Teorema de la traza de Grothendieck

Dejar${\displaystyle A}$ser un operador nuclear en${\displaystyle B}$, entonces${\displaystyle A}$es un${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$-operador nuclear si tiene una descomposición de la forma $${\displaystyle A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}}$$ dónde${\displaystyle \varphi _{k}\in B}$y${\displaystyle f_{k}\in B'}$y $${\displaystyle \sum \limits _ {k=1}^{\infty }\|\varphi _ {k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .}$$

Dejar${\displaystyle \lambda _{j}(A)}$denotan los valores propios de un${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$-operador nuclear${\displaystyle A}$contados con sus multiplicidades algebraicas. Si $${\displaystyle \sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty }$$ Entonces se cumplen las siguientes igualdades: $${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|}$$ y para el determinante de Fredholm$${\displaystyle \operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)).}$$