Cubriendo espacio

{\displaystyle U} — Intuitivamente, una cubierta proyecta localmente una "pila de panqueques" sobre un vecindario abierto. $U$ sobre $U$

En topología , un recubrimiento o proyección de recubrimiento es una aplicación entre espacios topológicos que, intuitivamente, actúa localmente como una proyección de múltiples copias de un espacio sobre sí mismo. En particular, los recubrimientos son tipos especiales de homeomorfismos locales . Si $p:{\tilde {X}}\to X$ es una cubierta, $({\tilde {X}},p)$ Se dice que es un espacio de cobertura o cubierta de $X$ , y $X$ Se dice que es la base de la cubierta , o simplemente la base . Por abuso de terminología , ${\tilde {X}}$ y $p$ También se les puede llamar a veces espacios de recubrimiento . Dado que los recubrimientos son homeomorfismos locales, un espacio de recubrimiento es un tipo especial de espacio étalé .

Los espacios de recubrimiento surgieron por primera vez en el contexto del análisis complejo (específicamente, la técnica de continuación analítica ), donde Riemann los introdujo como dominios en los que las funciones complejas naturalmente multivaluadas se convierten en univaluadas. Estos espacios ahora se denominan superficies de Riemann . ^{[ 1 ]}^{: 10}

Los espacios de recubrimiento son una herramienta importante en varias áreas de las matemáticas. En geometría moderna , los espacios de recubrimiento (o recubrimientos ramificados , que tienen condiciones ligeramente más débiles) se utilizan en la construcción de variedades , orbifolds y los morfismos entre ellos. En topología algebraica , los espacios de recubrimiento están estrechamente relacionados con el grupo fundamental : por un lado, dado que todos los recubrimientos tienen la propiedad de elevación homotópica , los espacios de recubrimiento son una herramienta importante en el cálculo de grupos homotópicos . Un ejemplo estándar en este sentido es el cálculo del grupo fundamental del círculo mediante el recubrimiento de $S^{1}$ por $\mathbb {R}$ (véase más abajo ). ^{[ 2 ]}^{: 29} Bajo ciertas condiciones, los espacios de recubrimiento también exhiben una correspondencia de Galois con los subgrupos del grupo fundamental.

Definición

Dejar $X$ sea un espacio topológico. Un recubrimiento de $X$ es un mapa continuo

{\displaystyle \pi

de tal manera que para cada $x\in X$ Existe un vecindario abierto $U_{x}$ de $x$ y un espacio discreto $D_{x}$ de tal manera que $\pi ^{-1}(U_{x})$ es la unión disjunta $\displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}$ y $\pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}$ es un homeomorfismo para cada $d\in D_{x}$ Los conjuntos abiertos $V_{d}$ se llaman hojas , que están determinadas de forma única salvo homeomorfismo si $U_{x}$ está conectado . ^{[ 2 ]}^{: 56} Para cada uno $x\in X$ el conjunto discreto $\pi ^{-1}(x)$ se llama la fibra de $x$ . Si $X$ está conectado (y ${\tilde {X}}$ (es no vacío), se puede demostrar que $\pi$ es sobreyectiva y la cardinalidad de $D_{x}$ es lo mismo para todos $x\in X$ ; este valor se denomina grado de cobertura. Si ${\tilde {X}}$ es conectado por caminos , entonces la cobertura ${\displaystyle \pi$ se denomina recubrimiento conexo por caminos . Esta definición es equivalente a la afirmación de que $\pi$ es un fibrado localmente trivial .

Algunos autores también requieren que $\pi$ ser sobreyectivo en el caso de que $X$ no está conectado. ^{[ 3 ]}

Ejemplos

Para cada espacio topológico $X$ , el mapa de identidad $\operatorname {id} :X\rightarrow X$ es una cubierta. Igualmente para cualquier espacio discreto $D$ la proyección $\pi :X\times D\rightarrow X$ tomando $(x,i)\mapsto x$ es un recubrimiento. Los recubrimientos de este tipo se llaman recubrimientos triviales ; si $D$ tiene un número finito (por ejemplo, $k$ ) elementos, el recubrimiento se llama trivial $k$ -revestimiento en láminas de $X$ .

{\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} } — La tira infinita $Y=[0,1]\times \mathbb {R}$ es un espacio de recubrimiento del anillo $X=[0,1]\times S^{1}$ Los conjuntos abiertos disjuntos $S_{i}$ se mapean homeomórficamente en $U$ . La fibra de $x$ consiste en el conjunto de puntos infinitos $\{y_{i}\}_{i\in \mathbb {Z} }$ .

