Campo vectorial conservativo

En cálculo vectorial , un campo vectorial conservativo es un campo vectorial que es el gradiente de alguna función . ^{[ 1 ]} Un campo vectorial conservativo tiene la propiedad de que su integral de línea es independiente de la trayectoria; la elección de la trayectoria entre dos puntos no cambia el valor de la integral de línea. La independencia de la trayectoria de la integral de línea es equivalente a que el campo vectorial bajo la integral de línea sea conservativo. Un campo vectorial conservativo también es irrotacional ; en tres dimensiones, esto significa que tiene rotacional nulo . Un campo vectorial irrotacional es necesariamente conservativo siempre que el dominio sea simplemente conexo .

Los campos vectoriales conservativos aparecen de forma natural en mecánica : son campos vectoriales que representan fuerzas de sistemas físicos en los que se conserva la energía . ^{[ 2 ]} Para un sistema conservativo, el trabajo realizado al moverse a lo largo de una trayectoria en un espacio de configuración depende únicamente de los puntos extremos de la trayectoria, por lo que es posible definir una energía potencial que sea independiente de la trayectoria real seguida.

En un espacio bidimensional y tridimensional, existe una ambigüedad al tomar una integral entre dos puntos, ya que hay infinitos caminos entre ellos; además de la línea recta que los une, se podría elegir un camino curvo de mayor longitud, como se muestra en la figura. Por lo tanto, en general, el valor de la integral depende del camino tomado. Sin embargo, en el caso especial de un campo vectorial conservativo, el valor de la integral es independiente del camino tomado, lo que puede considerarse como una cancelación a gran escala de todos los elementos.${\displaystyle d{R}}$que no tienen un componente a lo largo de la línea recta entre los dos puntos. Para visualizar esto, imaginemos a dos personas escalando un acantilado; una decide escalarlo verticalmente, y la otra decide caminar por un sendero sinuoso más largo que la altura del acantilado, pero con un ángulo pequeño respecto a la horizontal. Aunque los dos excursionistas hayan tomado rutas diferentes para llegar a la cima del acantilado, en la cima habrán ganado la misma cantidad de energía potencial gravitatoria. Esto se debe a que un campo gravitatorio es conservativo.

La litografía de M. C. Escher, Ascendiendo y descendiendo, ilustra un campo vectorial no conservativo, que, de forma imposible, parece ser el gradiente de la altura variable sobre el suelo (potencial gravitatorio) a medida que uno se mueve por la escalera. El campo de fuerza que experimenta quien se mueve por la escalera no es conservativo, ya que puede regresar al punto de partida ascendiendo más de lo que desciende, o viceversa, lo que resulta en un trabajo no nulo realizado por la gravedad. En una escalera real, la altura sobre el suelo es un campo potencial escalar: uno tiene que subir exactamente la misma distancia que baja para regresar al mismo lugar, en cuyo caso el trabajo realizado por la gravedad es cero. Esto sugiere que el trabajo realizado en la escalera es independiente de la trayectoria; equivalentemente, el campo de fuerza experimentado es conservativo (véase la sección posterior: Independencia de la trayectoria y campo vectorial conservativo ). La situación representada en la litografía es imposible.

Un campo vectorial${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$, dónde${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se dice que es conservador si existe un${\displaystyle C^{1}}$campo escalar ( continuamente diferenciable )${\displaystyle \varphi }$^{[ 3 ]} en${\displaystyle U}$de tal manera que

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$$

Aquí,${\displaystyle \nabla \varphi}$denota el gradiente de${\displaystyle \varphi }$. Desde${\displaystyle \varphi }$es continuamente diferenciable,${\displaystyle \mathbf {v} }$es continua. Cuando se cumple la ecuación anterior,${\displaystyle \varphi }$se denomina potencial escalar para${\displaystyle \mathbf {v} }$.

El teorema fundamental del cálculo vectorial establece que, bajo ciertas condiciones de regularidad, cualquier campo vectorial puede expresarse como la suma de un campo vectorial conservativo y un campo solenoidal .

Dejar${\displaystyle n=3}$(espacio tridimensional), y dejemos${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}$ser un${\displaystyle C^{1}}$campo vectorial ( continuamente diferenciable ), con un subconjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Entonces${\displaystyle \mathbf {v} }$Se denomina irrotacional si su rizo es${\displaystyle \mathbf {0} }$en todas partes${\displaystyle U}$, es decir, si $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}$$

Por esta razón, a estos campos vectoriales a veces se les denomina campos vectoriales sin rotacional o campos vectoriales sin rotacional. También se les conoce como campos vectoriales longitudinales .

