Extensión HNN

En matemáticas , la extensión HNN es una construcción importante de la teoría de grupos combinatorios .

Introducido en un artículo de 1949, Teoremas de incrustación para grupos ^{[ 1 ],} por Graham Higman , Bernhard Neumann y Hanna Neumann , incrusta un grupo dado G en otro grupo G' , de tal manera que dos subgrupos isomorfos dados de G son conjugados (a través de un isomorfismo dado) en G' .

Sea G un grupo con presentación , y sea un isomorfismo entre dos subgrupos de G . Sea t un nuevo símbolo que no pertenece a S , y definamos ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \alpha \colon H\to K}$

${\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .}$

El grupo se llama extensión HNN de G con respecto a α. El grupo original G se llama grupo base para la construcción, mientras que los subgrupos H y K son los subgrupos asociados . El nuevo generador t se llama letra estable . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Dado que la presentación de contiene todos los generadores y relaciones de la presentación de G , existe un homomorfismo natural, inducido por la identificación de generadores, que transforma G en . Higman, Neumann y Neumann demostraron que este morfismo es inyectivo, es decir, una incrustación de G en . Una consecuencia es que dos subgrupos isomorfos de un grupo dado son siempre conjugados en algún supergrupo ; el deseo de demostrar esto fue la motivación original para la construcción. ${\displaystyle G*_{\alpha }}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Una propiedad clave de las extensiones HNN es un teorema de forma normal conocido como el lema de Britton . ^{[ 2 ]} Sea como se indicó anteriormente y sea w el siguiente producto en : ${\displaystyle G*_{\alpha }}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.}$

Entonces, el lema de Britton se puede enunciar de la siguiente manera:

Lema de Britton. Si w = 1 en G ∗ _α entonces

• o bien y g ₀ = 1 en G${\displaystyle n=0}$
• o bien, para algún i ∈ {1, ..., n −1} se cumple una de las siguientes condiciones:${\displaystyle n>0}$

1. ε _i = 1, ε _{i +1} = −1, g _i ∈ H ,
2. ε _i = −1, ε _{i +1} = 1, g _i ∈ K .

En términos contrapositivos, el lema de Britton adopta la siguiente forma:

Lema de Britton (forma alternativa). Si w es tal que

• o bien y g ₀ ≠ 1 ∈ G ,${\displaystyle n=0}$
• o y el producto w no contiene subcadenas de la forma tht ⁻¹ , donde h ∈ H y de la forma t ⁻¹ kt donde k ∈ K ,${\displaystyle n>0}$

luego en .${\displaystyle w\neq 1}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$

La mayoría de las propiedades básicas de las extensiones HNN se derivan del lema de Britton. Estas consecuencias incluyen los siguientes hechos:

• El homomorfismo natural de G a es inyectivo, por lo que podemos pensar en como un subgrupo que contiene a G.${\displaystyle G*_{\alpha }}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Todo elemento de orden finito en es conjugado a un elemento de G.${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Todo subgrupo finito de es conjugado a un subgrupo finito de G.${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Si contiene un elemento tal que no está contenido ni en ni para ningún entero , entonces contiene un subgrupo isomorfo a un grupo libre de rango dos.${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{k}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Aplicada a la topología algebraica , la extensión HNN construye el grupo fundamental de un espacio topológico X que ha sido "pegado" sobre sí mismo mediante una aplicación f : X → X (véase, por ejemplo, el fibrado de superficie sobre el círculo ). Así, las extensiones HNN describen el grupo fundamental de un espacio autopegado de la misma manera que los productos libres con amalgamación lo hacen para dos espacios X e Y pegados a lo largo de un subespacio común conexo, como en el teorema de Seifert-van Kampen . La extensión HNN es un análogo natural del producto libre amalgamado y surge al determinar el grupo fundamental de una unión cuando la intersección no es conexa. ^{[ 3 ]} Estas dos construcciones permiten describir el grupo fundamental de cualquier pegado geométrico razonable. Esto se generaliza en la teoría de Bass-Serre de grupos que actúan sobre árboles, construyendo grupos fundamentales de grafos de grupos . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Las extensiones HNN desempeñan un papel fundamental en la demostración de Higman del teorema de incrustación de Higman , que establece que todo grupo recursivamente presentado finitamente generado puede incrustarse homomórficamente en un grupo finitamente presentado . La mayoría de las demostraciones modernas del teorema de Novikov-Boone sobre la existencia de un grupo finitamente presentado con un problema de palabras algorítmicamente indecidible también utilizan sustancialmente las extensiones HNN.

La idea de extensión HNN se ha extendido a otras partes del álgebra abstracta , incluida la teoría del álgebra de Lie ^{[ 6 ]} .

• Extensión de grupo