Teorema de Picard

En análisis complejo , el gran teorema de Picard y el pequeño teorema de Picard son teoremas relacionados sobre el rango de una función analítica . Reciben su nombre de Émile Picard .

Los teoremas

Teorema del pequeño Picard: Si una función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ es entero y no constante, entonces el conjunto de valores que ${\textstyle f(z)}$ se supone que es todo el plano complejo o el plano menos un solo punto.

Bosquejo de la prueba: La prueba original de Picard se basó en propiedades de la función lambda modular , que generalmente se denota por ${\textstyle \lambda }$ y que realiza, utilizando terminología moderna, el recubrimiento universal holomorfo del plano doblemente perforado por el disco unitario. Esta función se construye explícitamente en la teoría de las funciones elípticas . Si ${\textstyle f}$ omite dos valores, luego eleva ${\textstyle f}$ a lo largo del mapa de recubrimiento universal envía el plano al disco unitario a través de una función holomorfa, lo que implica que ${\textstyle f}$ es constante según el teorema de Liouville.

Este teorema supone un fortalecimiento significativo del teorema de Liouville, que establece que la imagen de una función entera no constante debe ser ilimitada . Posteriormente se encontraron muchas demostraciones diferentes del teorema de Picard, y el teorema de Schottky es una versión cuantitativa del mismo. En el caso en que los valores de ${\textstyle f}$ falta un único punto, este punto se denomina valor lacunar de la función.

Teorema del Gran Picard: Si una función analítica ${\textstyle f}$ tiene una singularidad esencial en un punto ${\textstyle w}$ , entonces en cualquier vecindario perforado de ${\textstyle w,f(z)}$ Toma todos los valores complejos posibles, con como máximo una sola excepción, infinitamente a menudo.

Esto supone un fortalecimiento sustancial del teorema de Casorati-Weierstrass , que solo garantiza que el rango de ${\textstyle f}$ es denso en el plano complejo. Un resultado del Gran Teorema de Picard es que cualquier función entera no polinómica alcanza todos los posibles valores complejos infinitas veces, con como máximo una excepción.

La "única excepción" es necesaria en ambos teoremas, como se demuestra aquí:

e ^z es una función entera no constante que nunca es 0,
${\textstyle e^{\frac {1}{z}}}$ tiene una singularidad esencial en 0, pero aún así nunca alcanza el valor 0.

Prueba

Teorema del pequeño Picard

Suponer ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ es una función completa que omite dos valores ${\textstyle z_{0}}$ y ${\textstyle z_{1}}$ . Entonces ${\textstyle {\frac {f(z)-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}}$ También es completo y podemos asumir sin pérdida de generalidad que ${\textstyle z_{0}=0}$ y ${\textstyle z_{1}=1}$ .

Porque ${\textstyle \mathbb {C} }$ simplemente está conectado y el rango de ${\textstyle f}$ omite ${\textstyle 0}$ , f tiene un logaritmo holomorfo . Sea ${\textstyle g}$ sea una función completa tal que ${\textstyle f(z)=e^{2\pi ig(z)}}$ . Entonces el rango de ${\textstyle g}$ omite todos los enteros. Mediante un argumento similar utilizando la fórmula cuadrática , existe una función completa ${\textstyle h}$ de tal manera que ${\textstyle g(z)=\cos(h(z))}$ . Entonces el rango de ${\textstyle h}$ omite todos los números complejos de la forma ${\textstyle 2\pi n\pm i\cosh ^{-1}(m)}$ , dónde ${\textstyle n}$ es un número entero y ${\textstyle m}$ es un número entero no negativo.

Según el teorema de Landau , si ${\textstyle h'(w)\neq 0}$ , entonces para todos ${\textstyle {R>0}}$ , el rango de ${\textstyle h}$ contiene un disco de radio ${\textstyle |h'(w)|R/72}$ . Pero desde arriba, cualquier disco suficientemente grande contiene al menos un número que el rango de h omite. Por lo tanto ${\textstyle h'(w)=0}$ a pesar de ${\textstyle w}$ . Por el teorema fundamental del cálculo , ${\textstyle h}$ es constante, por lo tanto ${\textstyle f}$ es constante.

Gran Teorema de Picard

Generalización e investigación actual

El teorema del Gran Picard es cierto en una forma ligeramente más general que también se aplica a funciones meromorfas :

Teorema del Gran Picard (versión meromorfa): Si M es una superficie de Riemann , w un punto en M , P ¹ ( C ) = C ∪ {∞} denota la esfera de Riemann y f : M \{ w } → P ¹ ( C ) es una función holomorfa con singularidad esencial en w , entonces en cualquier subconjunto abierto de M que contenga a w , la función f ( z ) alcanza todos los puntos de P ¹ ( C ) excepto como máximo dos infinitas veces.

Ejemplo: La función f ( z ) = 1/(1 − e ^1/^z ) es meromorfa en C* = C - {0}, el plano complejo sin el origen. Tiene una singularidad esencial en z = 0 y alcanza el valor ∞ infinitas veces en cualquier entorno de 0; sin embargo, no alcanza los valores 0 ni 1.

Con esta generalización, el Teorema de Picard Menor se deduce del Teorema de Picard Mayor porque una función completa es un polinomio o tiene una singularidad esencial en el infinito. Al igual que en el teorema menor, los (como máximo dos) puntos que no se alcanzan son valores lacunares de la función.

La siguiente conjetura está relacionada con el "Teorema del Gran Picard": ^{[ 1 ]}

Conjetura: Sea { U ₁ , ..., U _n } una colección de subconjuntos abiertos conexos de C que cubren el disco unitario perforado D \ {0}. Supongamos que en cada U _j hay una función holomorfa inyectiva f _j , tal que d f _j = d f _k en cada intersección U _j ∩ U _k . Entonces los diferenciales se pegan entre sí para formar una 1- forma meromorfa en D .

Es evidente que los diferenciales se unen para formar una 1-forma holomorfa g d z en D \ {0}. En el caso especial en que el residuo de g en 0 es cero, la conjetura se deduce del "Teorema del Gran Picard".

Notas

^ Elsner, B. (1999). «Integral de acción hiperelíptica» (PDF) . Anales del Instituto Fourier . 49 (1): 303– 331. doi : 10.5802/aif.1675 .

Referencias

Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Shurman, Jerry. "Esbozo del teorema de Picard" (PDF) . Consultado el 18 de mayo de 2010 .

[1] Elsner, B. (1999). «Integral de acción hiperelíptica» (PDF) . Anales del Instituto Fourier . 49 (1): 303– 331. doi : 10.5802/aif.1675 .

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