Material granular

Coulomb consideró las fuerzas internas entre partículas granulares como un proceso de fricción y propuso la ley de fricción, según la cual la fuerza de fricción de las partículas sólidas es proporcional a la presión normal entre ellas y el coeficiente de fricción estática es mayor que el coeficiente de fricción cinética. Estudió el colapso de pilas de arena y encontró empíricamente dos ángulos críticos: el ángulo estable máximo${\displaystyle \theta _{m}}$y el ángulo mínimo de reposo${\displaystyle \theta _{r}}$Cuando la pendiente del montón de arena alcanza el ángulo máximo estable, las partículas de arena en la superficie del montón comienzan a caer. El proceso se detiene cuando el ángulo de inclinación de la superficie es igual al ángulo de reposo. La diferencia entre estos dos ángulos,${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{m}-\theta _{r}}$, es el ángulo de Bagnold, que es una medida de la histéresis de los materiales granulares. Este fenómeno se debe a las cadenas de fuerza : la tensión en un sólido granular no se distribuye uniformemente, sino que se conduce a lo largo de las llamadas cadenas de fuerza , que son redes de granos que descansan unos sobre otros. Entre estas cadenas hay regiones de baja tensión cuyos granos están protegidos de los efectos de los granos superiores mediante bóvedas y arcos . Cuando la tensión cortante alcanza un cierto valor, las cadenas de fuerza pueden romperse y las partículas en el extremo de las cadenas en la superficie comienzan a deslizarse. Entonces, se forman nuevas cadenas de fuerza hasta que la tensión cortante sea menor que el valor crítico, y así el montón de arena mantiene un ángulo de reposo constante. ^{[ 7 ]}

En 1895, H.A. Janssen descubrió que en un cilindro vertical lleno de partículas, la presión medida en la base del cilindro no depende de la altura del relleno, a diferencia de los fluidos newtonianos en reposo, que siguen la ley de Stevin para la presión hidrostática. Janssen propuso un modelo simplificado con las siguientes suposiciones:

1. La presión vertical,${\displaystyle \sigma _{zz}}$, es constante en el plano horizontal;
2. La presión horizontal,${\displaystyle \sigma _{rr}}$es proporcional a la presión vertical${\displaystyle \sigma _{zz}}$, dónde${\displaystyle K={\frac {\sigma _{rr}}{\sigma _{zz}}}}$es constante en el espacio;
3. El coeficiente estático de fricción de la pared${\displaystyle \mu ={\frac {\sigma _{rz}}{\sigma _{rr}}}}$soporta la carga vertical en el punto de contacto con la pared;
4. La densidad del material es constante en todas las profundidades.

La presión en el material granular se describe entonces mediante una ley diferente, que tiene en cuenta la saturación:

${\displaystyle p(z)=p_{\infty }[1-\exp(-z/\lambda )]}$,

dónde${\displaystyle \lambda ={\frac {R}{2\mu K}}}$y${\displaystyle R}$es el radio del cilindro, y en la parte superior del silo${\displaystyle z=0}$.

La ecuación de presión proporcionada no considera las condiciones de contorno, como la relación entre el tamaño de las partículas y el radio del silo. Dado que la tensión interna del material no se puede medir, las especulaciones de Janssen no han sido verificadas mediante ningún experimento directo.

A principios de la década de 1960, el ingeniero Peter Walter Rowe estudió el efecto de la dilatancia sobre la resistencia al corte en ensayos de corte y propuso una relación entre ambos.

Las propiedades mecánicas del ensamblaje de partículas monodispersas en 2D se pueden analizar en función del volumen elemental representativo , con longitudes típicas,${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$, en direcciones vertical y horizontal respectivamente. Las características geométricas del sistema se describen mediante${\displaystyle \alpha =\arctan({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}})}$y la variable${\displaystyle \beta }$, que describe el ángulo en el que los puntos de contacto comienzan el proceso de deslizamiento. Denotemos por${\displaystyle \sigma _{11}}$la dirección vertical, que es la dirección de la tensión principal mayor, y por${\displaystyle \sigma _{22}}$la dirección horizontal, que es la dirección de la tensión principal menor.

Entonces, la tensión en el límite puede expresarse como la fuerza concentrada soportada por partículas individuales. Bajo carga biaxial con tensión uniforme${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}=0}$y por lo tanto${\displaystyle F_{12}=F_{21}=0}$.

En estado de equilibrio:

${\displaystyle {\frac {F_{11}}{F_{22}}}={\frac {\sigma _{11}\ell _{2}}{\sigma _{22}\ell _{1}}}=\tan(\theta +\beta )}$,

dónde${\displaystyle \theta }$, el ángulo de fricción, es el ángulo entre la fuerza de contacto y la dirección normal de contacto.

${\displaystyle \theta _{\mu }}$, que describe el ángulo en el que, si la fuerza tangencial cae dentro del cono de fricción, las partículas permanecerían estables. Está determinado por el coeficiente de fricción.${\displaystyle \mu =tg\phi _{u}}$, entonces${\displaystyle \theta \leq \theta _{\mu }}$Una vez que se aplica estrés al sistema, entonces${\displaystyle \theta }$aumenta gradualmente mientras${\displaystyle \alpha ,\beta }$permanece sin cambios. Cuando${\displaystyle \theta \geq \theta _{\mu }}$Entonces las partículas comenzarán a deslizarse, lo que provocará un cambio en la estructura del sistema y la creación de nuevas cadenas de fuerza.${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2}}$, los desplazamientos horizontales y verticales respectivamente satisfacen

${\displaystyle {\frac {\dot {\Delta _{2}}}{\dot {\Delta _{1}}}}={\frac {{\dot {\varepsilon _{22}}}\ell _{2}}{{\dot {\varepsilon _{11}}}\ell _{1}}}=-\tan \beta }$.

