Teorema de las tres líneas de Hadamard

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de las tres líneas de Hadamard es un resultado sobre el comportamiento de las funciones holomorfas definidas en regiones delimitadas por líneas paralelas en el plano complejo . El teorema recibe su nombre del matemático francés Jacques Hadamard .

El teorema de las tres líneas se puede utilizar para demostrar el teorema de los tres círculos de Hadamard para una función continua acotada.${\displaystyle g(z)}$en un anillo${\displaystyle \{z:r\leq |z|\leq R\},}$holomorfo en el interior. De hecho, aplicando el teorema a

${\displaystyle f(z)=g(e^{z}),}$

muestra que, si

${\displaystyle m(s)=\sup _ {|z|=e^{s}}|g(z)|,}$

entonces${\displaystyle \log \,m(s)}$es una función convexa de${\displaystyle s.}$

El teorema de las tres líneas también es válido para funciones con valores en un espacio de Banach y desempeña un papel importante en la teoría de interpolación compleja . Puede utilizarse para demostrar la desigualdad de Hölder para funciones medibles.

${\displaystyle \int |gh|\leq \left(\int |g|^{p}\right)^{1 \over p}\cdot \left(\int |h|^{q}\right)^{1 \over q},}$

dónde${\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1,}$al considerar la función

${\displaystyle f(z)=\int |g|^{pz}|h|^{q(1-z)}.}$

• Teorema de Riesz-Thorin
• Principio de Phragmén-Lindelöf

• Hadamard, Jacques (1896), "Sur les fonctions entières" (PDF) , Toro. Soc. Matemáticas. P. , 24 : 186-187​(el anuncio original del teorema)
• Reed, Michael ; Simon, Barry (1975), Métodos de física matemática moderna, Volumen 2: Análisis de Fourier, autoadjuntividad , Elsevier, pp. 33–34 , ISBN  0-12-585002-6
• Ullrich, David C. (2008), Lo complejo simplificado , Estudios de posgrado en matemáticas , vol.  97, Sociedad Matemática Americana , pp. 386–387 , ISBN  978-0-8218-4479-3