Matriz de Hadamard

Gilbert Strang explica la conjetura de Hadamard en el MIT en 2005, utilizando la construcción de Sylvester.

En matemáticas , una matriz de Hadamard , que recibe su nombre del matemático francés Jacques Hadamard , es una matriz cuadrada cuyos elementos son +1 o −1 y cuyas filas son mutuamente ortogonales . En términos geométricos , esto significa que cada par de filas de una matriz de Hadamard representa dos vectores perpendiculares , mientras que en términos combinatorios , significa que cada par de filas tiene elementos coincidentes en la mitad de sus columnas y elementos no coincidentes en las columnas restantes. Como consecuencia de esta definición, las propiedades correspondientes se cumplen tanto para las columnas como para las filas.

El paralelepípedo n -dimensional generado por las filas de una matriz de Hadamard n × n tiene el máximo volumen n -dimensional posible entre los paralelepípedos generados por vectores cuyos elementos están limitados en valor absoluto por 1. De forma equivalente, una matriz de Hadamard tiene el determinante máximo entre las matrices con elementos de valor absoluto menor o igual a 1 y, por lo tanto, es una solución extrema del problema del determinante máximo de Hadamard .

Ciertas matrices de Hadamard se pueden usar casi directamente como un código de corrección de errores usando un código de Hadamard (generalizado en códigos de Reed-Muller ), y también se usan en la replicación repetida balanceada (BRR), utilizada por los estadísticos para estimar la varianza de un estimador de parámetros .

Propiedades

Sea H una matriz de Hadamard de orden n . La transpuesta de H está estrechamente relacionada con su inversa . De hecho:

HH^{\textsf {T}}=nI_{n}

donde I _n es la matriz identidad n × n y H ^T es la transpuesta de H . Para ver que esto es cierto, observe que las filas de H son todos vectores ortogonales sobre el campo de los números reales y cada uno tiene longitud ${\sqrt {n}}\,.$ Al dividir H por esta longitud se obtiene una matriz ortogonal cuya transpuesta es, por lo tanto, su inversa:

{\frac {1}{\sqrt {n}}}H^{\textsf {T}}={\sqrt {n}}H^{-1}

Multiplicando nuevamente por la longitud se obtiene la igualdad anterior. Como resultado,

\operatorname {det} (H)=\pm \,n^{n/2},

donde det( H ) es el determinante de H.

Supongamos que M es una matriz compleja de orden n , cuyas entradas están acotadas por | M _ij | ≤ 1, para cada i , j entre 1 y n . Entonces, la cota del determinante de Hadamard establece que

|\operatorname {det} (M)|\leq n^{n/2}.

La igualdad en esta cota se alcanza para una matriz real M si y solo si M es una matriz de Hadamard.

El orden de una matriz de Hadamard debe ser 1, 2 o un múltiplo de 4. ^{[ 1 ]}

Prueba

A continuación se presenta la prueba de la no existencia de matrices de Hadamard con dimensiones distintas de 1, 2 o un múltiplo de 4:

Si $n>1$ , entonces hay al menos un producto escalar de 2 filas que tiene que ser 0. El producto escalar es una suma de n valores, cada uno de los cuales es 1 o −1, por lo tanto la suma es impar para n impar , así que n debe ser par .

Si $n=4m+2$ con $m\geq 1$ y existe un $n\times n$ Matriz de Hadamard $H=(h_{i,j})_{i,j\in \{0,1,...,n-1\}}$ , entonces tiene la propiedad de que para cualquier $k\neq l$ :

\sum _{i=0}^{n-1}h_{k,i}h_{l,i}=0

Ahora definimos la matriz $A=(a_{i,j})_{i,j\in \{0,1,...,n-1\}}$ al establecer $a_{i,j}=h_{0,j}h_{i,j}$ . Tenga en cuenta que $A$ tiene todos 1 en la fila 0. Comprobamos que $A$ También es una matriz de Hadamard:

\sum _{i=0}^{n-1}a_{k,i}a_{l,i}=\sum _{i=0}^{n-1}h_{0,i}h_{k,i}h_{0,i}h_{l,i}=\sum _{i=0}^{n-1}h_{0,i}^{2}h_{k,i}h_{l,i}=\sum _{i=0}^{n-1}h_{k,i}h_{l,i}=0.