Es una identidad del cálculo vectorial que para cualquier${\displaystyle C^{2}}$campo escalar ( continuamente diferenciable hasta la segunda derivada )${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle U}$, tenemos $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}$$

Por lo tanto, cada${\displaystyle C^{1}}$campo vectorial conservativo en${\displaystyle U}$es también un campo vectorial irrotacional en${\displaystyle U}$Este resultado se puede demostrar fácilmente expresando${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$en un sistema de coordenadas cartesianas con el teorema de Schwarz (también llamado teorema de Clairaut sobre la igualdad de parciales mixtos).

Siempre que${\displaystyle U}$es un espacio abierto simplemente conexo (en términos generales, un único espacio abierto sin un agujero en su interior), lo contrario también es cierto: todo campo vectorial irrotacional en un espacio abierto simplemente conexo${\displaystyle U}$es un${\displaystyle C^{1}}$campo vectorial conservativo en${\displaystyle U}$.

La afirmación anterior no es cierta en general si${\displaystyle U}$No está simplemente conectado. Deje${\displaystyle U}$ser${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$eliminando todas las coordenadas en el${\displaystyle z}$eje - (por lo tanto, no es un espacio simplemente conexo ), es decir,${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$Ahora, definamos un campo vectorial.${\displaystyle \mathbf {v} }$en${\displaystyle U}$por $${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}$$

Entonces${\displaystyle \mathbf {v} }$no tiene rizo en ninguna parte${\displaystyle U}$(${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$en todas partes en${\displaystyle U}$), es decir,${\displaystyle \mathbf {v} }$es irrotacional. Sin embargo, la circulación de${\displaystyle \mathbf {v} }$alrededor del círculo unitario en el${\displaystyle xy}$-el avión es${\displaystyle 2\pi }$; en coordenadas polares ,${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$, por lo tanto, la integral sobre el círculo unitario es $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}$$

Por lo tanto,${\displaystyle \mathbf {v} }$no tiene la propiedad de independencia de trayectoria discutida anteriormente, por lo que no es conservador incluso si${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$desde${\displaystyle U}$dónde${\displaystyle \mathbf {v} }$se define como no un espacio abierto simplemente conectado.

Repito, en una región abierta simplemente conexa, un campo vectorial irrotacional.${\displaystyle \mathbf {v} }$tiene la propiedad de independencia de trayectoria (por lo tanto${\displaystyle \mathbf {v} }$como conservador). Esto se puede demostrar directamente utilizando el teorema de Stokes ,$${\displaystyle \oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a} =0}$$para cualquier superficie lisa y orientada${\displaystyle A}$¿Cuál límite es un camino cerrado simple?${\displaystyle P_{c}}$. Por lo tanto, se concluye que en una región abierta simplemente conexa, cualquier${\displaystyle C^{1}}$Un campo vectorial que posee la propiedad de independencia de trayectoria (es decir, es un campo vectorial conservativo) también debe ser irrotacional, y viceversa.

Si el campo vectorial asociado a una fuerza${\displaystyle \mathbf {F} }$Si es conservadora, entonces se dice que la fuerza es una fuerza conservadora .

Los ejemplos más destacados de fuerzas conservativas son la fuerza gravitatoria (asociada a un campo gravitatorio) y la fuerza eléctrica (asociada a un campo electrostático). Según la ley de gravitación de Newton , una fuerza gravitatoria${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$actuando sobre una masa${\displaystyle m}$debido a una masa${\displaystyle M}$ubicado a distancia${\displaystyle r}$de${\displaystyle m}$obedece la ecuación

$${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

dónde${\displaystyle G}$es la constante gravitacional y${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$es un vector unitario que apunta desde${\displaystyle M}$hacia${\displaystyle m}$La fuerza de gravedad es conservativa porque${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}$, dónde

$${\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

es la energía potencial gravitatoria . En otras palabras, el campo gravitatorio.${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{G}}{m}}}$asociada con la fuerza gravitatoria${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$es el gradiente del potencial gravitatorio${\displaystyle {\frac {\Phi _{G}}{m}}}$asociada con la energía potencial gravitatoria${\displaystyle \Phi _{G}}$. Se puede demostrar que cualquier campo vectorial de la forma${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$es conservador, siempre que${\displaystyle F(r)}$es integrable.

Para las fuerzas conservadoras , la independencia de la trayectoria puede interpretarse como que el trabajo realizado al ir desde un punto${\displaystyle A}$hasta cierto punto${\displaystyle B}$es independiente de la trayectoria de movimiento elegida (depende únicamente de los puntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$), y que el trabajo${\displaystyle W}$realizado dando vueltas en un simple bucle cerrado.${\displaystyle C}$es${\displaystyle 0}$:

$${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}$$

La energía mecánica total de una partícula que se mueve bajo la influencia de fuerzas conservativas se conserva, en el sentido de que una pérdida de energía potencial se convierte en una cantidad igual de energía cinética , o viceversa.

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• Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Oxford University Press. ISBN 0198596790.