El mapa $r:\mathbb {R} \to S^{1}$ con $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ es una cubierta del círculo unitario $S^{1}$ . La base de la cubierta es $S^{1}$ y el espacio de cobertura es $\mathbb {R}$ . Por cualquier punto $x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}$ de tal manera que $x_{1}>0$ , el conjunto $U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}$ es un vecindario abierto de $x$ . La preimagen de $U$ bajo $r$ es
$r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)$

y las láminas de la cubierta son

V_{n}=(n-1/4,n+1/4)

para

n\in \mathbb {Z}.

La fibra de

x

es

r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.

Otra cobertura del círculo unitario es el mapa $q:S^{1}\to S^{1}$ con $q(z)=z^{n}$ para algunos positivos $n\in \mathbb {N} .$ Para un vecindario abierto $U$ de un $x\in S^{1}$ , uno tiene:

q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U

.

Un mapa que es un homeomorfismo local pero no un recubrimiento del círculo unitario es $p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}$ con $p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ . Hay una hoja de un vecindario abierto de $(1,0)$ , que no se mapea homeomórficamente en $U$ .

Dejar $n\geq 1$ ser extraño. El mapa $p:\mathrm {O} (n)\to \mathrm {SO} (n)$ definido por $p(Q)=(\det Q)Q$ es un recubrimiento doble homomórfico.

Propiedades

homeomorfismo local

Dado que una cubierta $\pi :E\rightarrow X$ mapea cada uno de los conjuntos abiertos disjuntos de $\pi ^{-1}(U)$ homeomórficamente sobre $U$ es un homeomorfismo local, es decir $\pi$ es un mapa continuo y para cada $e\in E$ Existe un vecindario abierto $V\subset E$ de $e$ , de tal manera que $\pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)$ es un homeomorfismo.

De ello se deduce que el espacio de cobertura $E$ y el espacio base $X$ comparten localmente las mismas propiedades.

Si $X$ Si es una variedad conectada y no orientable , entonces existe un recubrimiento. ${\displaystyle \pi$ de grado $2$ , por lo cual ${\tilde {X}}$ es una variedad conexa y orientable. ^{[ 2 ]}^{: 234}
Si $X$ es un grupo de mentiras conectado , entonces hay una cobertura ${\displaystyle \pi$ que también es un homomorfismo de grupo de Lie y ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma$ es un grupo de Lie.^{[ 4 ]}^{: 174}
Si $X$ es un gráfico , entonces se sigue para una cobertura $\pi :E\rightarrow X$ eso $E$ También es un gráfico. ^{[ 2 ]}^{: 85}
Si $X$ es un colector conectado , luego hay una cubierta ${\displaystyle \pi$ , por lo cual ${\tilde {X}}$ es una variedad conexa y simplemente conexa . ^{[ 5 ]}^{: 32}
Si $X$ Si es una superficie de Riemann conectada , entonces hay un recubrimiento. ${\displaystyle \pi$ que también es un mapa holomorfo^{[ 5 ]}^{: 22} y ${\tilde {X}}$ es una superficie de Riemann conexa y simplemente conexa. ^{[ 5 ]}^{: 32}

Factorización

Dejar $X,Y$ y $E$ ser espacios conectados por caminos, espacios conectados localmente por caminos y $p,q$ y $r$ ser mapas continuos, de tal manera que el diagrama

desplazamientos diarios.

Si $p$ y $q$ son cubiertas, así que es $r$ .
Si $p$ y $r$ son cubiertas, así que es $q$ . ^{[ 6 ]}^{: 485}

Producto de revestimientos

Dejar $X$ y $X'$ sean espacios topológicos y $p:E\rightarrow X$ y $p':E'\rightarrow X'$ ser cubiertas, entonces $p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'$ con $(p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))$ es una cubierta. ^{[ 6 ]}^{: 339} Sin embargo, las cubiertas de $X\times X'$ No todos tienen esta forma en general.

Equivalencia de recubrimientos

Dejar $X$ sea un espacio topológico y $p:E\rightarrow X$ y $p':E'\rightarrow X$ ser recubrimientos. Ambos recubrimientos se llaman equivalentes , si existe un homeomorfismo. $h:E\rightarrow E'$ , de tal manera que el diagrama

conmuta. Si existe tal homeomorfismo, entonces se denomina espacios de recubrimiento $E$ y $E'$ isomorfo .

