teoría de grupos

La primera clase de grupos que se sometió a un estudio sistemático fueron los grupos de permutaciones . Dado cualquier conjunto X y una colección G de biyecciones de X en sí mismo (conocidas como permutaciones ) que es cerrada bajo composiciones e inversas, G es un grupo que actúa sobre X. Si X consta de n elementos y G consta de todas las permutaciones, G es el grupo simétrico S _n ; en general, cualquier grupo de permutaciones G es un subgrupo del grupo simétrico de X. Una construcción temprana debida a Cayley mostró cualquier grupo como un grupo de permutaciones, que actúa sobre sí mismo ( X = G ) mediante la representación regular izquierda .

En muchos casos, la estructura de un grupo de permutaciones puede estudiarse utilizando las propiedades de su acción sobre el conjunto correspondiente. Por ejemplo, de esta manera se demuestra que para n ≥ 5 , el grupo alternante A _n es simple , es decir, no admite subgrupos normales propios . Este hecho juega un papel clave en la imposibilidad de resolver una ecuación algebraica general de grado n ≥ 5 en radicales .

La siguiente clase importante de grupos la constituyen los grupos matriciales o grupos lineales . En este caso, G es un conjunto formado por matrices invertibles de orden n sobre un cuerpo K cerrado bajo productos e inversos. Dicho grupo actúa sobre el espacio vectorial n -dimensional K ⁿ mediante transformaciones lineales . Esta acción hace que los grupos matriciales sean conceptualmente similares a los grupos de permutaciones, y la geometría de la acción puede utilizarse para establecer propiedades del grupo G.

Los grupos de permutaciones y los grupos de matrices son casos especiales de grupos de transformaciones : grupos que actúan sobre un espacio X conservando su estructura inherente. En el caso de los grupos de permutaciones, X es un conjunto; para los grupos de matrices, X es un espacio vectorial . El concepto de grupo de transformaciones está estrechamente relacionado con el de grupo de simetrías : los grupos de transformaciones suelen estar formados por todas las transformaciones que conservan una estructura determinada.

La teoría de grupos de transformación constituye un puente que conecta la teoría de grupos con la geometría diferencial . Una larga línea de investigación, que se originó con Lie y Klein , considera las acciones de grupos sobre variedades mediante homeomorfismos o difeomorfismos . Los grupos en sí mismos pueden ser discretos o continuos .

La mayoría de los grupos considerados en la primera etapa del desarrollo de la teoría de grupos eran "concretos", habiéndose realizado a través de números, permutaciones o matrices. No fue hasta finales del siglo XIX que la idea de un grupo abstracto comenzó a afianzarse, donde "abstracto" significa que se ignora la naturaleza de los elementos de tal manera que dos grupos isomorfos se consideran como el mismo grupo. Una forma típica de especificar un grupo abstracto es a través de una presentación por generadores y relaciones .

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

Una fuente importante de grupos abstractos la proporciona la construcción de un grupo cociente , o grupo de cocientes , G / H , de un grupo G mediante un subgrupo normal H. Los grupos de clases de cuerpos numéricos algebraicos fueron algunos de los primeros ejemplos de grupos cociente, de gran interés en la teoría de números . Si un grupo G es un grupo de permutaciones sobre un conjunto X , el grupo cociente G / H ya no actúa sobre X ; pero la idea de un grupo abstracto permite no preocuparse por esta discrepancia.

El cambio de perspectiva, de los grupos concretos a los abstractos, hace natural considerar las propiedades de los grupos que son independientes de una realización particular, o, en lenguaje moderno, invariantes bajo isomorfismo , así como las clases de grupos con una propiedad dada de este tipo: grupos finitos , grupos periódicos , grupos simples , grupos resolubles , etc. En lugar de explorar las propiedades de un grupo individual, se busca establecer resultados que se apliquen a toda una clase de grupos. El nuevo paradigma fue de suma importancia para el desarrollo de las matemáticas: anticipó la creación del álgebra abstracta en las obras de Hilbert , Emil Artin , Emmy Noether y los matemáticos de su escuela.

