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Grupo algebraico

En matemáticas , un grupo algebraico es una variedad algebraica dotada de una estructura de grupo compatible con su estructura como variedad algebraica. Por lo tanto, el estudio...

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En matemáticas , un grupo algebraico es una variedad algebraica dotada de una estructura de grupo compatible con su estructura como variedad algebraica. Por lo tanto, el estudio de los grupos algebraicos pertenece tanto a la geometría algebraica como a la teoría de grupos .

Muchos grupos de transformaciones geométricas son grupos algebraicos, incluidos los grupos ortogonales , los grupos lineales generales , los grupos proyectivos , los grupos euclidianos , etc. Muchos grupos de matrices también son algebraicos. Otros grupos algebraicos aparecen de forma natural en la geometría algebraica, como las curvas elípticas y las variedades jacobianas .

Una clase importante de grupos algebraicos la constituyen los grupos algebraicos afines , aquellos cuya variedad algebraica subyacente es una variedad afín ; son precisamente los subgrupos algebraicos del grupo lineal general y, por lo tanto, también se denominan grupos algebraicos lineales . [ 1 ] Otra clase la forman las variedades abelianas , que son los grupos algebraicos cuya variedad subyacente es una variedad proyectiva . El teorema de estructura de Chevalley establece que todo grupo algebraico puede construirse a partir de grupos de estas dos familias.

Definiciones

Formalmente, un grupo algebraico sobre un cuerpok{\displaystyle k}es una variedad algebraicaGRAMO{\displaystyle \mathrm {G} }encimak{\displaystyle k}, junto con un elemento distinguidomi∈GRAMO(k){\displaystyle e\in \mathrm {G} (k)}(el elemento neutro ) y mapas regularesGRAMO×GRAMO→GRAMO{\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }(la operación de multiplicación) yGRAMO→GRAMO{\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }(la operación de inversión) que satisfacen los axiomas del grupo. [ 2 ]

Ejemplos

  • El grupo aditivo : la línea afínA1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}Dotado de suma y opuesto como operaciones de grupo es un grupo algebraico. Se llama grupo aditivo (porque suk{\displaystyle k}-los puntos son isomorfos como grupo al grupo aditivo dek{\displaystyle k}), y generalmente se denota porGRAMOa{\displaystyle \mathrm {G} _ {a}}.
  • El grupo multiplicativo : SeaGRAMOmetro{\displaystyle \mathrm {G} _ {m}}sea ​​la variedad afín definida por la ecuaciónincógnitay=1{\displaystyle xy=1}en el plano afínA2{\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}. Las funciones((incógnita,y),(incógnita′,y′))↦(incógnitaincógnita′,yy′){\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}y(incógnita,y)↦(incógnita−1,y−1){\displaystyle (x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})}son regulares enGRAMOmetro{\displaystyle \mathrm {G} _ {m}}y satisfacen los axiomas del grupo (con elemento neutro)(1,1){\displaystyle (1,1)}). El grupo algebraicoGRAMOmetro{\displaystyle \mathrm {G} _ {m}}se llama grupo multiplicativo, porque suk{\displaystyle k}Los puntos son isomorfos al grupo multiplicativo del campo.k{\displaystyle k}(un isomorfismo viene dado porincógnita↦(incógnita,incógnita−1){\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}; tenga en cuenta que el subconjunto de elementos invertibles no define una subvariedad algebraica enA1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}).
  • El grupo lineal especialSLnorte{\displaystyle \mathrm {SL} _ {n}}es un grupo algebraico: está dado por la ecuación algebraicadet(gramo)=1{\displaystyle \det(g)=1}en el espacio afínAnorte2{\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}(identificado con el espacio denorte{\displaystyle n}-por-norte{\displaystyle n}matrices), la multiplicación de matrices es regular y la fórmula para la inversa en términos de la matriz adjunta muestra que la inversión también es regular en matrices con determinante 1.
  • El grupo lineal generalGRAMOLnorte{\displaystyle \mathrm {GL} _ {n}}de matrices invertibles sobre un campok{\displaystyle k}es un grupo algebraico. Puede realizarse como una subvariedad enAnorte2+1{\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}+1}}de forma muy similar al grupo multiplicativo del ejemplo anterior. [ 3 ]
  • Una curva cúbica no singular en el plano proyectivoPAG2{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}con un punto específico se le puede dotar de una ley de grupo definida geométricamente que lo convierte en un grupo algebraico (ver curva elíptica ).