Elevación de la propiedad

Todos los revestimientos cumplen con la propiedad de elevación , es decir:

Dejar $I$ sea el intervalo unitario y $p:E\rightarrow X$ ser una cubierta. Deja $F:Y\times I\rightarrow X$ ser un mapa continuo y ${\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E$ ser un ascensor de $F|_{Y\times \{0\}}$ , es decir, una aplicación continua tal que $p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}$ Luego hay un mapa continuo determinado de forma única. ${\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E$ para qué ${\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}$ y que es un ascensor de $F$ , es decir $p\circ {\tilde {F}}=F$ . ^{[ 2 ]}^{: 60}

Si $X$ es un espacio conectado por caminos, entonces para $Y=\{0\}$ De ello se deduce que el mapa ${\tilde {F}}$ es un ascensor de un camino en $X$ y para $Y=I$ es un levantamiento de una homotopía de caminos en $X$ .

En consecuencia, se puede demostrar que el grupo fundamental $\pi _{1}(S^{1})$ del círculo unitario es un grupo cíclico infinito , que se genera mediante las clases de homotopía del bucle. $\gamma :I\rightarrow S^{1}$ con $\gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ . ^{[ 2 ]}^{: 29}

Dejar $X$ ser un espacio conectado por senderos y $p:E\rightarrow X$ ser una cubierta conectada. $x,y\in X$ Sean dos puntos cualesquiera que estén conectados por un camino. $\gamma$ , es decir $\gamma (0)=x$ y $\gamma (1)=y$ . Dejar ${\tilde {\gamma }}$ ser el único ascensor de $\gamma$ , luego el mapa

L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)

con

L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)

es biyectiva . ^{[ 2 ]}^{: 69}

Si $X$ es un espacio conectado por caminos y $p:E\rightarrow X$ una cubierta conectada, luego el homomorfismo de grupo inducido

p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)

con

p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]

,

es inyectivo y el subgrupo $p_{\#}(\pi _{1}(E))$ de $\pi _{1}(X)$ consiste en las clases de homotopía de bucles en $X$ , cuyos ascensores son bucles en $E$ . ^{[ 2 ]}^{: 61}

Cubierta ramificada

Definiciones

Mapas holomorfos entre superficies de Riemann

Dejar $X$ y $Y$ sean superficies de Riemann , es decir, variedades complejas unidimensionales , y sea $f:X\rightarrow Y$ ser un mapa continuo. $f$ es holomorfo en un punto $x\in X$ , si para algún gráfico $\phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}$ de $x$ y $\phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}$ de $f(x)$ , con $\phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}$ , el mapa $\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ es holomorfo .

Si $f$ es holomorfo en absoluto $x\in X$ , decimos $f$ es holomorfo.

El mapa $F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}$ se denomina expresión local de $f$ en $x\in X$ .

Si $f:X\rightarrow Y$ es una aplicación holomorfa no constante entre superficies de Riemann compactas , entonces $f$ es sobreyectiva y una aplicación abierta , ^{[ 5 ]}^{: 11} es decir, para todo conjunto abierto $U\subset X$ la imagen $f(U)\subset Y$ También está abierto.

Punto de ramificación y punto de bifurcación

Dejar $f:X\rightarrow Y$ Sea una aplicación holomorfa no constante entre superficies de Riemann compactas. Para cada $x\in X$ existen gráficos para $x$ y $f(x)$ y existe una determinación única $k_{x}\in \mathbb {N_{>0}}$ , de tal manera que la expresión local $F$ de $f$ en $x$ es de la forma $z\mapsto z^{k_{x}}$ . ^{[ 5 ]}^{: 10} El número $k_{x}$ se denomina índice de ramificación de $f$ en $x$ y el punto $x\in X$ se denomina punto de ramificación si $k_{x}\geq 2$ . Si $k_{x}=1$ para un $x\in X$ , entonces $x$ no está ramificado . El punto de imagen $y=f(x)\in Y$ Un punto de ramificación se denomina punto de bifurcación.

Grado de un mapa holomorfo

Dejar $f:X\rightarrow Y$ Sea una aplicación holomorfa no constante entre superficies de Riemann compactas. El grado $\operatorname {deg} (f)$ de $f$ es la cardinalidad de la fibra de un punto no ramificado $y=f(x)\in Y$ , es decir $\operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|$ .

