Navegación de círculo máximo

La navegación ortodrómica o de círculo máximo (relacionada con el rumbo ortodrómico ; del griego antiguo ορθός ( orthós ) ' ángulo recto ' y δρόμος ( drómos ) ' camino ' ) es la práctica de navegar una embarcación (un barco o una aeronave ) a lo largo de un círculo máximo . Dichas rutas proporcionan la distancia más corta entre dos puntos del globo. ^{[ 1 ]}  

La trayectoria del círculo máximo se puede encontrar utilizando trigonometría esférica ; esta es la versión esférica del problema geodésico inverso . Si un navegante comienza en P ₁  =  ( φ ₁ , λ ₁ ) y planea recorrer el círculo máximo hasta un punto en P ₂  =  ( φ ₂ , λ ₂ ) (véase la figura 1, donde φ es la latitud, positiva hacia el norte, y λ es la longitud, positiva hacia el este), las trayectorias inicial y final α ₁ y α ₂ se obtienen mediante fórmulas para resolver un triángulo esférico.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}}$

donde λ ₁₂  = λ ₂ − λ ₁ ^{[ nota 1 ]} y los cuadrantes de α ₁ , α ₂ se determinan por los signos del numerador y el denominador en las fórmulas de la tangente (por ejemplo, usando la función atan2 ). El ángulo central entre los dos puntos, σ ₁₂ , viene dado por   

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}$^{[ nota 2 ] [ nota 3 ]}

(El numerador de esta fórmula contiene las cantidades que se utilizaron para determinar tan α ₁ .) La distancia a lo largo del círculo máximo será entonces s ₁₂ = R σ ₁₂ , donde R es el radio supuesto de la Tierra y σ ₁₂ se expresa en radianes . Usando el radio medio de la Tierra , R = R ₁ ≈ 6371 km (3959 mi) se obtienen resultados para la distancia s ₁₂ que están dentro del 1 % de la longitud geodésica para el elipsoide WGS84 ; consulte Geodésicas en un elipsoide para obtener más detalles.         

Relación con el sistema de coordenadas geocéntricas

Es posible realizar una evaluación detallada de la dirección óptima si la superficie del mar se aproxima mediante una superficie esférica. El cálculo estándar sitúa el barco en una latitud geodésica _φs y una longitud geodésica λs , donde φ se considera positiva si está al norte del ecuador y donde λ se considera positiva si está al este de _Greenwich . En el sistema de coordenadas geocéntricas centrado en el centro de la esfera, las componentes cartesianas son:

${\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _ {s}\cos \lambda _ {s}\\\cos \varphi _ {s}\sin \lambda _ {s}\\\sin \varphi _ {s}\end{array}}\right)}$

y la posición objetivo es

${\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}$

El Polo Norte está en

${\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

La distancia mínima d es la distancia a lo largo de un círculo máximo que pasa por s y t . Se calcula en un plano que contiene el centro de la esfera y el círculo máximo .

${\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}$

donde θ es la distancia angular entre dos puntos vistos desde el centro de la esfera, medida en radianes . El coseno del ángulo se calcula mediante el producto escalar de los dos vectores.

${\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}$

Si el barco navega directamente hacia el Polo Norte, la distancia de viaje es

${\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}$

Si un barco parte del punto t y navega directamente hacia el Polo Norte, la distancia recorrida es

${\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}$

Derivación

La fórmula del coseno de la trigonometría esférica ^{[ 4 ]} produce para el ángulo p entre los círculos máximos que pasan por s que apuntan al Norte por un lado y a t por el otro.

${\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}$

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}$

La fórmula del seno produce

${\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}$

Resolviendo esto para sin θ _s,t e insertándolo en la fórmula anterior se obtiene una expresión para la tangente del ángulo de posición ,

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}$

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}$

Más detalles

Debido a que la derivación breve da un ángulo entre 0 y π que no revela el signo (¿oeste o este del norte  ?), es deseable una derivación más explícita que produzca por separado el seno y el coseno de p de tal manera que el uso de la rama correcta de la tangente inversa permita producir un ángulo en todo el rango −π ≤ p ≤ π .

El cálculo comienza con la construcción del círculo máximo entre s y t . Este círculo se encuentra en el plano que contiene el centro de la esfera, s y t , y se construye rotando s un ángulo θ _s,t alrededor de un eje ω . El eje es perpendicular al plano del círculo máximo y se calcula mediante el producto vectorial normalizado de las dos posiciones:

${\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}$

Un sistema de coordenadas inclinado diestro con el centro en el centro de la esfera viene dado por los siguientes tres ejes: el eje s , el eje

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)}$

y el eje ω . Una posición a lo largo del círculo máximo viene dada por el ángulo θ :

${\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}$

La dirección de la brújula se obtiene calculando el gradiente del vector con respecto a θ en θ=0 .