Una elaboración importante del concepto de grupo se produce cuando G está dotado de una estructura adicional, en particular, de un espacio topológico , una variedad diferenciable o una variedad algebraica . Si la multiplicación y la inversión del grupo son compatibles con esta estructura, es decir, son aplicaciones continuas , suaves o regulares (en el sentido de la geometría algebraica), entonces G es un grupo topológico , un grupo de Lie o un grupo algebraico . ^{[ 6 ]}

La presencia de una estructura adicional relaciona estos tipos de grupos con otras disciplinas matemáticas y significa que hay más herramientas disponibles para su estudio. Los grupos topológicos forman un dominio natural para el análisis armónico abstracto , mientras que los grupos de Lie (frecuentemente realizados como grupos de transformación) son los pilares de la geometría diferencial y la teoría de la representación unitaria . Ciertas cuestiones de clasificación que no pueden resolverse de forma general pueden abordarse y resolverse para subclases especiales de grupos. Así, los grupos de Lie compactos conexos han sido clasificados completamente. Existe una relación fructífera entre los grupos abstractos infinitos y los grupos topológicos: siempre que un grupo Γ pueda realizarse como un retículo en un grupo topológico G , la geometría y el análisis correspondientes a G proporcionan resultados importantes sobre Γ . Una tendencia relativamente reciente en la teoría de grupos finitos explota sus conexiones con grupos topológicos compactos ( grupos profinitos ): por ejemplo, un único grupo analítico p -ádico G tiene una familia de cocientes que son p -grupos finitos de varios órdenes, y las propiedades de G se traducen en las propiedades de sus cocientes finitos.

Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron en profundidad algunos aspectos de la teoría de grupos finitos, especialmente la teoría local de grupos finitos y la teoría de grupos resolubles y nilpotentes . Como consecuencia, se logró la clasificación completa de los grupos simples finitos , lo que significa que ahora se conocen todos aquellos grupos simples a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos finitos.

Durante la segunda mitad del siglo XX, matemáticos como Chevalley y Steinberg también ampliaron nuestra comprensión de los análogos finitos de los grupos clásicos y otros grupos relacionados. Una de estas familias de grupos es la de los grupos lineales generales sobre cuerpos finitos . Los grupos finitos suelen aparecer al considerar la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando estos admiten un número finito de transformaciones que preservan su estructura. La teoría de los grupos de Lie , que puede considerarse que trata sobre la " simetría continua ", está fuertemente influenciada por los grupos de Weyl asociados . Estos son grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclidiano de dimensión finita . Por lo tanto, las propiedades de los grupos finitos pueden desempeñar un papel importante en disciplinas como la física teórica y la química .

Decir que un grupo G actúa sobre un conjunto X significa que cada elemento de G define una aplicación biyectiva sobre el conjunto X de una manera compatible con la estructura del grupo. Cuando X tiene más estructura, es útil restringir aún más esta noción: una representación de G sobre un espacio vectorial V es un homomorfismo de grupos .

${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V),}$

donde GL ( V ) consiste en las transformaciones lineales invertibles de V . En otras palabras, a cada elemento del grupo g se le asigna un automorfismo ρ ( g ) tal que ρ ( g ) ∘ ρ ( h ) = ρ ( gh ) para cualquier h en G .

Esta definición puede entenderse en dos direcciones, ambas dando lugar a dominios completamente nuevos de las matemáticas. ^{[ 7 ]} Por un lado, puede proporcionar nueva información sobre el grupo G : a menudo, la operación de grupo en G se da de forma abstracta, pero a través de ρ , corresponde a la multiplicación de matrices , que es muy explícita. ^{[ 8 ]} Por otro lado, dado un grupo bien entendido que actúa sobre un objeto complicado, esto simplifica el estudio del objeto en cuestión. Por ejemplo, si G es finito, se sabe que V arriba se descompone en partes irreducibles (véase el teorema de Maschke ). Estas partes, a su vez, son mucho más fáciles de manejar que todo V (a través del lema de Schur ).

Dado un grupo G , la teoría de la representación se pregunta qué representaciones de G existen. Existen varios escenarios, y los métodos empleados y los resultados obtenidos difieren considerablemente en cada caso: la teoría de la representación de grupos finitos y las representaciones de grupos de Lie son dos subdominios principales de la teoría. La totalidad de las representaciones está regida por los caracteres del grupo . Por ejemplo, los polinomios de Fourier pueden interpretarse como los caracteres de U(1) , el grupo de números complejos de valor absoluto 1 , que actúa sobre el espacio L² ^de funciones periódicas.