Un subgrupo algebraico de un grupo algebraicoGRAMO{\displaystyle \mathrm {G} }es una subvariedadH{\displaystyle \mathrm {H} }deGRAMO{\displaystyle \mathrm {G} }que también es un subgrupo deGRAMO{\displaystyle \mathrm {G} }(es decir, los mapasGRAMO×GRAMO→GRAMO{\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }yGRAMO→GRAMO{\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }definición del mapa de estructura de grupoH×H{\displaystyle \mathrm {H} \times \mathrm {H} }yH{\displaystyle \mathrm {H} }, respectivamente, enH{\displaystyle \mathrm {H} }).

Un morfismo entre dos grupos algebraicosGRAMO,GRAMO′{\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {G} '}es un mapa regularGRAMO→GRAMO′{\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} '}que también es un homomorfismo de grupo. Su núcleo es un subgrupo algebraico deGRAMO{\displaystyle \mathrm {G} }y su imagen es un subgrupo algebraico deGRAMO′{\displaystyle \mathrm {G} '}. [ 4 ]

Los cocientes en la categoría de grupos algebraicos son más delicados de manejar. Se dice que un subgrupo algebraico es normal si es estable bajo cada automorfismo interno (que son aplicaciones regulares). SiH{\displaystyle \mathrm {H} }es un subgrupo algebraico normal deGRAMO{\displaystyle \mathrm {G} }entonces existe un grupo algebraicoGRAMO/H{\displaystyle \mathrm {G} /\mathrm {H} }y un morfismo sobreyectivoπ:GRAMO→GRAMO/H{\displaystyle \pi :\mathrm {G} \to \mathrm {G} /\mathrm {H} } tal queH{\displaystyle \mathrm {H} }es el núcleo deπ{\displaystyle \pi }. [ 5 ] Tenga en cuenta que si el campok{\displaystyle k}no es algebraicamente cerrado, entonces el morfismo de gruposGRAMO(k)→GRAMO(k)/H(k){\displaystyle \mathrm {G} (k)\to \mathrm {G} (k)/\mathrm {H} (k)}puede que no sea sobreyectiva (el defecto de sobreyectividad se mide mediante la cohomología de Galois ).

Álgebra de Lie de un grupo algebraico

De forma similar a la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie , a un grupo algebraico sobre un cuerpok{\displaystyle k}está asociado un álgebra de Lie sobrek{\displaystyle k}En característica positiva , se trata de un álgebra de Lie restringida . Como espacio vectorial, el álgebra de Lie es isomorfa al espacio tangente en el elemento identidad. El corchete de Lie puede construirse a partir de su interpretación como espacio de derivaciones . [ 6 ]

Definiciones alternativas

Una definición más sofisticada y general es la de un esquema de grupo (que puede definirse de forma más general sobre anillos conmutativos ). Un grupo algebraico sobre un cuerpok{\displaystyle k}es entonces un plan de grupo sobrek{\displaystyle k}que es simultáneamente unk{\displaystyle k}-variedad.

Otra definición del concepto es decir que un grupo algebraico sobrek{\displaystyle k}es un objeto de grupo en la categoría de variedades algebraicas sobrek{\displaystyle k}.

grupos algebraicos afines

Se dice que un grupo algebraico es afín si su variedad algebraica subyacente es una variedad afín. Entre los ejemplos anteriores, los grupos aditivo, multiplicativo, lineal general y lineal especial son afines. Utilizando la acción de un grupo algebraico afín sobre su anillo de coordenadas , se puede demostrar que todo grupo algebraico afín es un grupo lineal (o matricial), lo que significa que es isomorfo a un subgrupo algebraico del grupo lineal general.