La fila 1 y la fila 2, al igual que todas las demás filas excepto la fila 0, deben tener $n/2$ entradas de 1 y $n/2$ entradas de −1 cada una. (*)

Dejar $\alpha$ denotemos el número de 1s de la fila 2 debajo de los 1s de la fila 1. Sea $\beta$ denotemos el número de -1s de la fila 2 debajo de los 1s en la fila 1. Sea $\gamma$ denotemos el número de 1s de la fila 2 debajo de los −1s en la fila 1. Sea $\delta$ denota el número de −1s de la fila 2 debajo de los −1s en la fila 1.

La fila 2 tiene que ser ortogonal a la fila 1, por lo que el número de productos de entradas de las filas que resultan en 1, $\alfa +\delta$ , tiene que coincidir con los que dan como resultado −1, $\beta +\gamma$ Debido a (*), también tenemos $n/2=\alpha +\gamma =\beta +\delta$ , de lo cual podemos expresar $\gamma =n/2-\alpha$ y $\delta =n/2-\beta$ y sustituir:

\alpha +\delta =\beta +\gamma

\alpha +{\frac {n}{2}}-\beta =\beta +{\frac {n}{2}}-\alpha

\alpha -\beta =\beta -\alpha

\alpha =\beta

Pero tenemos como número de 1s en la fila 1 el número impar $n/2=\alpha +\beta$ , contradicción .

La construcción de Sylvester

Ejemplos de matrices de Hadamard fueron construidos por primera vez por James Joseph Sylvester en 1867. Sea H una matriz de Hadamard de orden n . Entonces la matriz particionada es...

{\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}

es una matriz de Hadamard de orden 2 n . Esta observación se puede aplicar repetidamente y conduce a la siguiente secuencia de matrices, también llamadas matrices de Walsh .

{\begin{aligned}H_{1}&={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\\H_{2}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\\H_{4}&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}},\end{aligned}}

y

H_{2^{k}}={\begin{bmatrix}H_{2^{k-1}}&H_{2^{k-1}}\\H_{2^{k-1}}&-H_{2^{k-1}}\end{bmatrix}}=H_{2}\otimes H_{2^{k-1}},

para $2\leq k\in N$ , dónde $\otimes$ denota el producto de Kronecker .

De esta manera, Sylvester construyó matrices de Hadamard de orden 2k ^para cada entero no negativo k . ^{[ 2 ]}

Las matrices de Sylvester poseen varias propiedades especiales. Son simétricas y, cuando k ≥ 1 ( ^2k > 1), tienen traza cero. Los elementos de la primera columna y la primera fila son todos positivos. Los elementos de las demás filas y columnas se dividen equitativamente entre positivos y negativos . Las matrices de Sylvester están estrechamente relacionadas con las funciones de Walsh .

{\displaystyle \mathbb {N} } — Matriz binaria de Hadamard como producto matricial . La matriz binaria (blanco 0, rojo 1) es el resultado de las operaciones en F ₂ . Los números grises muestran el resultado de las operaciones en $\mathbb {N}$ .

Construcción alternativa

Si mapeamos los elementos de la matriz de Hadamard usando el homomorfismo de grupo $(\{1,-1\},\times )\rightarrow (\{0,1\}),+)$ , dónde $(\{0,1\}),+)$ es el grupo aditivo del campo $\mathrm {GF} (2)$ Con dos elementos, podemos describir una construcción alternativa de la matriz de Hadamard de Sylvester. Primero consideremos la matriz $F_{n}$ , el $n\times 2^{n}$ matriz cuyas columnas constan de todos los números de n bits ordenados en orden ascendente. Podemos definir $F_{n}$ recursivamente por

{\begin{aligned}F_{1}&={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}\\F_{n}&={\begin{bmatrix}0_{1\times 2^{n-1}}&1_{1\times 2^{n-1}}\\F_{n-1}&F_{n-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Se puede demostrar por inducción que la imagen de la matriz de Hadamard bajo el homomorfismo anterior viene dada por

H_{2^{n}}\mapsto F_{n}^{\textsf {T}}F_{n},

donde se realiza la aritmética matricial sobre $\mathrm {GF} (2)$ .

