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Articulo de referencia

Velocidad de grupo

Dispersión de frecuencia en grupos de ondas gravitatorias en la superficie de aguas profundas. El cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los círculos verdes se prop...

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Dispersión de frecuencia en grupos de ondas gravitatorias en la superficie de aguas profundas. El  cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los círculos verdes se propagan con la velocidad de grupo. En este caso de aguas profundas, la velocidad de fase es el doble de la velocidad de grupo . El cuadrado rojo adelanta a dos círculos verdes al moverse de izquierda a derecha en la figura.     
Parece que surgen nuevas ondas en la parte posterior de un grupo de ondas, aumentan de amplitud hasta llegar al centro del grupo y desaparecen en el frente del grupo de ondas.
En el caso de las ondas de gravedad superficiales, las velocidades de las partículas de agua son mucho menores que la velocidad de fase, en la mayoría de los casos.
Propagación de un paquete de ondas que demuestra una velocidad de fase mayor que la velocidad de grupo.
Esto muestra una onda con la velocidad de grupo y la velocidad de fase apuntando en direcciones diferentes. [ 1 ] La velocidad de grupo es positiva (es decir, la envolvente de la onda se mueve hacia la derecha), mientras que la velocidad de fase es negativa (es decir, los picos y valles se mueven hacia la izquierda).

La velocidad de grupo de una onda es la velocidad con la que la forma general de la envolvente de las amplitudes de la onda —conocida como modulación o envolvente de la onda— se propaga a través del espacio.

Por ejemplo, si se lanza una piedra al centro de un estanque muy tranquilo, aparece en el agua un patrón circular de ondas con un centro inmóvil, también conocido como onda capilar . El anillo de ondas que se expande es el grupo de ondas o paquete de ondas , dentro del cual se pueden distinguir ondas individuales que viajan más rápido que el grupo en su conjunto. Las amplitudes de las ondas individuales aumentan a medida que emergen del borde posterior del grupo y disminuyen a medida que se acercan al borde frontal del mismo.

Historia

La idea de una velocidad de grupo distinta de la velocidad de fase de una onda fue propuesta por primera vez por WR Hamilton en 1839, y el primer tratamiento completo fue realizado por Rayleigh en su "Teoría del sonido" en 1877. [ 2 ]

Definición e interpretación

  La envolvente del paquete de ondas. La envolvente se mueve a la velocidad de grupo.

Consideremos un modelo de evolución lineal de ondas que admite como soluciones fundamentales los osciladores.mii(kincógnita−ωt){\textstyle e^{i(kx-\omega t)}}, dóndek{\displaystyle k}yω{\displaystyle \omega }Están obligados a satisfacer una determinada restricción. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger lineal libre en una dimensión:

iℏ∂tΨ+ℏ22metro∂incógnita2Ψ=0{\displaystyle i\hbar \partial _{t}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{x}^{2}\Psi =0}

satisface la descripción anterior conω=ℏ2metrok2{\displaystyle \omega ={\frac {\hbar }{2m}}k^{2}}La velocidad de grupovgramo{\textstyle v_{g}}se define mediante la ecuación: [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]vgramo ≡ ∂ω∂k.{\displaystyle v_{\text{g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,.}

Aquí, ω es la frecuencia angular de la onda (generalmente expresada en radianes por segundo ), y k es el número de onda angular (generalmente expresado en radianes por metro). La velocidad de fase es: v p = ω / k .

La función ω ( k ) , que da ω como una función de k , se conoce como la relación de dispersión .