Este número está bien definido, ya que para cada $y\in Y$ la fibra $f^{-1}(y)$ es discreto ^{[ 5 ]}^{: 20} y para cualesquiera dos puntos no ramificados $y_{1},y_{2}\in Y$ , es: $|f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.$

Se puede calcular mediante:

\sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)

^{[ 5 ]}^{: 29}

Cubierta ramificada

Definición

Un mapa continuo $f:X\rightarrow Y$ Se denomina recubrimiento ramificado si existe un conjunto cerrado con complemento denso. $E\subset Y$ , de tal manera que $f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E$ es una cubierta.

Ejemplos

Dejar $n\in \mathbb {N}$ y $n\geq 2$ , entonces $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ con $f(z)=z^{n}$ es una cobertura ramificada de grado $n$ , donde por $z=0$ es un punto de bifurcación .
Toda aplicación holomorfa no constante entre superficies de Riemann compactas $f:X\rightarrow Y$ de grado $d$ es una cobertura ramificada de grado $d$ .

Cobertura universal

Definición

Dejar $p:{\tilde {X}}\rightarrow X$ ser una cubierta simplemente conectada . Si $\beta :E\rightarrow X$ es otro recubrimiento simplemente conectado, entonces existe un homeomorfismo determinado de forma única. ${\displaystyle \alpha$ , de tal manera que el diagrama

desplazamientos diarios. ^{[ 6 ]}^{: 482}

Esto significa que $p$ está, salvo equivalencia, determinado de forma única y debido a esa propiedad universal se denomina recubrimiento universal del espacio $X$ .

Existencia

No siempre existe un recubrimiento universal. El siguiente teorema garantiza su existencia para una determinada clase de espacios base.

Dejar $X$ Sea un espacio topológico conexo y localmente simplemente conexo . Entonces, existe un recubrimiento universal. $p:{\tilde {X}}\rightarrow X.$

El conjunto ${\tilde {X}}$ se define como ${\displaystyle {\tilde {X}}=\{\gamma$ donde $x_{0}\in X$ es cualquier punto base elegido. El mapa $p:{\tilde {X}}\rightarrow X$ se define por $p([\gamma ])=\gamma (1).$ ^{[ 2 ]}^{: 64}

La topología en ${\tilde {X}}$ se construye de la siguiente manera: Sea $\gamma :I\rightarrow X$ ser un camino con $\gamma (0)=x_{0}.$ Dejar $U$ ser un vecindario simplemente conectado del punto final $x=\gamma (1).$ Entonces, por cada $y\in U,$ Hay un camino $\sigma _{y}$ adentro $U$ de $x$ a $y$ que es único salvo homotopía . Ahora consideremos el conjunto ${\tilde {U}}=\{\gamma \sigma _{y}:y\in U\}/{\text{homotopy with fixed ends}}.$ La restricción $p|_{\tilde {U}}:{\tilde {U}}\rightarrow U$ con $p([\gamma \sigma _{y}])=\gamma \sigma _{y}(1)=y$ es una biyección y ${\tilde {U}}$ puede equiparse con la topología final de $p|_{\tilde {U}}.$

El grupo fundamental $\pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma$ actúa libremente en ${\tilde {X}}$ por $([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma {\tilde {x}}],$ y el espacio orbital $\Gamma \backslash {\tilde {X}}$ es homeomorfo a $X$ a través del mapa $[\Gamma {\tilde {x}}]\mapsto {\tilde {x}}(1).$

Ejemplos

$p:\mathbb {R} \to S^{1}$ con $p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ es la cobertura universal del círculo unitario $S^{1}$ .
$p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}$ con $p(x)=[x]$ es la cobertura universal del espacio proyectivo $\mathbb {R} P^{n}$ para $n>1$ .

$p:\mathrm {SU} (n)\times \mathbb {R} \to U(n)$ con $p(A,t)=\exp(2\pi it)A$ es la cobertura universal del grupo unitario $U(n)$ .

Desde $\mathrm {SU} (2)\cong S^{3}$ De ello se deduce que el mapa cociente $p:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)/\mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)$ es la cobertura universal de $\mathrm {SO} (3)$ .

