La conjetura de Grimm

En matemáticas , específicamente en teoría de números , la conjetura de Grimm afirma que, para cada conjunto de números compuestos consecutivos , existe un conjunto de números primos de igual tamaño y una biyección que asigna a cada número compuesto del primer conjunto un número primo del segundo conjunto por el cual es divisible. Fue propuesta por primera vez por Carl Albert Grimm en 1969. ^{[ 1 ]}

Aunque aún no está probado, la conjetura ha sido verificada para todos.${\displaystyle n<1.9\times 10^{10}}$. ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle n+1,n+2,\dots ,n+k}$Si todos son números compuestos , entonces existe una secuencia de números primos distintos.${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{k}}$de tal manera que${\displaystyle p_{i}}$divide${\displaystyle n+i}$para${\displaystyle 1\leq i\leq k}$.

Si la conjetura de Grimm es cierta, entonces

${\displaystyle p_{i+1}-p_{i}\ll {\Big (}{\frac {p_{i}}{\log p_{i}}}{\Big )}^{1/2}}$

para todos los números primos consecutivos${\displaystyle p_{i}}$y${\displaystyle p_{i+1}}$. ^{[ 3 ]} Esto va mucho más allá de lo que la hipótesis de Riemann implicaría acerca de las brechas entre números primos : la hipótesis de Riemann solo implica un límite superior de${\displaystyle O(p_{i}^{1/2}(\log p_{i}))}$. ^{[ 4 ]}

• Brecha principal

• Erdős, P.; Selfridge, JL (1971). "Algunos problemas sobre los factores primos de enteros consecutivos II". Actas de la Conferencia de la Universidad Estatal de Washington sobre Teoría de Números : 13–21 .

• Grimm, CA (1969). "Una conjetura sobre números compuestos consecutivos". American Mathematical Monthly . 76 (10): 1126– 1128. doi : 10.2307/2317188 . JSTOR 2317188 . 

• Guy, RK «La conjetura de Grimm». §B32 en Problemas sin resolver en teoría de números , 3.ª ed., Springer Science+Business Media , págs.  133-134, 2004. ISBN 0-387-20860-7

• Laishram, Shanta; Murty, M. Ram (2012). "La conjetura de Grimm y los números suaves" . Michigan Mathematical Journal . 61 (1): 151– 160. arXiv : 1306.0765 . doi : 10.1307/mmj/1331222852 .

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• Ramachandra, KT; Shorey, Tennessee; Tijdeman, R. (1976). "Sobre el problema de Grimm relacionado con la factorización de un bloque de números enteros consecutivos. II". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 288 : 192– 201. doi : 10.1515/crll.1976.288.192 .

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• Sukthankar, Neela S. (1977). "Sobre la conjetura de Grimm en campos de números algebraicos-III". Indagationes Mathematicae (Actas) . 80 (4): 342– 348. doi : 10.1016/1385-7258(77)90030-0 .

• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Grimm" . MathWorld .

• Rompecabezas Prime #430