Por ejemplo, el grupo aditivo puede estar incrustado enGRAMOL2{\displaystyle \mathrm {GL} _{2}}por el morfismoincógnita↦(1incógnita01){\displaystyle x\mapsto \left({\begin{matrix}1&x\\0&1\end{matrix}}\right)}.

Hay muchos ejemplos de tales grupos más allá de los dados anteriormente, incluidos grupos ortogonales , grupos simplécticos , grupos unipotentes , toros algebraicos y ciertos productos semidirectos , [ 7 ] como grupos jet , o algunos grupos resolubles como el de matrices triangulares invertibles .

Los grupos algebraicos lineales pueden clasificarse hasta cierto punto. El teorema de Levi establece que todo grupo algebraico lineal es (esencialmente) un producto semidirecto de un grupo unipotente (su radical unipotente ) con un grupo reductivo . A su vez, un grupo reductivo se descompone como (nuevamente esencialmente) un producto de su centro (un toro algebraico) con un grupo semisimple . Estos últimos se clasifican sobre cuerpos algebraicamente cerrados a través de sus álgebras de Lie . [ 8 ] La clasificación sobre cuerpos arbitrarios es más compleja, pero aún se comprende bien. [ 9 ] Puede hacerse muy explícita en algunos casos, como sobre los cuerpos reales o p -ádicos , y por lo tanto sobre cuerpos numéricos a través de principios locales-globales .

variedades abelianas

Las variedades abelianas son grupos algebraicos proyectivos conexos, como las curvas elípticas. Son siempre conmutativas. Surgen de forma natural en diversas situaciones de la geometría algebraica y la teoría de números, como las variedades jacobianas de curvas.

Teorema de estructura para grupos algebraicos generales

No todos los grupos algebraicos son grupos lineales o variedades abelianas; por ejemplo, algunos esquemas de grupos que aparecen naturalmente en la geometría aritmética no son ninguno de los dos. [ 10 ] El teorema de estructura de Chevalley afirma que todo grupo algebraico conexo es una extensión de una variedad abeliana por un grupo algebraico lineal . Más precisamente, si K es un cuerpo perfecto y G un grupo algebraico conexo sobre K , entonces existe un único subgrupo cerrado normal H en G , tal que H es un grupo algebraico lineal conexo y G / H una variedad abeliana.

Conexión

Como variedad algebraica,GRAMO{\displaystyle \mathrm {G} }tiene una topología de Zariski . En general, no es una topología de grupo ; es decir, las operaciones de grupo pueden no ser continuas para esta topología (porque la topología de Zariski en el producto no es el producto de topologías de Zariski en los factores [ 11 ] ).

Se dice que un grupo algebraico es conexo si la variedad algebraica subyacente es conexa para la topología de Zariski. Para un grupo algebraico, esto significa que no es la unión de dos subconjuntos algebraicos propios. [ 12 ]

Ejemplos de grupos que no están conectados vienen dados por el subgrupo algebraico denorte{\displaystyle n}raíces de la unidad en el grupo multiplicativoGRAMOmetro{\displaystyle \mathrm {G} _{m}}(cada punto es un subconjunto cerrado de Zariski, por lo que no está conectado paranorte≥1{\displaystyle n\geq 1}). Este grupo se suele denotar porμnorte{\displaystyle \mu _{n}}. Otros grupos no conexos son el grupo ortogonal en dimensión par (el determinante da un morfismo sobreyectivo aμ2{\displaystyle \mu _{2}}).

De manera más general, todo grupo finito es un grupo algebraico (puede realizarse como un subgrupo finito, y por lo tanto cerrado de Zariski, de algúnGRAMOLnorte{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}(por el teorema de Cayley ). Además, es afín y proyectivo. Por lo tanto, en particular para fines de clasificación, es natural restringir las afirmaciones a grupos algebraicos conexos.

Grupos algebraicos sobre cuerpos locales y grupos de Lie

Si el campok{\displaystyle k}es un campo local (por ejemplo, los números reales o complejos, o un campo p -ádico) yGRAMO{\displaystyle \mathrm {G} }es unk{\displaystyle k}-grupo, luego el grupoGRAMO(k){\displaystyle \mathrm {G} (k)}está dotado de la topología analítica que proviene de cualquier incrustación en un espacio proyectivo.PAGnorte(k){\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}como una variedad cuasiproyectiva. Esta es una topología de grupo, y haceGRAMO(k){\displaystyle \mathrm {G} (k)}en un grupo topológico . Estos grupos son ejemplos importantes en la teoría general de grupos topológicos.