  • Si ω es directamente proporcional a k , entonces la velocidad de grupo es exactamente igual a la velocidad de fase. Una onda de cualquier forma viajará sin distorsión a esta velocidad.
  • Si ω es una función lineal de k , pero no directamente proporcional ( ω = ak + b , b ≠ 0) , entonces la velocidad de grupo y la velocidad de fase son diferentes. La envolvente de un paquete de ondas (véase la figura de la derecha) se desplazará a la velocidad de grupo, mientras que los picos y valles individuales dentro de la envolvente se moverán a la velocidad de fase.
  • Si ω no es una función lineal de k , la envolvente de un paquete de ondas se distorsionará a medida que se propaga. Dado que un paquete de ondas contiene un rango de frecuencias diferentes (y, por lo tanto, diferentes valores de k ), la velocidad de grupo ∂ω/∂k será diferente para diferentes valores de k . Por lo tanto, la envolvente no se mueve a una sola velocidad, sino que sus componentes de número de onda ( k ) se mueven a diferentes velocidades, distorsionando la envolvente. Si el paquete de ondas tiene un rango estrecho de frecuencias y ω ( k ) es aproximadamente lineal en ese rango estrecho, la distorsión del pulso será pequeña, en relación con la pequeña no linealidad. Véase la discusión adicional a continuación . Por ejemplo, para ondas de gravedad en aguas profundas ,ω=gramok{\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}y por lo tanto v g = v p /2 .
    Esto explica el patrón de estela de Kelvin para la ola de proa de todos los barcos y objetos que se desplazan. Independientemente de la velocidad a la que se muevan, siempre que esta sea constante, a cada lado la estela forma un ángulo de 19,47° = arcsin(1/3) con la línea de desplazamiento. [ 7 ]

Derivación

Una derivación de la fórmula para la velocidad de grupo es la siguiente. [ 8 ] [ 9 ]

Consideremos un paquete de ondas como una función de la posición x y el tiempo t : α ( x , t ) .

Sea A ( k ) su transformada de Fourier en el instante t = 0 , α(incógnita,0)=∫−∞∞dkA(k)miikincógnita.{\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.}

Por el principio de superposición , el paquete de ondas en cualquier instante t es α(incógnita,t)=∫−∞∞dkA(k)mii(kincógnita−ωt),{\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},} donde ω es implícitamente una función de k .

Supongamos que el paquete de ondas α es casi monocromático , de modo que A ( k ) tiene un pico pronunciado alrededor de un número de onda central k 0 .

Luego, la linealización da como resultado ω(k)≈ω0+(k−k0)ω0′{\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}} dónde ω0=ω(k0){\displaystyle \omega _ {0} = \ omega (k_ {0})}yω0′=∂ω(k)∂k|k=k0{\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}} (véase la siguiente sección para la discusión de este paso). Luego, después de algunos cálculos algebraicos, α(incógnita,t)=mii(k0incógnita−ω0t)∫−∞∞dkA(k)mii(k−k0)(incógnita−ω0′t).{\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.}

En esta expresión hay dos factores. El primer factor,mii(k0incógnita−ω0t){\displaystyle e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}}describe una onda monocromática perfecta con vector de onda k 0 , con picos y valles que se mueven a la velocidad de faseω0/k0{\displaystyle \omega _ {0}/k_ {0}} dentro de la envoltura del paquete de ondas.

El otro factor, ∫−∞∞dkA(k)mii(k−k0)(incógnita−ω0′t),{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)},} proporciona la envolvente del paquete de ondas. Esta función de envolvente depende de la posición y el tiempo solo a través de la combinación(incógnita−ω0′t){\displaystyle (x-\omega '_{0}t)}.

Por lo tanto, la envoltura del paquete de ondas viaja a velocidad ω0′=dωdk|k=k0 ,{\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,} lo que explica la fórmula de la velocidad de grupo.

Otras expresiones

Para la luz y la velocidad de la luz c , el índice de refracción n , la longitud de onda en el vacío λ₀ y la longitud de onda en el medio λ , están relacionados por λ0=2πdoω,λ=2πk=2πvpagω,norte=dovpag=λ0λ,{\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{\text{p}}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{\text{p}}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},} donde v p  = ω / k  es la velocidad de fase .

