La desigualdad de Hadamard

En matemáticas , la desigualdad de Hadamard (también conocida como teorema de Hadamard sobre determinantes ^{[ 1 ]} ) es un resultado publicado por primera vez por Jacques Hadamard en 1893. ^{[ 2 ]} Es una cota para el determinante de una matriz cuyas entradas son números complejos en términos de las longitudes de sus vectores columna. En términos geométricos , cuando se restringe a números reales , acota el volumen en el espacio euclidiano de n dimensiones delimitado por n vectores v _i para 1 ≤ i ≤ n en términos de las longitudes de estos vectores || v _i ||.

Específicamente, la desigualdad de Hadamard establece que si N es la matriz que tiene columnas ^{[ 3 ]} v _i , entonces

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

Si los n vectores son distintos de cero, la igualdad en la desigualdad de Hadamard se logra si y solo si los vectores son ortogonales .

Un corolario es que si las entradas de una matriz N de n por n están acotadas por B , de modo que | N _ij | ≤ B para todo i y j , entonces

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}.}$

En particular, si las entradas de N son solo +1 y −1, entonces ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}.}$

En combinatoria , las matrices N para las que se cumple la igualdad, es decir, aquellas con columnas ortogonales, se denominan matrices de Hadamard .

De forma más general, supongamos que N es una matriz compleja de orden n , cuyas entradas están acotadas por | N _ij | ≤ 1, para cada i , j entre 1 y n . Entonces, la desigualdad de Hadamard establece que

${\displaystyle |\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}.}$

La igualdad en esta cota se alcanza para una matriz real N si y solo si N es una matriz de Hadamard.

Una matriz semidefinida positiva P se puede escribir como N ^* N , donde N ^* denota la transpuesta conjugada de N (véase Descomposición de una matriz semidefinida ). Entonces

${\displaystyle \det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}.}$

Así pues, el determinante de una matriz definida positiva es menor o igual que el producto de sus elementos diagonales. A veces, esto también se conoce como la desigualdad de Hadamard. ^{[ 2 ] [ 5 ]}

El resultado es trivial si la matriz N es singular , así que supongamos que las columnas de N son linealmente independientes . Al dividir cada columna por su norma euclidiana, se puede ver que el resultado es equivalente al caso especial donde cada columna tiene norma 1, en otras palabras, si e _i son vectores unitarios y M es la matriz que tiene a e _i como columnas, entonces

La igualdad se alcanza si y solo si los vectores son un conjunto ortogonal . El resultado general se deduce a continuación:

${\displaystyle \left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

Para demostrar (1) , consideremos P = M ^* M donde M ^* es la transpuesta conjugada de M , y sean los autovalores de P λ ₁ , λ ₂ , … λ _n . Dado que la longitud de cada columna de M es 1, cada entrada en la diagonal de P es 1, por lo que la traza de P es n . Aplicando la desigualdad de las medias aritmética y geométrica ,

${\displaystyle \det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq \left({1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1,}$

entonces

${\displaystyle \left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1.}$

Si existe igualdad, entonces cada uno de los λ _i debe ser igual y su suma es n , por lo que todos deben ser 1. La matriz P es hermitiana , por lo tanto diagonalizable , así que es la matriz identidad ; en otras palabras, las columnas de M son un conjunto ortonormal y las columnas de N son un conjunto ortogonal. ^{[ 6 ]} Se pueden encontrar muchas otras demostraciones en la literatura.

• La desigualdad de Fischer

• Maz'ya, Vladimir; Shaposhnikova, TO (1999). Jacques Hadamard: Un matemático universal . AMS. pp.  383 y ss. ISBN 0-8218-1923-2.
• Garling, DJH (2007). Desigualdades: Un viaje al análisis lineal . Cambridge. pág . 233. ISBN  978-0-521-69973-0.
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Análisis funcional . Dover. pag.  176.ISBN​ 0-486-66289-6.
• Weisstein, Eric W. "La desigualdad de Hadamard" . MathWorld .

• Beckenbach, Edwin F; Bellman, Richard Ernest (1965). Desigualdades . Springer. pág.  64.