Teorema de Clifford sobre divisores especiales

En matemáticas , el teorema de Clifford sobre divisores especiales es un resultado de William K. Clifford ( 1878 ) sobre curvas algebraicas , que muestra las restricciones sobre sistemas lineales especiales en una curva C. 

Un divisor en una superficie de Riemann C es una suma formal${\displaystyle \textstyle D=\sum _ {P} m_ {P} P}$de puntos P en C con coeficientes enteros. Se considera un divisor como un conjunto de restricciones sobre funciones meromorfas en el cuerpo de funciones de C, definiendo${\displaystyle L(D)}$como el espacio vectorial de funciones que tienen polos solo en puntos de D con coeficiente positivo, como máximo tan malo como lo indica el coeficiente, y que tienen ceros en puntos de D con coeficiente negativo, con al menos esa multiplicidad. La dimensión de${\displaystyle L(D)}$es finito y se denota${\displaystyle \ell (D)}$. El sistema lineal de divisores asociado a D es el espacio proyectivo correspondiente de dimensión${\displaystyle \ell (D)-1}$.

El otro invariante significativo de D es su grado d , que es la suma de todos sus coeficientes.

Un divisor se llama especial si ℓ ( K − D ) > 0, donde K es el divisor canónico . ^{[ 1 ]}  

El teorema de Clifford establece que para un divisor especial efectivo D , se tiene:

${\displaystyle 2(\ell (D)-1)\leq d}$,

y que esa igualdad se cumple solo si D es cero o un divisor canónico, o si C es una curva hiperelíptica y D es linealmente equivalente a un múltiplo entero de un divisor hiperelíptico.

El índice de Clifford de C se define entonces como el mínimo de${\displaystyle d-2(\ell (D)-1)}$ tomado sobre todos los divisores especiales (excepto canónicos y triviales), y el teorema de Clifford establece que esto es no negativo. Se puede demostrar que el índice de Clifford para una curva genérica de género g es igual a la función piso.${\displaystyle \lfloor {\tfrac {g-1}{2}}\rfloor .}$

El índice de Clifford mide qué tan lejos está la curva de ser hiperelíptica. Puede considerarse como un refinamiento de la gonalidad : en muchos casos, el índice de Clifford es igual a la gonalidad menos 2. ^{[ 2 ]}

Una conjetura de Mark Green afirma que el índice de Clifford para una curva sobre los números complejos que no es hiperelíptica debe estar determinado por la medida en que C, como curva canónica, tiene sizigias lineales. En detalle, se define el invariante a ( C ) en términos de la resolución libre mínima del anillo _de coordenadas homogéneas de C en su incrustación canónica, como el mayor índice i para el cual el número de Betti graduado βi _{, i +2} es cero. Green y Robert Lazarsfeld demostraron que a ( C )+1 es una cota inferior para el índice de Clifford, y la conjetura de Green afirma que la igualdad siempre se cumple. Existen numerosos resultados parciales. ^{[ 3 ]}

Claire Voisin recibió el Premio Ruth Lyttle Satter de Matemáticas por su solución del caso genérico de la conjetura de Green en dos artículos. ^{[ 4 ] [ 5 ]} El caso de la conjetura de Green para curvas genéricas había atraído un enorme esfuerzo por parte de los geómetras algebraicos durante veinte años antes de que Voisin finalmente lo resolviera. ^{[ 6 ]} La conjetura para curvas arbitrarias permanece abierta.

• Arbarello, Enrico ; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Phillip A .; Harris, Joe (1985). Geometría de Curvas Algebraicas Tomo I. Grundlehren de mathematischen Wisenschaften 267. ISBN 0-387-90997-4.
• Clifford, William K. (1878), "Sobre la clasificación de los loci", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 169 , The Royal Society: 663–681 , doi : 10.1098/rstl.1878.0020 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 109316  
• Eisenbud, David (2005). La geometría de las sizigias. Un segundo curso de álgebra conmutativa y geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  229. Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-22215-4. Zbl 1066.14001 . 
• Fulton, William (1974). Curvas algebraicas . Serie de apuntes de clase de matemáticas. WA Benjamin. pág.  212. ISBN 0-8053-3080-1.
• Griffiths, Phillip A.; Harris , Joe (1994). Principios de geometría algebraica . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pág.  251. ISBN 0-471-05059-8.
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  52. ISBN 0-387-90244-9.

• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Teorema de Clifford" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press