Por lo tanto, la velocidad de grupo se puede calcular mediante cualquiera de las siguientes fórmulas: vgramo=donorte+ω∂norte∂ω=donorte−λ0∂norte∂λ0=vpag(1+λnorte∂norte∂λ)=vpag−λ∂vpag∂λ=vpag+k∂vpag∂k.{\displaystyle {\begin{aligned}v_{\text{g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\text{p}}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{\text{p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\text{p}}}{\partial \lambda }}=v_{\text{p}}+k{\frac {\partial v_{\text{p}}}{\partial k}}.\end{aligned}}}

Dispersión

Distorsión de grupos de ondas por efectos de dispersión de orden superior, para ondas de gravedad superficiales en aguas profundas (con v g = ⁠ 1 / 2 ⁠ v p ).
Esto muestra la superposición de tres componentes de onda, con longitudes de onda de 22, 25 y 29 respectivamente, que se ajustan a un dominio horizontal periódico  de 2 km de longitud. Las amplitudes de onda de las componentes son de 1, 2 y 1 metro respectivamente.

Parte de la derivación anterior es la aproximación de la serie de Taylor que: ω(k)≈ω0+(k−k0)ω0′(k0){\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}

Si el paquete de ondas tiene una dispersión de frecuencia relativamente grande, o si la dispersión ω(k) presenta variaciones bruscas (como las debidas a una resonancia ), o si el paquete viaja a lo largo de distancias muy largas, esta suposición no es válida y los términos de orden superior en el desarrollo de Taylor se vuelven importantes. [ 10 ] : 324–325

Como resultado, la envolvente del paquete de ondas no solo se desplaza, sino que también se distorsiona, de una manera que puede describirse mediante la dispersión de la velocidad de grupo del material . En términos generales, los distintos componentes de frecuencia del paquete de ondas viajan a velocidades diferentes: los componentes más rápidos se desplazan hacia el frente del paquete y los más lentos hacia atrás. Finalmente, el paquete de ondas se estira. Este es un efecto importante en la propagación de señales a través de fibras ópticas y en el diseño de láseres de alta potencia y pulsos cortos.

Relación con la velocidad de fase, el índice de refracción y la velocidad de transmisión.

En el contexto del electromagnetismo y la óptica, la frecuencia es una función ω ( k ) del número de onda, por lo que, en general, la velocidad de fase y la velocidad de grupo dependen del medio y la frecuencia específicos. La relación entre la velocidad de la luz c y la velocidad de fase v p se conoce como índice de refracción , n = c / v p = ck / ω .

De esta forma, podemos obtener otra forma para la velocidad de grupo en electromagnetismo. Escribiendo n = n (ω) , una forma rápida de derivar esta forma es observar k=1doωnorte(ω)⟹dk=1do(norte(ω)+ω∂∂ωnorte(ω))dω.{\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .} Luego podemos reorganizar lo anterior para obtener vgramo=∂w∂k=donorte+ω∂norte∂ω.{\displaystyle v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.}

De esta fórmula, vemos que la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase solo cuando el índice de refracción es independiente de la frecuencia.∂norte/∂ω=0{\textstyle \partial n/\partial \omega =0}Cuando esto ocurre, el medio se denomina no dispersivo, a diferencia del dispersivo , donde varias propiedades del medio dependen de la frecuencia ω . La relaciónω(k){\displaystyle \omega (k)}se conoce como la relación de dispersión del medio.

En tres dimensiones

Para ondas que viajan a través de tres dimensiones, como ondas de luz, ondas sonoras y ondas de materia, las fórmulas para la velocidad de fase y de grupo se generalizan de manera directa: [ 11 ]

  • Una dimensión:vpag=ω/k,vgramo=∂ω∂k,{\displaystyle v_{\text{p}}=\omega /k,\quad v_{\text{g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,}
  • Tres dimensiones:vpag=ωkk^,vgramo=∇→kω{\displaystyle \mathbf {v} _{\text{p}}={\frac {\omega }{k}}{\hat {\mathbf {k} }},\quad \mathbf {v} _{\text{g}}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,}

dónde∇→kω{\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega }significa el gradiente de la frecuencia angular ω en función del vector de onda.k{\displaystyle \mathbf {k} }, yk^{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}es el vector unitario en la dirección k .

