {N} }$Sea el conjunto de los enteros no negativos .${\textstyle \mathbb {N} }$espacio vectorial graduado , a menudo llamado simplemente espacio vectorial graduado sin el prefijo${\displaystyle \mathbb {N} }$, es un espacio vectorial V junto con una descomposición en una suma directa de la forma

${\displaystyle V=\bigoplus _ {n\in \mathbb {N} }V_ {n}}$

donde cada${\displaystyle V_{n}}$es un espacio vectorial. Para un n dado, los elementos de${\displaystyle V_{n}}$Se les denomina entonces elementos homogéneos de grado n .

Los espacios vectoriales graduados son comunes. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios en una o varias variables forma un espacio vectorial graduado, donde los elementos homogéneos de grado n son exactamente las combinaciones lineales de monomios de grado n . 

Los subespacios de un espacio vectorial graduado no necesitan estar indexados por el conjunto de los números naturales, y pueden estar indexados por los elementos de cualquier conjunto I. Un espacio vectorial V graduado sobre I es un espacio vectorial junto con una descomposición en una suma directa de subespacios indexados por elementos i del conjunto I :

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

Por lo tanto, un${\displaystyle \mathbb {N} }$El espacio vectorial graduado, como se definió anteriormente, es simplemente un espacio vectorial graduado I donde el conjunto I es${\displaystyle \mathbb {N} }$(el conjunto de los números naturales ).

El caso en el que yo soy el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$(los elementos 0 y 1) es particularmente importante en física .${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$El espacio vectorial graduado también se conoce como espacio supervectorial .

Para conjuntos de índices generales I , una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales graduados sobre I , f  : V → W, se denomina aplicación lineal graduada si conserva la graduación de los elementos homogéneos. Una aplicación lineal graduada también se denomina homomorfismo (o morfismo ) de espacios vectoriales graduados, o aplicación lineal homogénea :

${\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}}$ para todos los yo en yo .

Para un cuerpo fijo y un conjunto de índices fijo , los espacios vectoriales graduados forman una categoría cuyos morfismos son las aplicaciones lineales graduadas.

Cuando I es un monoide conmutativo (como los números naturales), entonces se pueden definir de manera más general las aplicaciones lineales que son homogéneas de cualquier grado i en I mediante la propiedad

${\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}}$ para todo j en I ,

donde "+" denota la operación de monoide. Si además I satisface la propiedad de cancelación de modo que pueda incrustarse en un grupo abeliano A que genera (por ejemplo, los enteros si I son los números naturales), entonces también se pueden definir aplicaciones lineales que son homogéneas de grado i en A por la misma propiedad (pero ahora "+" denota la operación de grupo en A ). Específicamente, para i en I una aplicación lineal será homogénea de grado −i si

${\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}}$ para todo j en I , mientras

${\displaystyle f(V_{j})=0\,}$ si j − i no está en I.

Así como el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial a sí mismo forma un álgebra asociativa (el álgebra de endomorfismos del espacio vectorial), los conjuntos de aplicaciones lineales homogéneas de un espacio a sí mismo, ya sea restringiendo los grados a I o permitiendo cualquier grado en el grupo A , forman álgebras graduadas asociativas sobre esos conjuntos de índices.

Algunas operaciones en espacios vectoriales también pueden definirse para espacios vectoriales graduados.

Dados dos espacios vectoriales graduados I, V y W , su suma directa tiene como espacio vectorial subyacente V  ⊕ W con gradación

( V  ⊕ W ) _i = V _i ⊕ W _i .  

Si I es un semigrupo , entonces el producto tensorial de dos espacios vectoriales graduados sobre I, V y W, es otro espacio vectorial graduado sobre I.${\displaystyle V\otimes W}$, con gradación

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.}$

Dado un${\displaystyle \mathbb {N} }$-espacio vectorial graduado que es de dimensión finita para cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$Su serie de Hilbert-Poincaré es la serie de potencias formal.

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.}$

A partir de las fórmulas anteriores, la serie de Hilbert-Poincaré de una suma directa y de un producto tensorial de espacios vectoriales graduados (de dimensión finita en cada grado) son respectivamente la suma y el producto de la serie de Hilbert-Poincaré correspondiente.

• Calificado (matemáticas)
• Álgebra graduada
• Comodulo
• Módulo calificado
• Regla Littlewood-Richardson

• Bourbaki, N. (1974) Álgebra I (Capítulos 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Capítulo 2, Sección 11; Capítulo 3.