Sik=R{\displaystyle k=\mathbb {R} }odo{\displaystyle \mathbb {C} }, entonces esto haceGRAMO(k){\displaystyle \mathrm {G} (k)}en un grupo de Lie . No todos los grupos de Lie se pueden obtener mediante este procedimiento; por ejemplo, la cubierta universal de SL 2 ( R ) , o el cociente del grupo de Heisenberg por un subgrupo discreto normal infinito. [ 13 ] Un grupo algebraico sobre los números reales o complejos puede tener subgrupos cerrados (en la topología analítica) que no tienen la misma componente conexa de la identidad que cualquier subgrupo algebraico.

Grupos de Coxeter y grupos algebraicos

Hay varios resultados análogos entre los grupos algebraicos y los grupos de Coxeter ; por ejemplo, el número de elementos del grupo simétrico esnorte¡{\displaystyle n!}y el número de elementos del grupo lineal general sobre un cuerpo finito es (salvo algún factor) el q -factorial[norte]q¡{\displaystyle [n]_{q}!}Por lo tanto, el grupo simétrico se comporta como si fuera un grupo lineal sobre "el cuerpo con un elemento". Esto se formaliza mediante el cuerpo con un elemento , que considera a los grupos de Coxeter como grupos algebraicos simples sobre el cuerpo con un elemento.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Borel 1991 , pág. 54.
  2. ↑ Borel 1991 , pág. 46.
  3. ↑ Borel 1991 , 1.6(2), pág. 49.
  4. ↑ Borel 1991 , Corolario 1.4, pág. 47.
  5. ↑ Borel 1991 , Teorema 6.8, pág. 98.
  6. ↑ Borel 1991 , 3.5, pág. 65.
  7. ↑ Borel 1991 , págs. 55-56.
  8. ↑ Borel 1991 , 24.1.
  9. ↑ Borel 1991 , 24.2.
  10. ↑ Conrad, Brian (2002). "Una demostración moderna del teorema de Chevalley sobre grupos algebraicos". J. Ramanujan Math. Soc . 17 (1): 1– 18. Zbl 1007.14005 . 
  11. ↑ Borel 1991 , pág. 16.
  12. ↑ Borel 1991 , pág. 47.
  13. ↑ "Grupo de Lie no lineal" . MathOverflow . Consultado el 13 de mayo de 2022 .
  • Chevalley, Claude, ed. (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956--1958. Classification des groupes de Lie algébriques , 2 vols, París: Secrétariat Mathématique, MR 0106966 , reimpreso como volumen 3 de las obras completas de Chevalley, archivado desde el original el 4 de noviembre de 2014 , consultado el 25 de junio de 2012. 
  • Borel, Armand (1991). Grupos algebraicos lineales. 2.ª ed. ampliada . Textos de posgrado en matemáticas. Springer-Verlag. pp.  x+288. Zbl 0726.20030 . 
  • Humphreys, James E. (1972), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  21, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773 
  • Lang, Serge (1983), Variedades abelianas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90875-5
  • Milne, JS (2017), Grupos algebraicos: La teoría de los esquemas de grupos de tipo finito sobre un cuerpo , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483, MR 3729270 
  • Milne, JS, Esquemas de grupos afines; Álgebras de Lie; Grupos de Lie; Grupos reductivos; Subgrupos aritméticos
  • Mumford, David (1970), Variedades abelianas , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290 
  • Springer, Tonny A. (1998), Grupos algebraicos lineales , Progress in Mathematics, vol.  9 (2.ª  ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, MR 1642713 
  • Waterhouse, William C. (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  66, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90421-4
  • Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes , París: Hermann, OCLC 322901 

Lecturas adicionales

  • Grupos algebraicos y sus álgebras de Lie por Daniel Miller