Si las ondas se propagan a través de un medio anisotrópico (es decir, que no presenta simetría rotacional), por ejemplo un cristal , entonces el vector de velocidad de fase y el vector de velocidad de grupo pueden apuntar en direcciones diferentes.

En medios con pérdidas o con ganancias

La velocidad de grupo se suele definir como la velocidad a la que se transmite energía o información a lo largo de una onda. En la mayoría de los casos, esta definición es precisa, y la velocidad de grupo puede considerarse como la velocidad de la señal de la forma de onda . Sin embargo, si la onda se propaga a través de un medio absorbente o con ganancia, esta definición no siempre se cumple. En estos casos, la velocidad de grupo puede no ser una magnitud bien definida o carecer de significado.

En su texto «Propagación de ondas en estructuras periódicas» [ 12 ] , Brillouin argumentó que en un medio con pérdidas la velocidad de grupo deja de tener un significado físico claro. Loudon proporciona un ejemplo sobre la transmisión de ondas electromagnéticas a través de un gas atómico. [ 13 ] Otro ejemplo son las ondas mecánicas en la fotosfera solar : las ondas se amortiguan (por el flujo de calor radiativo desde los picos a los valles) y, en consecuencia, la velocidad de la energía suele ser sustancialmente menor que la velocidad de grupo de las ondas. [ 14 ]

A pesar de esta ambigüedad, una forma común de extender el concepto de velocidad de grupo a medios complejos es considerar soluciones de ondas planas amortiguadas espacialmente dentro del medio, que se caracterizan por un vector de onda de valor complejo . Entonces, la parte imaginaria del vector de onda se descarta arbitrariamente y la fórmula usual para la velocidad de grupo se aplica a la parte real del vector de onda, es decir, vgramo=(∂(Re⁡k)∂ω)−1.{\displaystyle v_{\text{g}}=\left({\frac {\partial \left(\operatorname {Re} k\right)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.}

O, equivalentemente, en términos de la parte real del índice de refracción complejo , n = n + iκ , se tiene [ 15 ]dovgramo=norte+ω∂norte∂ω.{\displaystyle {\frac {c}{v_{\text{g}}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.}

Se puede demostrar que esta generalización de la velocidad de grupo sigue estando relacionada con la velocidad aparente del pico de un paquete de ondas. [ 16 ] Sin embargo, la definición anterior no es universal: alternativamente, se puede considerar la amortiguación temporal de las ondas estacionarias ( k real, ω compleja ), o permitir que la velocidad de grupo sea una cantidad de valor complejo. [ 17 ] [ 18 ] Diferentes consideraciones producen velocidades distintas, pero todas las definiciones coinciden para el caso de un medio sin pérdidas ni ganancias.

La generalización anterior de la velocidad de grupo para medios complejos puede comportarse de manera extraña, y el ejemplo de dispersión anómala sirve como una buena ilustración. En los bordes de una región de dispersión anómala,vgramo{\displaystyle v_{\text{g}}}se vuelve infinito (superando incluso la velocidad de la luz en el vacío), yvgramo{\displaystyle v_{\text{g}}}puede volverse fácilmente negativo (su signo se opone a Re k ) dentro de la banda de dispersión anómala. [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]

velocidades de grupo superlumínicas

Desde la década de 1980, varios experimentos han verificado que es posible que la velocidad de grupo (como se definió anteriormente) de los pulsos de luz láser enviados a través de materiales con pérdidas o con ganancias supere significativamente la velocidad de la luz en el vacío c . También se observó que los picos de los paquetes de ondas se movían más rápido que c .

