Refuerzo de la rejilla

En las matemáticas de la rigidez estructural , el arriostramiento de una cuadrícula consiste en añadir refuerzos transversales a una cuadrícula rectangular para convertirla en una estructura rígida. Si una estructura de cuadrícula bidimensional se construye con varillas rígidas, conectadas en sus extremos por bisagras flexibles, podrá flexionarse hasta posiciones en las que las varillas ya no formen ángulos rectos. El arriostramiento transversal de la estructura, añadiendo más varillas a través de las diagonales de sus celdas rectangulares o cuadradas, permite rigidizarla.

El problema se puede traducir a la teoría de grafos mediante la construcción de un grafo en el que los vértices representan filas y columnas de la cuadrícula, y cada arista representa una celda entre corchetes en una fila y columna dadas. La cuadrícula es rígida si y solo si el grafo resultante es un grafo conexo . Todo sistema mínimo de corchetes que hace que la cuadrícula sea rígida corresponde a un árbol generador de un grafo bipartito completo .

La solución basada en la teoría de grafos al problema del arriostramiento de la cuadrícula se ha generalizado al arriostramiento doble , en el que la cuadrícula debe permanecer rígida incluso si falla un arriostramiento transversal, y al arriostramiento por tensión , en el que las diagonales de una cuadrícula están arriostradas por alambres y cuerdas que pueden arrugarse a una longitud menor pero no pueden estirarse para ser más largas. Para el arriostramiento doble, las soluciones rígidas corresponden a grafos biconexos ; para el arriostramiento por tensión, corresponden a grafos fuertemente conexos . En ambos casos, las soluciones mínimas corresponden a ciclos hamiltonianos .

El problema considera un marco en forma de cuadrícula rectangular o cuadrada , con${\displaystyle r}$filas y${\displaystyle c}$columnas de rectángulos o cuadrados cuadrados. La cuadrícula tiene${\displaystyle r(c+1)+(r+1)c}$bordes, cada uno de los cuales tiene una longitud unitaria y se considera una varilla rígida, libre para moverse continuamente dentro del plano euclidiano pero incapaz de cambiar su longitud. Estas varillas están unidas entre sí por articulaciones flexibles en los${\displaystyle (r+1)(c+1)}$vértices de la cuadrícula. Un movimiento continuo válido de este marco consiste en variar continuamente la posición de sus aristas y uniones en el plano de manera que mantengan las mismas longitudes y las mismas uniones, pero sin que sea necesario que permanezcan en ángulo recto. En cambio, cada celda de la cuadrícula puede deformarse para formar un paralelogramo o un rombo , y la cuadrícula completa puede formar una estructura irregular con una forma diferente para cada una de sus caras, como se muestra en la figura. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

A diferencia de los cuadrados, los triángulos formados por varillas rígidas y articulaciones flexibles no pueden cambiar de forma: dos triángulos cualesquiera con lados de igual longitud deben ser congruentes (este es el postulado LLL ). Si un rectángulo o cuadrado se refuerza añadiendo una de sus diagonales como otra barra rígida, la diagonal lo divide en dos triángulos que, de igual manera, no pueden cambiar de forma, por lo que el cuadrado debe permanecer cuadrado ante cualquier movimiento continuo de la estructura reforzada. (La misma estructura también podría colocarse en el plano de otra manera, doblando sus dos triángulos uno sobre el otro sobre su diagonal común, pero esta posición plegada no se puede obtener mediante un movimiento continuo). Por lo tanto, si todas las celdas de la cuadrícula dada están reforzadas, la cuadrícula no puede cambiar de forma; sus únicos movimientos continuos serían rotarla o trasladarla como un único cuerpo rígido . Sin embargo, este método para rigidizar la cuadrícula, añadiendo refuerzos a todas sus celdas, utiliza muchos más refuerzos de los necesarios. El problema del arriostramiento de la rejilla requiere una descripción de los conjuntos mínimos de arriostramientos transversales que tengan el mismo efecto, de hacer que toda la estructura sea rígida. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Como observaron originalmente Ethan Bolker y Henry Crapo ( 1977 ) , el problema del arriostramiento de la cuadrícula puede traducirse en un problema de teoría de grafos al considerar un grafo bipartito no dirigido que tiene un vértice por cada fila y columna de la cuadrícula dada, y una arista por cada rectángulo o cuadrado arriostrado de la cuadrícula. Demostraron que la cuadrícula arriostrada es rígida si y solo si este grafo bipartito es conexo. De ello se deduce que los arriostramientos mínimos de la cuadrícula corresponden a los árboles que conectan todos los vértices del grafo, y que tienen exactamente ${\displaystyle r+c-1}$cuadrados arriostrados. Cualquier arriostramiento excesivo pero rígido (con más de esta cantidad de celdas arriostradas) puede reducirse a un arriostramiento mínimo al encontrar un árbol de expansión de su grafo. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

En términos más generales, supongamos que una cuadrícula arriostrada no es rígida. Entonces, el número de grados de libertad en su familia de formas (las formas a las que puede moverse) es igual al número de componentes conexas del grafo bipartito, menos uno. Si se desea rigidizar una cuadrícula parcialmente arriostrada añadiendo más celdas, el número mínimo de celdas adicionales que deben arriostrarse es este número de grados de libertad. Se puede obtener una solución con este número de celdas añadiendo este número de aristas al grafo bipartito, conectando pares de sus componentes conexas de manera que, tras la adición, solo quede una componente. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

• Whitty, Robin, "Un teorema sobre tensegridades rectangulares" (PDF) , Teorema del día