Un espacio topológico que no tiene recubrimiento universal es el pendiente hawaiano : $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}$ Se puede demostrar que ningún vecindario del origen $(0,0)$ simplemente está conectado. ^{[ 6 ]}^{: 487, Ejemplo 1}

Revestimientos G

Sea G un grupo discreto que actúa sobre el espacio topológico X. Esto significa que cada elemento g de G está asociado a un homeomorfismo H _g de X sobre sí mismo, de tal manera que H _{g h} siempre es igual a H _g. $\circ$ H _h para cualesquiera dos elementos g y h de G. (O dicho de otro modo, una acción de grupo del grupo G sobre el espacio X es simplemente un homomorfismo de grupo del grupo G en el grupo Homeo( X ) de autohomeomorfismos de X ). Es natural preguntarse bajo qué condiciones la proyección de X al espacio de órbitas X / G es una aplicación de recubrimiento. Esto no siempre es cierto, ya que la acción puede tener puntos fijos. Un ejemplo de esto es el grupo cíclico de orden 2 que actúa sobre un producto X × X mediante la acción de torsión, donde el elemento no identidad actúa mediante ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Por lo tanto, el estudio de la relación entre los grupos fundamentales de X y X / G no es tan sencillo.

Sin embargo, el grupo G actúa sobre el grupoide fundamental de X , por lo que el estudio se aborda mejor considerando grupos que actúan sobre grupoides y los grupoides de órbitas correspondientes . La teoría para esto se expone en el Capítulo 11 del libro Topología y grupoides, al que se hace referencia más adelante. El resultado principal es que, para acciones discontinuas de un grupo G sobre un espacio de Hausdorff X que admite una cubierta universal, entonces el grupoide fundamental del espacio de órbitas X / G es isomorfo al grupoide de órbitas del grupoide fundamental de X , es decir, el cociente de ese grupoide por la acción del grupo G. Esto conduce a cálculos explícitos, por ejemplo, del grupo fundamental del cuadrado simétrico de un espacio.

Revestimientos lisos

Sean $E$ y $M$ variedades diferenciables con o sin frontera . Un recubrimiento $\pi :E\to M$ Se denomina recubrimiento liso si es una aplicación lisa y las hojas se proyectan difeomórficamente sobre el subconjunto abierto correspondiente de $M.$ (Esto contrasta con la definición de recubrimiento, que simplemente requiere que las hojas se proyecten homeomórficamente sobre el subconjunto abierto correspondiente).

Transformación de la cubierta

Definición

Dejar $p:E\rightarrow X$ ser una cubierta. Una transformación de cubierta es un homeomorfismo. $d:E\rightarrow E$ , de tal manera que el diagrama de mapas continuos

desplazamientos . Junto con la composición de mapas, el conjunto de transformación de la cubierta forma un grupo $\operatorname {Deck} (p)$ , que es lo mismo que $\operatorname {Aut} (p)$ .

Ahora supongamos que... $p:C\to X$ es un mapa de cobertura y $C$ (y por lo tanto también $X$ ) está conectado y conectado localmente por ruta. La acción de $\operatorname {Aut} (p)$ En cada fibra hay una acción libre . Si esta acción es transitiva en alguna fibra, entonces es transitiva en todas las fibras, y llamamos al recubrimiento regular (o normal o de Galois ). Todo recubrimiento regular de este tipo es un recubrimiento principal . $G$ -paquete , donde $G=\operatorname {Aut} (p)$ se considera un grupo topológico discreto.

Cada cobertura universal $p:D\to X$ es regular, siendo el grupo de transformación de la cubierta isomorfo al grupo fundamental. $\pi _{1}(X)$ .

Ejemplos

Dejar $q:S^{1}\to S^{1}$ ser la cubierta $q(z)=z^{n}$ para algunos $n\in \mathbb {N}$ , luego el mapa $d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}$ para $k\in \mathbb {Z}$ es una transformación de la cubierta y $\operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ .
Dejar $r:\mathbb {R} \to S^{1}$ ser la cubierta $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ , luego el mapa $d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k$ para $k\in \mathbb {Z}$ es una transformación de la cubierta y $\operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z}$ .
Como otro ejemplo importante, consideremos $\mathbb {C}$ el plano complejo y $\mathbb {C} ^{\times }$ el plano complejo menos el origen. Entonces el mapa $p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }$ con $p(z)=z^{n}$ es una cubierta regular. Las transformaciones de la baraja son multiplicaciones con $n$ raíces -ésimas de la unidad y el grupo de transformación de la plataforma es, por lo tanto, isomorfo al grupo cíclico. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ . Asimismo, el mapa ${\displaystyle \exp$ con $\exp(z)=e^{z}$ es la cubierta universal.