Considerar${\displaystyle N}$partículas, partícula${\displaystyle i}$tener energía${\displaystyle \varepsilon _{i}}$. A una tasa constante por unidad de tiempo, elija aleatoriamente dos partículas.${\displaystyle i,j}$con energías${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon _{j}}$y calcular la suma${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$. Ahora, distribuya aleatoriamente la energía total entre las dos partículas: elija aleatoriamente${\displaystyle z\in \left[0,1\right]}$de modo que la primera partícula, después de la colisión, tenga energía${\displaystyle z\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$y el segundo${\displaystyle \left(1-z\right)\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$.

La ecuación de evolución estocástica :

${\displaystyle \varepsilon _{i}(t+dt)={\begin{cases}\varepsilon _{i}(t)&probability:\,1-\Gamma dt\\z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)&probability:\,\Gamma dt\end{cases}}}$,

dónde${\displaystyle \Gamma }$es la tasa de colisión,${\displaystyle z}$se elige aleatoriamente de${\displaystyle \left[0,1\right]}$(distribución uniforme) y j es un índice también elegido aleatoriamente de una distribución uniforme. La energía promedio por partícula:${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon (t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z\right\rangle \left(\left\langle \varepsilon _{i}\right\rangle +\left\langle \varepsilon _{j}\right\rangle \right)\\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{2}}\left(\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \right)\\&=\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \end{aligned}}}$.

El segundo momento:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z^{2}\right\rangle \left\langle \varepsilon _{i}^{2}+2\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon _{j}^{2}\right\rangle \\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{3}}\left(2\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +2\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle ^{2}\right)\end{aligned}}}$.

Ahora, la derivada temporal del segundo momento:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=lim_{dt\rightarrow 0}{\dfrac {\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle -\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle }{dt}}=-{\dfrac {\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle +{\dfrac {2\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$.

En estado estacionario:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=0\Rightarrow \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$.

Resolviendo la ecuación diferencial para el segundo momento:

${\displaystyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle -2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}=\left(\left\langle \varepsilon ^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle \varepsilon (0)\right\rangle ^{2}\right)e^{-{\frac {\Gamma }{3}}t}}$.

Sin embargo, en lugar de caracterizar los momentos, podemos resolver analíticamente la distribución de energía a partir de la función generadora de momentos. Consideremos la transformada de Laplace :${\displaystyle g(\lambda )=\left\langle e^{-\lambda \varepsilon }\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon }$,

dónde${\displaystyle g(0)=1}$, y${\displaystyle {\dfrac {dg}{d\lambda }}=-\int _{0}^{\infty }\varepsilon e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =-\left\langle \varepsilon \right\rangle }$.

la derivada n:

${\displaystyle {\dfrac {d^{n}g}{d\lambda ^{n}}}=\left(-1\right)^{n}\int _{0}^{\infty }\varepsilon ^{n}e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =\left\langle \varepsilon ^{n}\right\rangle }$,

ahora:

${\displaystyle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t+dt)}={\begin{cases}e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}&1-\Gamma t\\e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}&\Gamma t\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle e^{-\lambda \varepsilon \left(t+dt\right)}\right\rangle =\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}\right\rangle +\Gamma dt\left\langle e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}\right\rangle }$

${\displaystyle g\left(\lambda ,t+dt\right)=\left(1-\Gamma dt\right)g\left(\lambda ,t\right)+\Gamma dt\int _{0}^{1}{\underset {=g^{2}(\lambda z,t)}{\underbrace {\left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{i}(t)}\right\rangle \left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{j}(t)}\right\rangle } }}dz}$.

Resolver para${\displaystyle g(\lambda )}$con cambio de variables${\displaystyle \delta =\lambda z}$:

${\displaystyle \lambda g(\lambda )=\int _{0}^{\lambda }g^{2}(\delta )d\delta \Rightarrow \lambda g'(\lambda )+g(\lambda )=g^{2}(\lambda )\Rightarrow g(\lambda )={\dfrac {1}{\lambda T+1}}}$.

Demostraremos que${\displaystyle \rho (\varepsilon )={\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}$( Distribución de Boltzmann ) tomando su transformada de Laplace y calculando la función generadora:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}\cdot e^{-\lambda \varepsilon }d\varepsilon ={\dfrac {1}{T}}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }d\varepsilon =-{\dfrac {1}{T\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)}}e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }|_{0}^{\infty }={\dfrac {1}{\lambda T+1}}=g(\lambda )}$.

Algunas arenas de playa, como las de la playa llamada acertadamente Playa Chirriante , emiten un chirrido al caminar sobre ellas. Se sabe que algunas dunas del desierto producen un estruendo durante las avalanchas o cuando su superficie se ve alterada. Los materiales granulares descargados de los silos producen fuertes emisiones acústicas en un proceso conocido como bocinazo de silo .