Teorema del centroide de Pappus

Una curva dada por la función positiva${\displaystyle f(x)}$está delimitado por dos puntos dados por:

${\displaystyle a\geq 0}$y${\displaystyle b\geq a}$

Si${\displaystyle dL}$es un elemento de línea infinitesimal tangente a la curva, la longitud de la curva viene dada por:

$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}dL=\int _{a}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

El${\displaystyle y}$El componente del centroide de esta curva es:

$${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y\,dL={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

El área de la superficie generada al rotar la curva alrededor del eje x viene dada por:

$${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}y\,dL=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

Utilizando las dos últimas ecuaciones para eliminar la integral, tenemos:

$${\displaystyle A=2\pi {\bar {y}}L}$$

El área delimitada por las dos funciones:

$${\displaystyle y=f(x),\,\qquad y\geq 0}$$

$${\displaystyle y=g(x),\,\qquad f(x)\geq g(x)}$$

y delimitado por las dos líneas:

${\displaystyle x=a\geq 0}$y${\displaystyle x=b\geq a}$

está dado por:

$${\displaystyle A=\int _{a}^{b}dA=\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx}$$

El${\displaystyle x}$El componente del centroide de esta área viene dado por:

$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{A}}\,\int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx}$$

Si esta área se rota alrededor del eje y, el volumen generado se puede calcular utilizando el método de las capas cilíndricas. Viene dado por:

$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx}$$

Utilizando las dos últimas ecuaciones para eliminar la integral, tenemos:

$${\displaystyle V=2\pi {\bar {x}}A}$$

Dejar${\displaystyle A}$ser el área de${\displaystyle F}$,${\displaystyle W}$el sólido de la revolución de${\displaystyle F}$, y${\displaystyle V}$el volumen de${\displaystyle W}$. Suponer${\displaystyle F}$comienza en el${\displaystyle xz}$-plano y gira alrededor del${\displaystyle z}$-eje. La distancia del centroide de${\displaystyle F}$desde${\displaystyle z}$-eje es su${\displaystyle x}$-coordinar $${\displaystyle R={\frac {\int _{F}x\,dA}{A}},}$$ y el teorema establece que $${\displaystyle V=Ad=A\cdot 2\pi R=2\pi \int _{F}x\,dA.}$$

Para demostrar esto, dejemos${\displaystyle F}$estar en el plano xz , parametrizado por${\displaystyle \mathbf {\Phi } (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v))}$para ${\displaystyle (u,v)\in F^{*}}$, una región de parámetros. Dado que${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$es esencialmente un mapeo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, el área de${\displaystyle F}$viene dada por la fórmula de cambio de variables :$${\displaystyle A=\int _{F}dA=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial v}}{\frac {\partial z}{\partial u}}\right|\,du\,dv,}$$ dónde${\displaystyle \left|{\tfrac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|}$es el determinante de la matriz jacobiana del cambio de variables.

El sólido${\displaystyle W}$tiene la parametrización toroidal${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(u,v,\theta )=(x(u,v)\cos \theta ,x(u,v)\sin \theta ,z(u,v))}$para${\displaystyle (u,v,\theta )}$en la región de parámetros${\displaystyle W^{*}=F^{*}\times [0,2\pi ]}$; y su volumen es $${\displaystyle V=\int _{W}dV=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta .}$$

En expansión, $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|&=\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}\cos \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\cos \theta &-x\sin \theta \\[6pt]{\frac {\partial x}{\partial u}}\sin \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\sin \theta &x\cos \theta \\[6pt]{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&0\end{bmatrix}}\right|\\[5pt]&=\left|-{\frac {\partial z}{\partial v}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\,x+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}\,x\right|=\ \left|-x\,{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|=x\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|.\end{aligned}}}$$

La última igualdad se cumple porque el eje de rotación debe ser externo a${\displaystyle F}$, significado${\displaystyle x\geq 0}$. Ahora, $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta \\[1ex]&=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|du\,dv\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv\\[1ex]&=2\pi \int _{F}x\,dA\end{aligned}}}$$ mediante cambio de variables.