Propiedades

Dejar $X$ ser un espacio conectado por senderos y $p:E\rightarrow X$ ser una cubierta conectada. Dado que una transformación de la cubierta $d:E\rightarrow E$ es biyectiva , permuta los elementos de una fibra $p^{-1}(x)$ con $x\in X$ y está determinado de forma única por dónde envía un único punto. En particular, solo el mapa identidad fija un punto en la fibra. ^{[ 2 ]}^{: 70} Debido a esta propiedad, cada transformación de mazo define una acción de grupo en $E$ , es decir, dejar $U\subset X$ ser un vecindario abierto de un $x\in X$ y ${\tilde {U}}\subset E$ un vecindario abierto de un $e\in p^{-1}(x)$ , entonces $\operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})$ es una acción grupal .

Revestimientos normales

Definición

Una cubierta $p:E\rightarrow X$ se llama normal, si $\operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X$ . Esto significa que por cada $x\in X$ y cualesquiera dos $e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)$ existe una transformación de la baraja $d:E\rightarrow E$ , de tal manera que $d(e_{0})=e_{1}$ .

Propiedades

Dejar $X$ ser un espacio conectado por senderos y $p:E\rightarrow X$ ser una cubierta conectada. $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ ser un subgrupo de $\pi _{1}(X)$ , entonces $p$ es una cobertura normal si $H$ es un subgrupo normal de $\pi _{1}(X)$ .

Si $p:E\rightarrow X$ es una cubierta normal y $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ , entonces $\operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H$ .

Si $p:E\rightarrow X$ es una cubierta conectada por caminos y $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ , entonces $\operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H$ , por lo cual $N(H)$ es el normalizador de $H$ . ^{[ 2 ]}^{: 71}

Dejar $E$ ser un espacio topológico. Un grupo $\Gamma$ actúa de forma discontinua en $E$ , si cada $e\in E$ tiene un vecindario abierto $V\subset E$ con $V\neq \emptyset$ , de tal manera que para cada $d_{1},d_{2}\in \Gamma$ con $d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset$ uno tiene $d_{1}=d_{2}$ .

Si un grupo $\Gamma$ actúa de forma discontinua en un espacio topológico $E$ , entonces el mapa cociente $q:E\rightarrow \Gamma \backslash E$ con $q(e)=\Gamma e$ es una cubierta normal. ^{[ 2 ]}^{: 72} Por la presente $\Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}$ es el espacio cociente y $\Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}$ es la órbita de la acción grupal.

Ejemplos

La cubierta $q:S^{1}\to S^{1}$ con $q(z)=z^{n}$ es una cubierta normal para cada $n\in \mathbb {N}$ .
Cualquier revestimiento conectado de forma sencilla es un revestimiento normal.

Cálculo

Dejar $\Gamma$ ser un grupo que actúa de forma discontinua sobre un espacio topológico $E$ y dejar $q:E\rightarrow \Gamma \backslash E$ ser la cubierta normal.

Si $E$ es conectado por caminos, entonces $\operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma$ . ^{[ 2 ]}^{: 72}

Si $E$ simplemente está conectado, entonces $\operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)$ . ^{[ 2 ]}^{: 71}

Ejemplos

Dejar $n\in \mathbb {N}$ El mapa antípoda $g:S^{n}\rightarrow S^{n}$ con $g(x)=-x$ genera, junto con la composición de mapas, un grupo $D(g)\cong \mathbb {Z/2Z}$ e induce una acción grupal $D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)$ , que actúa de forma discontinua sobre $S^{n}$ Debido a $\mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}$ De ello se deduce que el mapa cociente $q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}$ es una cubierta normal y para $n>1$ una cubierta universal, por lo tanto $\operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})$ para $n>1$ .
Dejar $\mathrm {SO} (3)$ sea el grupo ortogonal especial , entonces el mapa $f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)$ es una cubierta normal y debido a $\mathrm {SU} (2)\cong S^{3}$ , es la cubierta universal, por lo tanto $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))$ .
Con la acción grupal $(z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)$ de $\mathbb {Z^{2}}$ en $\mathbb {R^{2}}$ , por lo cual $(\mathbb {Z^{2}} ,*)$ es el producto semidirecto $\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z}$ , uno obtiene la cobertura universal $f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K$ de la botella Klein $K$ , por eso $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)$ .
Dejar $T=S^{1}\times S^{1}$ sea el toro que está incrustado en el $\mathbb {C^{2}}$ Entonces se obtiene un homeomorfismo. $\alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})$ lo que induce una acción de grupo discontinua $G_{\alpha }\times T\rightarrow T$ , por lo cual $G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z}$ De ello se deduce que el mapa $f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K$ es una cubierta normal de la botella Klein, por lo tanto $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z}$ .
Dejar $S^{3}$ estar incrustado en el $\mathbb {C^{2}}$ . Desde la acción grupal $S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})$ es discontinuamente, por lo cual $p,q\in \mathbb {N}$ son coprimos , el mapa $f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}$ es la cubierta universal del espacio de la lente $L_{p,q}$ , por eso $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})$ .