En todos estos casos, sin embargo, no existe la posibilidad de que las señales se transmitan más rápido que la velocidad de la luz en el vacío , ya que el alto valor de v g no contribuye a acelerar el movimiento real del frente de onda agudo que se produciría al inicio de cualquier señal real. En esencia, la transmisión aparentemente superlumínica es un artefacto de la aproximación de banda estrecha utilizada anteriormente para definir la velocidad de grupo y se produce debido a fenómenos de resonancia en el medio intermedio. En un análisis de banda ancha, se observa que la velocidad de propagación aparentemente paradójica de la envolvente de la señal es en realidad el resultado de la interferencia local de una banda más amplia de frecuencias a lo largo de muchos ciclos, todas las cuales se propagan de forma perfectamente causal y a velocidad de fase. El resultado es similar al hecho de que las sombras pueden viajar más rápido que la luz, incluso si la luz que las causa siempre se propaga a la velocidad de la luz; dado que el fenómeno que se mide está solo vagamente relacionado con la causalidad, no necesariamente respeta las reglas de propagación causal, aunque en circunstancias normales sí lo haga y conduzca a una intuición común. [ 15 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 22 ] [ 23 ]

Véase también

Referencias

Notas

  1. ↑ Nemirovsky, Jonathan; Rechtsman, Mikael C; Segev, Mordechai (9 de abril de 2012). "Presión de radiación negativa e índice de refracción efectivo negativo mediante birrefringencia dieléctrica" . Optics Express . 20 (8): 8907– 8914. Bibcode : 2012OExpr..20.8907N . doi : 10.1364/OE.20.008907 . PMID 22513601 . 
  2. ↑ Brillouin, Léon (1960), Propagación de ondas y velocidad de grupo , Nueva York: Academic Press Inc., OCLC 537250 
  3. ↑ Brillouin, Léon (2003) [1946], Propagación de ondas en estructuras periódicas: filtros eléctricos y redes cristalinas , Dover, pág. 75, ISBN  978-0-486-49556-9
  4. ↑ Lighthill, James (2001) [1978], Ondas en fluidos , Cambridge University Press, pág. 242, ISBN  978-0-521-01045-0
  5. ↑ Lighthill (1965)
  6. ↑ Hayes (1973)
  7. ↑ GB Whitham (1974). Ondas lineales y no lineales (John Wiley & Sons Inc., 1974) pp. 409–410. Escaneo en línea.
  8. ↑ Griffiths, David J. (1995). Introducción a la mecánica cuántica . Prentice Hall . pág . 48. ISBN  978-0-13-124405-4.
  9. ↑ David K. Ferry (2001). Mecánica cuántica: Una introducción para físicos de dispositivos e ingenieros eléctricos (2.ª ed.). CRC Press. págs. 18–19 . Bibcode : 2001qmid.book.....F . ISBN   978-0-7503-0725-3.
  10. ↑ Jackson, John David (1999), Electrodinámica clásica (3.ª ed.), John-Wiley, ISBN  0-471-30932-X
  11. ↑ Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos: fundamentos y circulación a gran escala, por Geoffrey K. Vallis, pág. 239
  12. ↑ Brillouin, L. (1946). Propagación de ondas en estructuras periódicas . Nueva York: McGraw Hill. pág. 75. 
  13. ↑ Loudon, R. (1973). La teoría cuántica de la luz . Oxford. Bibcode : 1973qtl..book.....L .
  14. ↑ Worrall, G. (2012). "Sobre el efecto de la relajación radiativa en el flujo de energía de ondas mecánicas en la atmósfera solar". Física solar . 279 (1): 43– 52. Bibcode : 2012SoPh..279...43W . doi : 10.1007/s11207-012-9982-z . S2CID 119595058 . 
  15. 1 2 Boyd, RW; Gauthier, DJ (2009). "Controlando la velocidad de los pulsos de luz" (PDF) . Science . 326 (5956): 1074– 7. Bibcode : 2009Sci...326.1074B . CiteSeerX 10.1.1.630.2223 . doi : 10.1126 /science.1170885 . PMID 19965419. S2CID 2370109 .   
  16. ↑ Morin, David (2009). "Dispersión" (PDF) . people.fas.harvard.edu . Archivado (PDF) del original el 21 de mayo de 2012. Recuperado el 11 de julio de 2019 .
  17. ↑ Muschietti, L.; Dum, CT (1993). "Velocidad de grupo real en un medio con disipación". Physics of Fluids B: Plasma Physics . 5 (5): 1383. Bibcode : 1993PhFlB...5.1383M . doi : 10.1063/1.860877 .
  18. ↑ Gerasik, Vladimir; Stastna, Marek (2010). "Velocidad de grupo compleja y transporte de energía en medios absorbentes". Physical Review E . 81 (5) 056602. Bibcode : 2010PhRvE..81e6602G . doi : 10.1103/PhysRevE.81.056602 . PMID 20866345 . 
  19. 1 2 Dolling, Gunnar; Enkrich, Christian; Wegener, Martin; Soukoulis, Costas M.; Linden, Stefan (2006), "Fase negativa simultánea y velocidad de grupo de la luz en un metamaterial" , Science , 312 (5775): 892–894 , Bibcode : 2006Sci...312..892D , doi : 10.1126/science.1126021 , PMID 16690860 , S2CID 29012046  
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  22. ↑ Gehring, George M.; Schweinsberg, Aaron; Barsi, Christopher; Kostinski, Natalie; Boyd, Robert W. (2006), "Observación de la propagación de un pulso hacia atrás a través de un medio con una velocidad de grupo negativa", Science , 312 (5775): 895–897 , Bibcode : 2006Sci...312..895G , doi : 10.1126/science.1124524 , PMID 16690861 , S2CID 28800603  
  23. ↑ Schweinsberg, A.; Lepeshkin, NN; Bigelow, MS; Boyd, RW; Jarabo, S. (2005), "Observación de propagación de luz superlumínica y lenta en fibra óptica dopada con erbio" (PDF) , Europhysics Letters , 73 (2): 218–224 , Bibcode : 2006EL.....73..218S , CiteSeerX 10.1.1.205.5564 , doi : 10.1209/epl/i2005-10371-0 , S2CID 250852270  

