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Extensión HNN

En matemáticas , la extensión HNN es una construcción importante de la teoría de grupos combinatorios . Introducido en un artículo de 1949, Teoremas de incrustación para grupos ...

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En matemáticas , la extensión HNN es una construcción importante de la teoría de grupos combinatorios .

Introducido en un artículo de 1949, Teoremas de incrustación para grupos [ 1 ], por Graham Higman , Bernhard Neumann y Hanna Neumann , incrusta un grupo dado G en otro grupo G' , de tal manera que dos subgrupos isomorfos dados de G son conjugados (a través de un isomorfismo dado) en G' .

Construcción

Sea G un grupo con presentaciónGRAMO=⟨S∣R⟩{\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }y dejarα:H→K{\displaystyle \alpha \colon H\to K}Sea un isomorfismo entre dos subgrupos de G. Sea t un nuevo símbolo que no pertenece a S , y definamos

GRAMO∗α=⟨S,t∣R,tht−1=α(h),∀h∈H⟩.{\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .}

El grupoGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}se denomina extensión HNN de G con respecto a α. El grupo original G se denomina grupo base para la construcción, mientras que los subgrupos H y K son los subgrupos asociados . El nuevo generador t se denomina letra estable .

Propiedades clave

Desde la presentación paraGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}contiene todos los generadores y relaciones de la presentación para G , hay un homomorfismo natural, inducido por la identificación de generadores, que lleva a G aGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}Higman, Neumann y Neumann demostraron que este morfismo es inyectivo, es decir, una incrustación de G enGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}Una consecuencia es que dos subgrupos isomorfos de un grupo dado son siempre conjugados en algún supergrupo ; el deseo de demostrar esto fue la motivación original para la construcción.

El lema de Britton

Una propiedad clave de las extensiones HNN es un teorema de forma normal conocido como el lema de Britton . [ 2 ] SeaGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}sea ​​como arriba y sea w el siguiente producto enGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}:

w=gramo0tε1gramo1tε2⋯gramonorte−1tεnortegramonorte,gramoi∈GRAMO,εi=±1.{\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.}

Entonces, el lema de Britton se puede enunciar de la siguiente manera:

Lema de Britton. Si w = 1 en G ∗ α entonces

  • cualquieranorte=0{\displaystyle n=0}y g 0 = 1 en G
  • onorte>0{\displaystyle n>0}y para algún i ∈ {1, ..., n −1} se cumple una de las siguientes condiciones:
  1. ε i = 1, ε i +1 = −1, g i ∈ H ,
  2. ε i = −1, ε i +1 = 1, g i ∈ K .

En términos contrapositivos, el lema de Britton adopta la siguiente forma:

Lema de Britton (forma alternativa). Si w es tal que

  • cualquieranorte=0{\displaystyle n=0}y g 0 ≠ 1 ∈ G ,
  • onorte>0{\displaystyle n>0} y el producto w no contiene subcadenas de la forma tht −1 , donde h ∈ H y de la forma t −1 kt donde k ∈ K ,

entoncesw≠1{\displaystyle w\neq 1}enGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}.

Consecuencias del lema de Britton

La mayoría de las propiedades básicas de las extensiones HNN se derivan del lema de Britton. Estas consecuencias incluyen los siguientes hechos:

  • El homomorfismo natural de G aGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}es inyectivo, de modo que podemos pensar enGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}como que contiene a G como subgrupo .
  • Cada elemento de orden finito enGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}es conjugado a un elemento de G.
  • Cada subgrupo finito deGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}es conjugado a un subgrupo finito de G.
  • SiGRAMO{\displaystyle G}contiene un elementogramo{\displaystyle g}de tal manera quegramok{\displaystyle g^{k}}no está contenido en ningunoH{\displaystyle H}niK{\displaystyle K}para cualquier número enterok{\displaystyle k}, entoncesGRAMO∗α{\displaystyle G*_{\alpha }}contiene un subgrupo isomorfo a un grupo libre de rango dos.

Aplicaciones y generalizaciones

Aplicada a la topología algebraica , la extensión HNN construye el grupo fundamental de un espacio topológico X que ha sido "pegado" sobre sí mismo mediante una aplicación f  : X → X (véase, por ejemplo, el fibrado de superficie sobre el círculo ). Así, las extensiones HNN describen el grupo fundamental de un espacio autopegado de la misma manera que los productos libres con amalgamación lo hacen para dos espacios X e Y pegados a lo largo de un subespacio común conexo, como en el teorema de Seifert-van Kampen . La extensión HNN es un análogo natural del producto libre amalgamado y surge al determinar el grupo fundamental de una unión cuando la intersección no es conexa. [ 3 ] Estas dos construcciones permiten describir el grupo fundamental de cualquier pegado geométrico razonable. Esto se generaliza en la teoría de Bass-Serre de grupos que actúan sobre árboles, construyendo grupos fundamentales de grafos de grupos . [ 4 ] [ 5 ]

Las extensiones HNN desempeñan un papel fundamental en la demostración de Higman del teorema de incrustación de Higman , que establece que todo grupo recursivamente presentado finitamente generado puede incrustarse homomórficamente en un grupo finitamente presentado . La mayoría de las demostraciones modernas del teorema de Novikov-Boone sobre la existencia de un grupo finitamente presentado con un problema de palabras algorítmicamente indecidible también utilizan sustancialmente las extensiones HNN.

La idea de extensión HNN se ha extendido a otras partes del álgebra abstracta , incluida la teoría del álgebra de Lie [ 6 ] .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Higman, Graham ; Neumann, Bernhard H .; Neumann, Hanna (1949). "Teoremas de incrustación para grupos". Journal of the London Mathematical Society . s1-24 (4): 247– 254. doi : 10.1112/jlms/s1-24.4.247 .
  2. ^ Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp . Teoría combinatoria de grupos. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1Capítulo IV. Productos gratuitos y extensiones de HNN.
  3. ↑ Weinberger, Shmuel . Computadoras, rigidez y módulos: la geometría fractal a gran escala del espacio de módulos riemannianos . pág. 39. 
  4. ↑ Serre, Jean-Pierre (1980), Árboles. Traducido del francés por John Stillwell , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9
  5. ↑ Warren Dicks; MJ Dunwoody. Grupos que actúan sobre grafos . pág. 14. El grupo fundamental de grafos de grupos se puede obtener realizando sucesivamente un producto libre con amalgama para cada arista en el subárbol máximo y luego una extensión HNN para cada arista que no está en el subárbol máximo. 
  6. ↑ A., Lichtman; M. Shirvani (1997), Extensiones HNN de álgebras de Lie. , Actas de la Sociedad Matemática Americana