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}$

El ángulo p se obtiene dividiendo esta dirección a lo largo de dos direcciones ortogonales en el plano tangente a la esfera en el punto s . Las dos direcciones vienen dadas por las derivadas parciales de s con respecto a φ y con respecto a λ , normalizadas a la unidad de longitud:

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}$

u _N apunta al norte y u _E apunta al este en la posición s . El ángulo de posición p proyecta s _⊥ en estas dos direcciones,

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}$,

donde el signo positivo significa que los ángulos de posición positivos se definen como norte sobre este. Los valores del coseno y el seno de p se calculan multiplicando esta ecuación en ambos lados por los dos vectores unitarios,

${\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];}$

${\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].}$

En lugar de insertar la expresión compleja de s _⊥ , la evaluación puede emplear el hecho de que el triple producto es invariante bajo un desplazamiento circular de los tres argumentos:

${\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}$

Si se utiliza atan2 para calcular el valor, se pueden reducir ambas expresiones dividiendo por cos φ _t y multiplicando por sin θ _s,t , ya que estos valores siempre son positivos y esa operación no cambia de signo; entonces efectivamente

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin p}{\cos p}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}$

Para hallar los puntos de referencia , es decir, las posiciones de puntos seleccionados en el círculo máximo entre P ₁ y P ₂ , primero extrapolamos el círculo máximo hasta su nodo A , el punto en el que el círculo máximo cruza el ecuador en dirección norte: sea la longitud de este punto λ ₀ — véase la figura  1. El acimut en este punto, α ₀ , viene dado por

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$^{[ nota 4 ]}

Sean σ ₀₁ y σ ₀₂ las distancias angulares a lo largo del círculo máximo desde A hasta P ₁ y P _2, respectivamente. Entonces, usando las reglas de Napier, tenemos:

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(Si φ ₁  =  0 y α ₁  = 1 ⁄ 2 π , use σ ₀₁ = 0).   

Esto da σ ₀₁ , de donde σ ₀₂  = σ ₀₁ + σ ₁₂ .   

La longitud en el nodo se encuentra a partir de

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}$

Finalmente, calcule la posición y el acimut en un punto arbitrario, P (véase la figura 2), mediante la versión esférica del problema geodésico directo . ^{[ nota 5 ]} Las reglas de Napier dan

${\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$^{[ nota 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}$

La función atan2 debe usarse para determinar σ ₀₁ , λ y α . Por ejemplo, para encontrar el punto medio del camino, sustituya σ  = 1 ⁄ 2 ( σ ₀₁ + σ ₀₂ ); alternativamente, para encontrar el punto a una distancia d del punto de partida, tome σ = σ ₀₁ + d / R . De igual manera, el vértice , el punto en el círculo máximo con la mayor latitud, se encuentra sustituyendo σ = + 1 ⁄ 2 π . Puede ser conveniente parametrizar la ruta en términos de la longitud usando         

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$^{[ nota 7 ]}

Se pueden encontrar latitudes a intervalos regulares de longitud y transferir las posiciones resultantes al mapa de Mercator, lo que permite aproximar el círculo máximo mediante una serie de líneas de rumbo . La trayectoria determinada de esta manera da la elipse máxima que une los puntos extremos, siempre que se conozcan las coordenadas.${\displaystyle (\phi ,\lambda )}$ se interpretan como coordenadas geográficas en el elipsoide.

Estas fórmulas se aplican a un modelo esférico de la Tierra. También se utilizan para calcular el círculo máximo en la esfera auxiliar , que es un método para hallar la trayectoria más corta, o geodésica , en un elipsoide de revolución; véase el artículo sobre geodésicas en un elipsoide .

Calcula la ruta del círculo máximo desde Valparaíso , φ ₁  = − 33°, λ ₁ = − 71,6°, hasta Shanghai , φ ₂ = 31,4°, λ ₂ = 121,8°.       

Las fórmulas para el rumbo y la distancia dan λ ₁₂  = − 166,6°, ^{[ nota 8 ]} α ₁ = − 94,41°, α ₂ = − 78,42° y σ ₁₂ = 168,56°. Tomando el radio de la Tierra como R = 6371 km, la distancia es s ₁₂ = 18743 km.             

Para calcular puntos a lo largo de la ruta, primero encuentre α ₀  = − 56.74°, σ ₀₁ = − 96.76°, σ ₀₂ = 71.8°, λ ₀₁ = 98.07° y λ ₀ = − 169.67°. Luego, para calcular el punto medio de la ruta (por ejemplo), tome σ = 1 ⁄ 2 ( σ ₀₁ + σ ₀₂ ) = − 12.48° y resuelva para φ = − 6.81°, λ = − 159.18° y α = − 57.36°.                     

Si la geodésica se calcula con precisión en el elipsoide WGS84 , ^{[ 5 ]} los resultados son α ₁  = − 94,82°, α ₂ = − 78,29° y s ₁₂ = 18752 km. El punto medio de la geodésica es φ = − 7,07°, λ = − 159,31°, α = − 57,45°.            

Una línea recta trazada en una carta gnomónica representa una porción de un círculo máximo. Al transferirla a una carta de Mercator , se convierte en una curva. Las posiciones se transfieren a intervalos de longitud convenientes y esta trayectoria se traza en la carta de Mercator para la navegación.

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• Círculo máximo – de MathWorld. Descripción, figuras y ecuaciones del círculo máximo. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Mapa de círculos máximos: Herramienta interactiva para trazar rutas de círculos máximos en una esfera.
• Great Circle Mapper: Herramienta interactiva para trazar rutas de círculo máximo.
• Calculadora de círculo máximo que determina el rumbo (inicial) y la distancia entre dos puntos.
• Great Circle Distance es una herramienta gráfica para dibujar círculos máximos sobre mapas. También muestra la distancia y el acimut en una tabla.
• Programa de asistencia de Google para la navegación ortodrómica