Esta construcción demuestra que las filas de la matriz de Hadamard $H_{2^{n}}$ puede verse como una longitud $2^{n}$ código de corrección de errores lineal de rango n y distancia mínima $2^{n-1}$ con matriz generadora $F_{n}.$

Este código también se conoce como código de Walsh . El código de Hadamard , por el contrario, se construye a partir de la matriz de Hadamard. $H_{2^{n}}$ mediante un procedimiento ligeramente diferente.

Conjetura de Hadamard

Problema sin resolver en matemáticas

¿Existe una matriz de Hadamard de orden 4k para cada entero positivo k ?

Más problemas sin resolver en matemáticas

La cuestión abierta más importante en la teoría de las matrices de Hadamard es la de su existencia. Específicamente, la conjetura de Hadamard propone que existe una matriz de Hadamard de orden 4k para cada entero positivo k . La conjetura de Hadamard también se ha atribuido a Paley, aunque otros autores la consideraron implícitamente antes de su trabajo. ^{[ 3 ]}

Una generalización de la construcción de Sylvester demuestra que si $H_{n}$ y $H_{m}$ son matrices de Hadamard de órdenes n y m respectivamente, entonces $H_{n}\otimes H_{m}$ es una matriz de Hadamard de orden nm . Este resultado se utiliza para producir matrices de Hadamard de orden superior una vez que se conocen las de órdenes inferiores.

La construcción de Sylvester de 1867 produce matrices de Hadamard de orden 1, 2, 4, 8, 16, 32, etc. Posteriormente, Hadamard construyó matrices de Hadamard de órdenes 12 y 20 (en 1893). ^{[ 4 ]} En 1933, Raymond Paley descubrió la construcción de Paley , que produce una matriz de Hadamard de orden q + 1 cuando q es cualquier potencia prima que es congruente con 3 módulo 4 y que produce una matriz de Hadamard de orden 2( q + 1) cuando q es una potencia prima que es congruente con 1 módulo 4. ^{[ 5 ]} Su método utiliza cuerpos finitos .

El orden más pequeño que no se puede construir mediante una combinación de los métodos de Sylvester y Paley es 92. Baumert , Golomb y Hall hallaron una matriz de Hadamard de este orden utilizando una computadora en 1962 en el JPL . ^{[ 6 ]} Utilizaron una construcción, debida a Williamson , ^{[ 7 ]} que ha dado lugar a muchos órdenes adicionales. Actualmente se conocen muchos otros métodos para construir matrices de Hadamard.

En 2005, Hadi Kharaghani y Behruz Tayfeh-Rezaie publicaron su construcción de una matriz de Hadamard de orden 428. ^{[ 8 ]} Como resultado, el orden más pequeño para el que actualmente no se conoce ninguna matriz de Hadamard es 668.

Para 2014, había 12 múltiplos de 4 menores que 2000 para los que no se conocía ninguna matriz de Hadamard de ese orden. ^{[ 9 ]} Son: 668, 716, 892, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948 y 1964.

Equivalencia y unicidad

Dos matrices de Hadamard se consideran equivalentes si una puede obtenerse de la otra negando filas o columnas, o intercambiándolas. Salvo equivalencia, existe una única matriz de Hadamard de órdenes 1, 2, 4, 8 y 12. Hay 5 matrices no equivalentes de orden 16, 3 de orden 20, 60 de orden 24 y 487 de orden 28. Se conocen millones de matrices no equivalentes para los órdenes 32, 36 y 40. Utilizando una noción de equivalencia más general que también permite la transposición , hay 4 matrices no equivalentes de orden 16, 3 de orden 20, 36 de orden 24 y 294 de orden 28. ^{[ 10 ]}

Las matrices de Hadamard también son recuperables de forma única, en el siguiente sentido: Si una matriz de Hadamard $H$ del orden $n$ tiene $O(n^{2}/\log n)$ Si se eliminan entradas al azar, entonces, con una probabilidad abrumadora, se puede recuperar perfectamente la matriz original. $H$ del dañado. El algoritmo de recuperación tiene el mismo costo computacional que la inversión de matrices. ^{[ 11 ]}

Casos especiales

En la literatura matemática se han investigado numerosos casos especiales de matrices de Hadamard.