Correspondencia de Galois

Dejar $X$ sea un espacio conectado y localmente simplemente conectado , entonces para cada subgrupo $H\subseteq \pi _{1}(X)$ Existe una cubierta conectada por caminos $\alpha :X_{H}\rightarrow X$ con $\alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H$ . ^{[ 2 ]}^{: 66}

Dejar $p_{1}:E\rightarrow X$ y $p_{2}:E'\rightarrow X$ Si dos recubrimientos conectados por caminos son equivalentes si y solo si los subgrupos $H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))$ y $H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))$ son conjugados entre sí. ^{[ 6 ]}^{: 482}

Dejar $X$ Si un espacio es conexo y localmente simplemente conexo, entonces, salvo equivalencia entre recubrimientos, existe una biyección:

${\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}$

Para una secuencia de subgrupos $\displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)$ uno obtiene una secuencia de recubrimientos ${\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}$ . Para un subgrupo $H\subset \pi _{1}(X)$ con índice $\displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d$ , la cubierta $\alpha :X_{H}\rightarrow X$ tiene título $d$ .

Clasificación

Definiciones

Categoría de revestimientos

Dejar $X$ ser un espacio topológico. Los objetos de la categoría ${\boldsymbol {Cov(X)}}$ son las cubiertas $p:E\rightarrow X$ de $X$ y los morfismos entre dos recubrimientos $p:E\rightarrow X$ y $q:F\rightarrow X$ son mapas continuos $f:E\rightarrow F$ , de tal manera que el diagrama

desplazamientos diarios.

Conjunto G

Dejar $G$ ser un grupo topológico . La categoría ${\boldsymbol {G-Set}}$ es la categoría de conjuntos que son G-conjuntos . Los morfismos son G-mapas. $\phi :X\rightarrow Y$ entre G-conjuntos. Satisfacen la condición $\phi (gx)=g\,\phi (x)$ por cada $g\in G$ .

Equivalencia

Dejar $X$ ser un espacio conectado y conectado localmente de forma sencilla, $x\in X$ y $G=\pi _{1}(X,x)$ ser el grupo fundamental de $X$ . Desde $G$ define, mediante el levantamiento de caminos y la evaluación en el punto final del levantamiento, una acción de grupo sobre la fibra de un recubrimiento, el functor $F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)$ es una equivalencia de categorías . ^{[ 2 ]}^{: 68–70}

Aplicaciones

El bloqueo de cardán se produce porque cualquier mapa T ³ → RP ³ no es un mapa de recubrimiento. En particular, el mapa relevante transporta cualquier elemento de T ³ , es decir, una terna ordenada (a,b,c) de ángulos (números reales módulo 2 $π$ ), a la composición de las tres rotaciones de ejes de coordenadas R _x (a). $\circ$ R _y (b) $\circ$ R _z (c) por esos ángulos, respectivamente. Cada una de estas rotaciones, y su composición, es un elemento del grupo de rotación SO(3), que es topológicamente RP ³ . Esta animación muestra un conjunto de tres cardanes montados juntos para permitir *tres* grados de libertad. Cuando los tres cardanes están alineados (en el mismo plano), el sistema solo puede moverse en dos dimensiones desde esta configuración, no en tres, y está en *bloqueo de cardán* . En este caso puede cabecear o guiñar, pero no balancearse (rotar en el plano en el que se encuentran todos los ejes).

{\displaystyle \circ } — El bloqueo de cardán se produce porque cualquier mapa T ³ → RP ³ no es un mapa de recubrimiento. En particular, el mapa relevante transporta cualquier elemento de T ³ , es decir, una terna ordenada (a,b,c) de ángulos (números reales módulo 2 $π$ ), a la composición de las tres rotaciones de ejes de coordenadas R _x (a). $\circ$ R _y (b) $\circ$ R _z (c) por esos ángulos, respectivamente. Cada una de estas rotaciones, y su composición, es un elemento del grupo de rotación SO(3), que es topológicamente RP ³ . Esta animación muestra un conjunto de tres cardanes montados juntos para permitir *tres* grados de libertad. Cuando los tres cardanes están alineados (en el mismo plano), el sistema solo puede moverse en dos dimensiones desde esta configuración, no en tres, y está en *bloqueo de cardán* . En este caso puede cabecear o guiñar, pero no balancearse (rotar en el plano en el que se encuentran todos los ejes).