Un grupo de Lie es un grupo que también es una variedad diferenciable , con la propiedad de que las operaciones del grupo son compatibles con la estructura suave . Los grupos de Lie reciben su nombre de Sophus Lie , quien sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua . El término «groupes de Lie» apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis del alumno de Lie , Arthur Tresse , página 3. ^{[ 9 ]}

Los grupos de Lie representan la teoría más desarrollada sobre la simetría continua de objetos y estructuras matemáticas , lo que los convierte en herramientas indispensables para muchas ramas de las matemáticas contemporáneas, así como para la física teórica moderna . Proporcionan un marco natural para analizar las simetrías continuas de las ecuaciones diferenciales ( teoría de Galois diferencial ), de forma muy similar a como se utilizan los grupos de permutación en la teoría de Galois para analizar las simetrías discretas de las ecuaciones algebraicas . Una de las principales motivaciones de Lie fue extender la teoría de Galois al caso de los grupos de simetría continua.

Los grupos se pueden describir de diferentes maneras. Los grupos finitos se pueden describir escribiendo la tabla del grupo que consta de todas las multiplicaciones posibles g • h . Una forma más compacta de definir un grupo es mediante generadores y relaciones , también llamada presentación de un grupo. Dado cualquier conjunto F de generadores${\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}$, el grupo libre generado por F sobreyecta sobre el grupo G . El núcleo de esta aplicación se llama subgrupo de relaciones, generado por algún subconjunto D . La presentación se suele denotar por${\displaystyle \langle F\mid D\rangle .}$Por ejemplo, la presentación grupal${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$describe un grupo que es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}.}$Una cadena formada por símbolos generadores y sus inversos se denomina palabra .

La teoría combinatoria de grupos estudia los grupos desde la perspectiva de los generadores y las relaciones. ^{[ 10 ]} Es particularmente útil cuando se cumplen supuestos de finitud, por ejemplo, grupos finitamente generados o grupos finitamente presentados (es decir, además las relaciones son finitas). Esta área utiliza la conexión de grafos a través de sus grupos fundamentales . Un teorema fundamental de esta área es que todo subgrupo de un grupo libre es libre.

Al dar un grupo por su presentación, surgen varias preguntas naturales. El problema de la palabra plantea si dos palabras son efectivamente el mismo elemento del grupo. Al relacionar el problema con las máquinas de Turing , se puede demostrar que, en general, no existe ningún algoritmo que resuelva esta tarea. Otro problema, generalmente más difícil e irresoluble algorítmicamente, es el problema del isomorfismo de grupos , que plantea si dos grupos dados por diferentes presentaciones son realmente isomorfos. Por ejemplo, el grupo con presentación${\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle ,}$es isomorfo al grupo aditivo Z de los enteros, aunque esto puede no ser inmediatamente evidente. (Escribiendo${\displaystyle z=xy}$, uno tiene${\displaystyle G\cong \langle z,y\mid z^{3}=y\rangle \cong \langle z\rangle .}$)

La teoría geométrica de grupos aborda estos problemas desde un punto de vista geométrico, ya sea considerando los grupos como objetos geométricos o encontrando objetos geométricos adecuados sobre los que actúa un grupo. [ 11 ] La primera idea se precisa mediante el grafo de Cayley, cuyos vértices corresponden a elementos del grupo y las aristas corresponden a la multiplicación derecha en el grupo. Dados dos elementos, se construye la métrica de palabras ^{dada por la} longitud del camino mínimo entre los elementos. Un teorema de Milnor y Svarc afirma que dado un grupo G que actúa de manera razonable sobre un espacio métrico X , por ejemplo una variedad compacta , entonces G es cuasi-isométrico (es decir , se ve similar a distancia) al espacio X.

La teoría de Galois utiliza grupos para describir las simetrías de las raíces de un polinomio (o, más precisamente, los automorfismos de las álgebras generadas por estas raíces). El teorema fundamental de la teoría de Galois establece un vínculo entre las extensiones de cuerpos algebraicos y la teoría de grupos. Proporciona un criterio efectivo para la resolubilidad de ecuaciones polinómicas en términos de la resolubilidad del grupo de Galois correspondiente . Por ejemplo, S₅ , el grupo simétrico en 5 elementos, no es resoluble, lo que implica que la ecuación quíntica general _no puede resolverse mediante radicales como sí lo hacen las ecuaciones de menor grado. Esta teoría, una de las raíces históricas de la teoría de grupos, sigue aplicándose con éxito para generar nuevos resultados en áreas como la teoría de cuerpos de clases .