Matrices de Hadamard sesgadas

Una matriz de Hadamard H es asimétrica si $H^{\textsf {T}}+H=2I.$ Una matriz de Hadamard asimétrica sigue siendo una matriz de Hadamard asimétrica después de multiplicar cualquier fila y su columna correspondiente por −1. Esto permite, por ejemplo, normalizar una matriz de Hadamard asimétrica de modo que todos los elementos de la primera fila sean iguales a 1.

Reid y Brown demostraron en 1972 que existe un torneo doblemente regular de orden n si y solo si existe una matriz de Hadamard sesgada de orden n + 1. En un torneo matemático de orden n , cada uno de los n jugadores juega una partida contra cada uno de los demás jugadores, resultando cada partida en una victoria para uno de los jugadores y una derrota para el otro. Un torneo es regular si cada jugador gana el mismo número de partidas. Un torneo regular es doblemente regular si el número de oponentes derrotados por ambos de dos jugadores distintos es el mismo para todos los pares de jugadores distintos. Dado que cada una de las n ( n − 1)/2 partidas jugadas resulta en una victoria para uno de los jugadores, cada jugador gana ( n − 1)/2 partidas (y pierde el mismo número). Dado que cada uno de los ( n − 1)/2 jugadores derrotados por un jugador dado también pierde contra ( n − 3)/2 otros jugadores, el número de pares de jugadores ( i , j ) tales que j pierde tanto contra i como contra el jugador dado es ( n − 1)( n − 3)/4. El mismo resultado debería obtenerse si los pares se cuentan de manera diferente: el jugador dado y cualquiera de los n − 1 otros jugadores juntos derrotan al mismo número de oponentes comunes. Este número común de oponentes derrotados debe ser, por lo tanto, ( n − 3)/4. Una matriz de Hadamard sesgada se obtiene introduciendo un jugador adicional que derrota a todos los jugadores originales y luego formando una matriz con filas y columnas etiquetadas por jugadores según la regla de que la fila i , columna j contiene 1 si i = j o i derrota a j y −1 si j derrota a i . Esta correspondencia inversa produce un torneo doblemente regular a partir de una matriz de Hadamard sesgada, suponiendo que la matriz de Hadamard sesgada está normalizada de modo que todos los elementos de la primera fila son iguales a 1. ^[¹²^]

Matrices de Hadamard regulares

Las matrices de Hadamard regulares son matrices de Hadamard reales cuyas sumas de filas y columnas son todas iguales. Una condición necesaria para la existencia de una matriz de Hadamard regular n × n es que n sea un número cuadrado . Una matriz circulante es manifiestamente regular, y por lo tanto, una matriz de Hadamard circulante tendría que ser de orden cuadrado. Además, si existiera una matriz de Hadamard circulante n × n con n > 1, entonces n necesariamente tendría que ser de la forma 4 u ² con u impar. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Matrices de Hadamard circulantes

Sin embargo, la conjetura de la matriz circulante de Hadamard afirma que, aparte de los ejemplos conocidos de 1 × 1 y 4 × 4, no existen tales matrices. Esto se verificó para todos los valores de u menores que 10⁴ ^, excepto 26. ^{[ 15 ]}

Generalizaciones

Una generalización básica es una matriz de ponderación . Una matriz de ponderación es una matriz cuadrada en la que las entradas también pueden ser cero y que satisface $WW^{\textsf {T}}=wI$ para algún w, su peso. Una matriz de ponderación cuyo peso es igual a su orden es una matriz de Hadamard. ^{[ 16 ]}

Otra generalización define una matriz de Hadamard compleja como una matriz cuyas entradas son números complejos de módulo unitario y que satisface HH ^* = n I _n , donde H ^* es la transpuesta conjugada de H. Las matrices de Hadamard complejas surgen en el estudio de las álgebras de operadores y la teoría de la computación cuántica . Las matrices de Hadamard de tipo Butson son matrices de Hadamard complejas cuyas entradas son las raíces q ^-ésimasde la unidad . Algunos autores han utilizado el término matriz de Hadamard compleja para referirse específicamente al caso q = 4.

