Círculo máximo

En matemáticas , un círculo máximo u ortodrómico es la intersección circular de una esfera y un plano que pasa por el centro de la esfera . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Cualquier arco de un círculo máximo es una geodésica de la esfera, de modo que los círculos máximos en geometría esférica son el análogo natural de las líneas rectas en el espacio euclidiano . Para cualquier par de puntos distintos no antagónicos en la esfera, existe un único círculo máximo que pasa por ambos. (Cada círculo máximo que pasa por un punto también pasa por su punto antagónico, por lo que existen infinitos círculos máximos que pasan por dos puntos antagónicos). El más corto de los dos arcos de círculo máximo entre dos puntos distintos en la esfera se denomina arco menor , y es el camino superficial más corto entre ellos. Su longitud de arco es la distancia del círculo máximo entre los puntos (la distancia intrínseca en una esfera) y es proporcional a la medida del ángulo central formado por los dos puntos y el centro de la esfera.

Un círculo máximo es el círculo más grande que se puede dibujar en una esfera. Cualquier diámetro de un círculo máximo coincide con un diámetro de la esfera; por lo tanto, todo círculo máximo es concéntrico con la esfera y comparte el mismo radio . Cualquier otro círculo de la esfera se denomina círculo menor y es la intersección de la esfera con un plano que no pasa por su centro. Los círculos menores son el análogo en geometría esférica de los círculos en el espacio euclidiano.

En el espacio euclidiano tridimensional, cada círculo es un círculo máximo de exactamente una esfera.

El disco delimitado por un círculo máximo se llama disco máximo : es la intersección de una esfera y un plano que pasa por su centro. En dimensiones superiores, los círculos máximos en la n -esfera son la intersección de la n -esfera con planos de dimensión 2 que pasan por el origen en el espacio euclidiano R ^{n + 1} .

La mitad de un círculo máximo puede llamarse semicírculo máximo (por ejemplo, como en las partes de un meridiano en astronomía ).

Para demostrar que el arco menor de un círculo máximo es el camino más corto que conecta dos puntos en la superficie de una esfera, se le puede aplicar el cálculo de variaciones .

Consideremos la clase de todos los caminos regulares desde un punto${\displaystyle p}$a otro punto${\displaystyle q}$. Introducir coordenadas esféricas de modo que${\displaystyle p}$coincide con el polo norte. Cualquier curva en la esfera que no interseca ninguno de los polos, excepto posiblemente en los puntos extremos, puede ser parametrizada por

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

proporcionó${\displaystyle \phi }$se le permite tomar valores reales arbitrarios. La longitud de arco infinitesimal en estas coordenadas es

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Entonces, la longitud de una curva${\displaystyle \gamma }$de${\displaystyle p}$a${\displaystyle q}$es un funcional de la curva dada por

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Según la ecuación de Euler-Lagrange ,${\displaystyle S[\gamma ]}$se minimiza si y solo si

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$,

dónde${\displaystyle C}$es un${\displaystyle t}$constante independiente y

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

De la primera ecuación de estas dos, se puede obtener que

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$.

Integrando ambos lados y considerando la condición de contorno, la solución real de${\displaystyle C}$es cero. Por lo tanto,${\displaystyle \phi '=0}$y${\displaystyle \theta }$puede ser cualquier valor entre 0 y${\displaystyle \theta _{0}}$, lo que indica que la curva debe estar sobre un meridiano de la esfera. En un sistema de coordenadas cartesianas , esto es

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

que es un plano que pasa por el origen, es decir, el centro de la esfera.

Algunos ejemplos de círculos máximos en la esfera celeste incluyen el horizonte celeste , el ecuador celeste y la eclíptica . Los círculos máximos también se utilizan como aproximaciones bastante precisas de las geodésicas en la superficie terrestre para la navegación aérea o marítima (aunque no es una esfera perfecta ), así como en cuerpos celestes esferoidales .

El ecuador de la Tierra idealizada es un círculo máximo, y cualquier meridiano y su opuesto forman un círculo máximo. Otro círculo máximo es el que divide los hemisferios terrestre y acuático . Un círculo máximo divide la Tierra en dos hemisferios , y si un círculo máximo pasa por un punto, debe pasar por su punto antipodal .

La transformada de Funk integra una función a lo largo de todos los círculos máximos de la esfera.

• Gran elipse
• Línea de rumbo

• Círculo máximo – de MathWorld. Descripción, figuras y ecuaciones del círculo máximo. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Círculos máximos en el diagrama de Mercator por John Snyder con contribuciones adicionales de Jeff Bryant, Pratik Desai y Carl Woll, Proyecto de demostraciones de Wolfram .