La topología algebraica es otro campo que asocia prominentemente los grupos a los objetos de interés de la teoría. En ella, los grupos se utilizan para describir ciertos invariantes de espacios topológicos . Se denominan "invariantes" porque se definen de tal manera que no cambian si el espacio se somete a alguna deformación . Por ejemplo, el grupo fundamental "cuenta" cuántos caminos en el espacio son esencialmente diferentes. La conjetura de Poincaré , demostrada en 2002/2003 por Grigori Perelman , es una aplicación destacada de esta idea. Sin embargo, la influencia no es unidireccional. Por ejemplo, la topología algebraica utiliza los espacios de Eilenberg-MacLane , que son espacios con grupos de homotopía prescritos . De manera similar, la K-teoría algebraica se basa, en cierto modo, en la clasificación de espacios de grupos. Finalmente, el nombre del subgrupo de torsión de un grupo infinito muestra la herencia de la topología en la teoría de grupos.

La geometría algebraica también utiliza la teoría de grupos de diversas maneras. Las variedades abelianas se han presentado anteriormente. La presencia de la operación de grupo proporciona información adicional que hace que estas variedades sean particularmente accesibles. Además, suelen servir como prueba para nuevas conjeturas (por ejemplo, la conjetura de Hodge , en ciertos casos). El caso unidimensional, concretamente las curvas elípticas, se estudia con especial detalle. Son intrigantes tanto desde el punto de vista teórico como práctico. ^{[ 12 ]} En otra dirección, las variedades tóricas son variedades algebraicas sobre las que actúa un toro . Las incrustaciones toroidales han propiciado recientemente avances en geometría algebraica, en particular en la resolución de singularidades . ^{[ 13 ]}

La teoría algebraica de números utiliza grupos para algunas aplicaciones importantes. Por ejemplo, la fórmula del producto de Euler ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}$

captura el hecho de que cualquier entero se descompone de forma única en primos . El fallo de esta afirmación para anillos más generales da lugar a grupos de clases y primos regulares , que aparecen en el tratamiento que Kummer hace del Último Teorema de Fermat .

El análisis de grupos de Lie y otros grupos se denomina análisis armónico . Las medidas de Haar , es decir, las integrales invariantes bajo la traslación en un grupo de Lie, se utilizan para el reconocimiento de patrones y otras técnicas de procesamiento de imágenes . ^{[ 14 ]}

En combinatoria , la noción de grupo de permutación y el concepto de acción de grupo se utilizan a menudo para simplificar el conteo de un conjunto de objetos; véase en particular el lema de Burnside .

La presencia de la periodicidad de 12 en el círculo de quintas permite aplicar la teoría elemental de grupos a la teoría de conjuntos musicales . La teoría transformacional modela las transformaciones musicales como elementos de un grupo matemático.

En física , los grupos son importantes porque describen las simetrías que parecen obedecer las leyes físicas. Según el teorema de Noether , toda simetría continua de un sistema físico corresponde a una ley de conservación del sistema. Los físicos están muy interesados ​​en las representaciones de grupos, especialmente en los grupos de Lie, ya que estas representaciones suelen indicar el camino hacia las teorías físicas "posibles". Ejemplos del uso de grupos en física incluyen el Modelo Estándar , la teoría de gauge , el grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré .

La teoría de grupos puede utilizarse para resolver la incompletitud de las interpretaciones estadísticas de la mecánica desarrolladas por Willard Gibbs , en relación con la suma de un número infinito de probabilidades para obtener una solución significativa. ^{[ 15 ]}

En química y ciencia de los materiales , los grupos puntuales se utilizan para clasificar poliedros regulares y las simetrías de las moléculas , y los grupos espaciales para clasificar estructuras cristalinas . Los grupos asignados se pueden utilizar para determinar propiedades físicas (como la polaridad química y la quiralidad ), propiedades espectroscópicas (especialmente útiles para la espectroscopia Raman , la espectroscopia infrarroja , la espectroscopia de dicroísmo circular, la espectroscopia de dicroísmo circular magnético, la espectroscopia UV/Vis y la espectroscopia de fluorescencia) y para construir orbitales moleculares .