También se han considerado matrices de tipo Hadamard sobre cuerpos finitos . Para un primo impar $p$ , una matriz de tipo Hadamard sobre $\operatorname {GF} (p)$ es una matriz $n$ por $n$ con entradas en $\operatorname {GF} (p)$ satisfactorio $HH^{\textsf {T}}=nI$ módulo $p$ . Kodama y Kojima demostraron que, mientras que los órdenes impares están restringidos a residuos cuadráticos módulo $p$ , tales matrices existen para cada orden par $n$ con $n\not \equiv 0{\pmod {p}}$ . ^{[ 17 ]}

Aplicaciones prácticas

Olivia MFSK : un protocolo digital de radioaficionado diseñado para funcionar en condiciones difíciles (baja relación señal/ruido más propagación multitrayecto) en bandas de onda corta.
Replicación repetida balanceada (BRR): una técnica utilizada por los estadísticos para estimar la varianza de un estimador estadístico .
Espectrometría de apertura codificada : un instrumento para medir el espectro de la luz . El elemento de máscara utilizado en los espectrómetros de apertura codificada suele ser una variante de una matriz de Hadamard.
Redes de retardo de retroalimentación: dispositivos de reverberación digital que utilizan matrices de Hadamard para mezclar valores de muestra.
Diseño de experimentos de Plackett-Burman para investigar la dependencia de alguna magnitud medida con respecto a varias variables independientes .
Diseños de parámetros robustos para investigar el impacto del factor ruido en las respuestas.
Detección comprimida para el procesamiento de señales y sistemas lineales subdeterminados (problemas inversos)
Puerta de Hadamard cuántica para computación cuántica y la transformada de Hadamard para algoritmos cuánticos.
Inferencia filogenética mediante transformaciones de Hadamard ^{[ 18 ]}
Representaciones epistáticas de todos los órdenes de interacción ^{[ 19 ]}

Véase también

Diseño combinatorio
Hadamard transforma
matriz de quincunx
Matriz de Walsh
Matriz de ponderación
Puerta lógica cuántica
Procesamiento algebraico de señales : marco en el que la matriz de Hadamard surge como la tabla de caracteres del grupo abeliano elemental. $\mathbb {Z} _ {2}^{n}$

Notas

↑ "Matrices y diseños de Hadamard" (PDF) . UC Denver . Consultado el 11 de febrero de 2023 .
↑ JJ Sylvester. Reflexiones sobre matrices ortogonales inversas, sucesiones de signos simultáneas y pavimentos teselados en dos o más colores, con aplicaciones a la regla de Newton, la ornamentación de azulejos y la teoría de números. Philosophical Magazine , 34:461–475, 1867
↑ Hedayat, A.; Wallis, WD (1978). "Matrices de Hadamard y sus aplicaciones" . Annals of Statistics . 6 (6): 1184– 1238. doi : 10.1214/aos/1176344370 . JSTOR 2958712. MR 0523759 . .
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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

Matrices de Hadamard sesgadas de todos los órdenes hasta 100, incluyendo todos los tipos con orden hasta 28;
"Matriz de Hadamard" .en OEIS
NJA Sloane . "Biblioteca de Matrices de Hadamard" .
Utilidad en línea para obtener todos los pedidos hasta el 1000, excepto el 668, 716, 876 y 892.
Paquete R para generar matrices de Hadamard usando R
JPL: En 1961, matemáticos del Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA y del Caltech colaboraron para construir una matriz de Hadamard que contenía 92 filas y columnas.

[1] "Matrices y diseños de Hadamard" (PDF) . UC Denver . Consultado el 11 de febrero de 2023 .

[2] JJ Sylvester. Reflexiones sobre matrices ortogonales inversas, sucesiones de signos simultáneas y pavimentos teselados en dos o más colores, con aplicaciones a la regla de Newton, la ornamentación de azulejos y la teoría de números. Philosophical Magazine , 34:461–475, 1867

[3] Hedayat, A.; Wallis, WD (1978). "Matrices de Hadamard y sus aplicaciones" . Annals of Statistics . 6 (6): 1184– 1238. doi : 10.1214/aos/1176344370 . JSTOR 2958712. MR 0523759 . .

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[5] Paley, REAC (1933). "Sobre matrices ortogonales". Journal of Mathematics and Physics . 12 ( 1– 4): 311– 320. doi : 10.1002/sapm1933121311 .

[6] Baumert, L.; Golomb, SW; Hall, M. Jr. (1962). "Descubrimiento de una matriz de Hadamard de orden 92" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 68 (3): 237– 238. doi : 10.1090/S0002-9904-1962-10761-7 . MR 0148686 .

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