Lecturas adicionales

  • Crawford Jr., Frank S. (1968). Ondas (Curso de Física de Berkeley, Vol. 3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607Versión gratuita en línea
  • Tipler, Paul A.; Llewellyn, Ralph A. (2003), Física moderna (4.ª  ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, pág.  223, ISBN 978-0-7167-4345-3.
  • Biot, MA (1957), "Teoremas generales sobre la equivalencia de la velocidad de grupo y el transporte de energía", Physical Review , 105 (4): 1129–1137 , Bibcode : 1957PhRv..105.1129B , doi : 10.1103/PhysRev.105.1129
  • Whitham, GB (1961), "Propagación de velocidad de grupo y energía para ondas tridimensionales", Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 675–691 , CiteSeerX 10.1.1.205.7999 , doi : 10.1002/cpa.3160140337 
  • Lighthill, MJ (1965), "Velocidad de grupo", IMA Journal of Applied Mathematics , 1 (1): 1– 28, doi : 10.1093/imamat/1.1.1
  • Bretherton, FP ; Garrett, CJR (1968), "Trenes de ondas en medios móviles no homogéneos", Actas de la Royal Society de Londres , Serie A, Ciencias Matemáticas y Físicas, 302 (1471): 529–554 , Bibcode : 1968RSPSA.302..529B , doi : 10.1098/rspa.1968.0034 , S2CID 202575349 
  • Hayes, WD (1973), "Velocidad de grupo y propagación de ondas dispersivas no lineales", Proceedings of the Royal Society of London , Series A, Mathematical and Physical Sciences, 332 (1589): 199– 221, Bibcode : 1973RSPSA.332..199H , doi : 10.1098/rspa.1973.0021 , S2CID 121521673 
  • Whitham, GB (1974), Ondas lineales y no lineales , Wiley, ISBN 978-0-471-94090-6
  • Greg Egan tiene en su sitio web un excelente applet de Java que ilustra la aparente diferencia entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase .
  • Maarten Ambaum tiene una página web con un vídeo archivado el 4 de mayo de 2019 en la Wayback Machine que demuestra la importancia de la velocidad de grupo para el desarrollo posterior de los sistemas meteorológicos.
  • Velocidad de fase frente a velocidad de grupo : diversas relaciones entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo (animación)
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