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Comodulo

En matemáticas , un comodulo o correpresentación es un concepto dual a un módulo . La definición de un comodulo sobre una coálgebra se forma al dualizar la definición de un módu...

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En matemáticas , un comodulo o correpresentación es un concepto dual a un módulo . La definición de un comodulo sobre una coálgebra se forma al dualizar la definición de un módulo sobre un álgebra asociativa .

Definición formal

Sea K un cuerpo y C una coálgebra sobre K. Un comodulo (derecho) sobre C es un espacio vectorial M sobre K junto con una aplicación lineal.

ρ:METRO→METRO⊗do{\displaystyle \rho \colon M\to M\otimes C}

de tal manera que

  1. (id⊗Δ)∘ρ=(ρ⊗id)∘ρ{\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \rho =(\rho \otimes \mathrm {id} )\circ \rho }
  2. (id⊗ε)∘ρ=id{\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \rho =\mathrm {id} },

donde Δ es la comultiplicación para C y ε es la counidad.

Nótese que en la segunda regla hemos identificadoMETRO⊗K{\displaystyle M\otimes K}conMETRO{\displaystyle M\,}.

Ejemplos

  • Una coalgebra es un comodulo sobre sí mismo.
  • Si M es un módulo de dimensión finita sobre un álgebra K de dimensión finita A , entonces el conjunto de funciones lineales de A a K forma una coálgebra, y el conjunto de funciones lineales de M a K forma un comodulo sobre esa coálgebra.
  • Un espacio vectorial graduado V puede convertirse en un comodulo. Sea I el conjunto de índices del espacio vectorial graduado, y seadoI{\displaystyle C_{I}}Sea el espacio vectorial con basemii{\displaystyle e_{i}}parai∈I{\displaystyle i\in I}Nos giramos.doI{\displaystyle C_{I}}en una coálgebra y V en unadoI{\displaystyle C_{I}}-comodule, de la siguiente manera:
  1. Sea la comultiplicación endoI{\displaystyle C_{I}}ser dado porΔ(mii)=mii⊗mii{\displaystyle \Delta (e_{i})=e_{i}\otimes e_{i}}.
  2. Dejemos que la counidad endoI{\displaystyle C_{I}}ser dado porε(mii)=1 {\displaystyle \varepsilon (e_{i})=1\ }.
  3. Deja el mapaρ{\displaystyle \rho }en V será dado porρ(v)=∑vi⊗mii{\displaystyle \rho (v)=\sum v_{i}\otimes e_{i}}, dóndevi{\displaystyle v_{i}}es la i -ésima pieza homogénea dev{\displaystyle v}.

En topología algebraica

Un resultado importante en topología algebraica es el hecho de que la homologíaH∗(incógnita){\displaystyle H_{*}(X)}sobre el álgebra dual de SteenrodA∗{\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}forma un comodulo. [ 1 ] Esto proviene del hecho de que el álgebra de SteenrodA{\displaystyle {\mathcal {A}}}tiene una acción canónica sobre la cohomología

μ:A⊗H∗(incógnita)→H∗(incógnita){\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\otimes H^{*}(X)\to H^{*}(X)}

Cuando realizamos la dualización al álgebra de Steenrod dual , esto da como resultado una estructura de comodulo.

μ∗:H∗(incógnita)→A∗⊗H∗(incógnita){\displaystyle \mu ^{*}:H_{*}(X)\to {\mathcal {A}}^{*}\otimes H_{*}(X)}

Este resultado se extiende también a otras teorías de cohomología, como el cobordismo complejo , y es fundamental para calcular su anillo de cohomología.ΩU∗({pagt}){\displaystyle \Omega _ {U}^{*}(\{pt\})}. [ 2 ] La razón principal para considerar la estructura de comodulo en homología en lugar de la estructura de módulo en cohomología radica en el hecho de que el álgebra dual de SteenrodA∗{\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}es un anillo conmutativo , y el marco del álgebra conmutativa proporciona más herramientas para estudiar su estructura.

comodulo racional

Si M es un comodulo (derecho) sobre la coálgebra C , entonces M es un módulo (izquierdo) sobre el álgebra dual C * , pero lo contrario no es cierto en general: un módulo sobre C * no es necesariamente un comodulo sobre C. Un comodulo racional es un módulo sobre C * que se convierte en un comodulo sobre C de forma natural.

Morfismos de comodulo

Sea R un anillo , M , N y C R - módulos , y ρMETRO:METRO→METRO⊗do, ρnorte:norte→norte⊗do{\displaystyle \rho _{M}:M\rightarrow M\otimes C,\ \rho _{N}:N\rightarrow N\otimes C} ser correctos C -comomódulos. Luego un mapa R -linealF:METRO→norte{\displaystyle f:M\rightarrow N}se denomina morfismo comodulo (derecho) o C-colineal (derecho) si ρnorte∘F=(F⊗1)∘ρMETRO.{\displaystyle \rho _{N}\circ f=(f\otimes 1)\circ \rho _{M}.} Esta noción es dual a la noción de una aplicación lineal entre espacios vectoriales o, más generalmente, de un homomorfismo entre R -módulos . [ 3 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Liulevicius, Arunas (1968). "Comodules de homología" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 134 (2): 375– 382. doi : 10.2307/1994750 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1994750 .  
  2. ↑ Mueller, Michael. "Cálculo de anillos de cobordismo" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 2 de enero de 2021.
  3. ↑ Khaled AL-Takhman, Equivalencias de categorías de comodulos para coalgebras sobre anillos , J. Pure Appl. Algebra, vol. 173, número 3, 7 de septiembre de 2002, págs. 245–271
  • Gómez-Torrecillas, José (1998), "Coalgebras y comodules sobre un anillo conmutativo", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591– 603
  • Montgomery, Susan (1993). Álgebras de Hopf y sus acciones en anillos . Serie de conferencias regionales en matemáticas. Vol.  82. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8218-0738-2. Zbl 0793.16029 . 
  • Sweedler, Moss (1969), Álgebras de Hopf , Nueva York: WABenjamin