Una importante aplicación práctica de los espacios de recubrimiento se da en las cartas sobre SO(3) , el grupo de rotación . Este grupo se utiliza ampliamente en ingeniería, debido a que las rotaciones tridimensionales se emplean con frecuencia en navegación , ingeniería náutica e ingeniería aeroespacial , entre muchos otros usos. Topológicamente, SO(3) es el espacio proyectivo real RP3 , con grupo fundamental Z /2, y ^el único espacio de recubrimiento (no trivial) es la hiperesfera S3 , que es el grupo Spin(3) , y se representa mediante los cuaterniones unitarios. Por lo tanto ^, los cuaterniones son un método preferido para representar rotaciones espaciales; véase cuaterniones y rotación espacial .

Sin embargo, a menudo es conveniente representar las rotaciones mediante un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), tanto por su simplicidad conceptual para quienes están familiarizados con la rotación planar, como porque se puede construir una combinación de tres cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente ^, esto corresponde a una aplicación del toro tridimensional T₃ de tres ángulos al espacio proyectivo real RP₃ de ^rotaciones , y la aplicación resultante presenta imperfecciones debido a que no puede ser una aplicación de recubrimiento. Específicamente, la falta de homeomorfismo local de la aplicación en ciertos puntos se denomina bloqueo de cardán y se muestra en la animación de la derecha: en algunos puntos (cuando los ejes son coplanares), el rango de la aplicación es 2, en lugar de 3, lo que significa que solo se pueden realizar 2 dimensiones de rotaciones desde ese punto cambiando los ángulos. Esto causa problemas en las aplicaciones y se formaliza mediante la noción de espacio de recubrimiento.

Véase también

La red de Bethe es la cubierta universal de un grafo de Cayley.
Grafo de recubrimiento , un espacio de recubrimiento para un grafo no dirigido , y su caso especial, el recubrimiento doble bipartito.
Grupo de cobertura
conexión Galois
Espacio cociente (topología)

Lecturas adicionales

Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79160-XOCLC 45420394
Forster, Otto (1981). Lecciones sobre superficies de Riemann . Nueva York. ISBN 0-387-90617-7OCLC 7596520 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
Munkres, James R. (2018). Topología . Nueva York, Nueva York. ISBN 978-0-13-468951-7OCLC 964502066 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
Kühnel, Wolfgang (2011). Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (en alemán). Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag. doi : 10.1007/978-3-8348-9905-7 . ISBN 978-3-8348-9905-7OCLC 706962685

Referencias

↑ Forster, Otto (1981). «Capítulo 1: Recubrimiento de espacios». Lecciones sobre superficies de Riemann . GTM. Traducido por Bruce Gillian. Nueva York: Springer. ISBN 9781461259633.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-79160-X.
↑ Rowland, Todd. "Mapa de cobertura". De MathWorld, un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html
↑ Kühnel, Wolfgang (6 de diciembre de 2010). Matrizen und Lie-Gruppen . Stuttgart: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN 978-3-8348-9905-7.
1 2 3 4 5 6 7 Forster, Otto (1991). Lecciones sobre superficies de Riemann . Múnich: Springer Berlin. ISBN 978-3-540-90617-9.
1 2 3 4 5 Munkres, James (2000). Topología . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-468951-7.

[Gillian-1] Forster, Otto (1981). «Capítulo 1: Recubrimiento de espacios». Lecciones sobre superficies de Riemann . GTM. Traducido por Bruce Gillian. Nueva York: Springer. ISBN 9781461259633.

[Hatcher-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-79160-X.

[3] Rowland, Todd. "Mapa de cobertura". De MathWorld, un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html

[4] Kühnel, Wolfgang (6 de diciembre de 2010). Matrizen und Lie-Gruppen . Stuttgart: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN 978-3-8348-9905-7.

[Forster-5] 1 2 3 4 5 6 7 Forster, Otto (1991). Lecciones sobre superficies de Riemann . Múnich: Springer Berlin. ISBN 978-3-540-90617-9.

[Munkres-6] 1 2 3 4 5 Munkres, James (2000). Topología . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-468951-7.

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