La simetría molecular es responsable de muchas propiedades físicas y espectroscópicas de los compuestos y proporciona información relevante sobre cómo ocurren las reacciones químicas. Para asignar un grupo puntual a una molécula dada, es necesario encontrar el conjunto de operaciones de simetría presentes en ella. La operación de simetría es una acción, como una rotación alrededor de un eje o una reflexión respecto a un plano de simetría. En otras palabras, es una operación que desplaza la molécula de tal manera que resulta indistinguible de su configuración original. En teoría de grupos, los ejes de rotación y los planos de simetría se denominan "elementos de simetría". Estos elementos pueden ser un punto, una línea o un plano respecto del cual se realiza la operación de simetría. Las operaciones de simetría de una molécula determinan su grupo puntual específico.

En química , existen cinco operaciones de simetría importantes: la operación de identidad ( E ), la operación de rotación o rotación propia ( C _n ), la operación de reflexión ( σ ), la inversión ( i ) y la operación de reflexión rotacional o rotación impropia ( S _n ). La operación de identidad ( E ) consiste en dejar la molécula en su estado original. Esto equivale a cualquier número de rotaciones completas alrededor de cualquier eje. Esta es una simetría común a todas las moléculas, mientras que el grupo de simetría de una molécula quiral consta únicamente de la operación de identidad. La operación de identidad es una característica de toda molécula, incluso si carece de simetría. La rotación alrededor de un eje ( C _n ) consiste en rotar la molécula alrededor de un eje específico en un ángulo determinado. Se trata de una rotación de 360°/ n , donde n es un número entero, alrededor de un eje de rotación. Por ejemplo, si una molécula de agua rota 180° alrededor del eje que pasa por el átomo de oxígeno y entre los átomos de hidrógeno , se encuentra en la misma configuración inicial. En este caso, n = 2 , ya que al aplicarlo dos veces se obtiene la operación identidad. En moléculas con más de un eje de rotación, el eje C _n con el mayor valor de n es el eje de rotación de mayor orden o eje principal. Por ejemplo, en el trifluoruro de boro (BF ₃ ), el eje de rotación de mayor orden es C ₃ , por lo que el eje principal de rotación es C ₃ .

En la operación de reflexión ( σ ), muchas moléculas poseen planos de simetría, aunque estos no siempre sean evidentes. La operación de reflexión intercambia izquierda y derecha, como si cada punto se hubiera movido perpendicularmente a través del plano hasta una posición exactamente igual de alejada del plano que la inicial. Cuando el plano es perpendicular al eje principal de rotación, se denomina _σh ( horizontal). Otros planos que contienen el eje principal de rotación se denominan verticales ( σv ₎ o diedros ( σd ₎ .

La inversión (i) es una operación más compleja. Cada punto se mueve a través del centro de la molécula a una posición opuesta a la original y tan lejos del punto central como donde comenzó. Muchas moléculas que a primera vista parecen tener un centro de inversión no lo tienen; por ejemplo, el metano y otras moléculas tetraédricas carecen de simetría de inversión. Para ver esto, sostenga un modelo de metano con dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la izquierda. La inversión da como resultado dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la izquierda. Por lo tanto, la inversión no es una operación de simetría del metano, porque la orientación de la molécula después de la operación de inversión difiere de la orientación original. Y la última operación es la rotación impropia o rotación-reflexión ( S _n ) requiere una rotación de 360°/ n , seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación.

Los grupos muy grandes de orden primo construidos en criptografía de curva elíptica sirven para la criptografía de clave pública . Los métodos criptográficos de este tipo se benefician de la flexibilidad de los objetos geométricos, y por lo tanto de sus estructuras de grupo, junto con la estructura compleja de estos grupos, que hace que el logaritmo discreto sea muy difícil de calcular. Uno de los primeros protocolos de cifrado, el cifrado César , también puede interpretarse como una operación de grupo (muy sencilla). La mayoría de los esquemas criptográficos utilizan grupos de alguna manera. En particular, el intercambio de claves Diffie-Hellman utiliza grupos cíclicos finitos . Así pues, el término criptografía basada en grupos se refiere principalmente a protocolos criptográficos que utilizan grupos no abelianos infinitos, como un grupo de trenzas .