Espacio de interpolación

En el campo del análisis matemático , un espacio de interpolación es un espacio que se encuentra "entre" dos espacios de Banach . Las principales aplicaciones se dan en los espacios de Sobolev , donde los espacios de funciones con un número no entero de derivadas se interpolan a partir de los espacios de funciones con un número entero de derivadas.

La teoría de la interpolación de espacios vectoriales se originó a partir de una observación de Józef Marcinkiewicz , que posteriormente se generalizó y ahora se conoce como el teorema de Riesz-Thorin . En términos sencillos, si una función lineal es continua en un espacio L ^p y también en un espacio L ^q , entonces también es continua en el espacio L ^r , para cualquier r intermedio entre p y q . En otras palabras, L ^r es un espacio intermedio entre L ^p y L ^q .

En el desarrollo de los espacios de Sobolev, quedó claro que los espacios de traza no eran ninguno de los espacios de funciones habituales (con un número entero de derivadas), y Jacques-Louis Lions descubrió que, de hecho, estos espacios de traza estaban constituidos por funciones que tienen un grado de diferenciabilidad no entero.

Se diseñaron muchos métodos para generar dichos espacios de funciones, incluyendo la transformada de Fourier , la interpolación compleja, ^{[ 1 ]} la interpolación real, ^{[ 2 ]} así como otras herramientas (ver, por ejemplo, la derivada fraccionaria ).

Se dice que un espacio de Banach X está continuamente incrustado en un espacio vectorial topológico _de Hausdorff Z cuando X es un subespacio lineal de Z tal que la aplicación de inclusión de _X en Z es continua. Un par compatible ( X₀ , X₁ ) de espacios de Banach consiste en dos espacios de Banach ^{X₀ y X₁ que están continuamente incrustados en el mismo espacio vectorial topológico de Hausdorff Z. [3]} La incrustación en un _espacio lineal ^{Z permite} considerar los dos subespacios lineales _.

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}}$

y

${\displaystyle X_{0}+X_{1}=\left\{z\in Z:z=x_{0}+x_{1},\ x_{0}\in X_{0},\,x_{1}\in X_{1}\right\}.}$

La interpolación no depende únicamente de las clases de equivalencia isomorfas (ni isométricas) de X 0 _y X 1. _Depende de manera esencial de la posición relativa específica que X ₀ y X ₁ ocupan en un espacio mayor Z.

Se pueden definir normas en X ₀ ∩ X ₁ y X ₀ + X ₁ mediante

${\displaystyle \|x\|_{X_{0}\cap X_{1}}:=\max \left(\left\|x\right\|_{X_{0}},\left\|x\right\|_{X_{1}}\right),}$

${\displaystyle \|x\|_{X_{0}+X_{1}}:=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\$ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\in X_{0},\;x_{1}\in X_{1}\right\}.}

Equipados con estas normas, la intersección y la suma son espacios de Banach. Las siguientes inclusiones son todas continuas:

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subset X_{0},\ X_{1}\subset X_{0}+X_{1}.}$

La interpolación estudia la familia de espacios X que son espacios intermedios entre X ₀ y X ₁ en el sentido de que

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subset X\subset X_{0}+X_{1},}$

donde los dos mapas de inclusiones son continuos.

Un ejemplo de esta situación es el par ( L ¹ ( R ), L ^∞ ( R )) , donde los dos espacios de Banach están continuamente incrustados en el espacio Z de funciones medibles en la recta real, equipado con la topología de convergencia en medida. En esta situación, los espacios L ^p ( R ) , para 1 ≤ p ≤ ∞ son intermedios entre L ¹ ( R ) y L ^∞ ( R ) . Más generalmente,

${\displaystyle L^{p_{0}}(\mathbf {R} )\cap L^{p_{1}}(\mathbf {R} )\subset L^{p}(\mathbf {R} )\subset L^{p_{0}}(\mathbf {R} )+L^{p_{1}}(\mathbf {R} ),\ \ {\text{cuando}}\ \ 1\leq p_{0}\leq p\leq p_{1}\leq \infty ,}$

con inyecciones continuas, de modo que, bajo la condición dada, L ^p ( R ) sea intermedio entre L ^{p ₀} ( R ) y L ^{p ₁} ( R ) .

Definición. Dados dos pares compatibles ( X ₀ , X ₁ ) y ( Y ₀ , Y ₁ ) , un par de interpolación es un par ( X , Y ) de espacios de Banach con las dos propiedades siguientes:

• El espacio X es intermedio entre X ₀ y X ₁ , y Y es intermedio entre Y ₀ y Y ₁ .
• Si L es cualquier operador lineal de X ₀ + X ₁ a Y ₀ + Y ₁ , que mapea continuamente X ₀ a Y ₀ y X ₁ a Y ₁ , entonces también mapea continuamente X a Y .

Se dice que el par de interpolación ( X , Y ) tiene exponente θ (con 0 < θ < 1 ) si existe una constante C tal que

${\displaystyle \|L\|_{X,Y}\leq C\|L\|_{X_{0},Y_{0}}^{1-\theta }\;\|L\|_{X_{1},Y_{1}}^{\theta }}$

para todos los operadores L como se indicó anteriormente. La notación || L || _{X , Y} es para la norma de L como una aplicación de X a Y . Si C = 1 , decimos que ( X , Y ) es un par de interpolación exacto de exponente θ .

Si los escalares son números complejos , se utilizan propiedades de funciones analíticas complejas para definir un espacio _{de interpolación. Dado un par compatible (} X₀ , X₁ ) de espacios de Banach, el espacio _lineal${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$consiste en todas las funciones f : C → X ₀ + X ₁ , que son analíticas en S = { z : 0 < Re( z ) < 1}, continuas en S = { z : 0 ≤ Re( z ) ≤ 1}, y para las cuales todos los subconjuntos siguientes están acotados:   

{ f ( z ) : z ∈ S } ⊂ X ₀ + X ₁  ,

{ f ( it ) : t ∈ R } ⊂ X ₀  ,

{ f (1 + it ) : t ∈ R } ⊂ X ₁  .

${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$es un espacio de Banach bajo la norma

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}=\max \left\{\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(it)\|_{X_{0}},\;\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(1+it)\|_{X_{1}}\right\}.}$

Definición. ^{[ 4 ]} Para 0 < θ < 1 , el espacio de interpolación complejo ( X ₀ , X ₁ ) _θ es el subespacio lineal de X ₀ + X ₁ que consta de todos los valores f ( θ ) cuando f varía en el espacio precedente de funciones,

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta }=\left\{x\in X_{0}+X_{1}:x=f(\theta ),\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.}$

La norma en el espacio de interpolación complejo ( X ₀ , X ₁ ) _θ se define por

${\displaystyle \ \|x\|_{\theta }=\inf \left\{\|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}\$ :\ f(\theta )=x,\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.}

Equipado con esta norma, el espacio de interpolación complejo ( X ₀ , X ₁ ) _θ es un espacio de Banach.

Teorema. ^{[ 5 ]} Dados dos pares compatibles de espacios de Banach ( X ₀ , X ₁ ) y ( Y ₀ , Y ₁ ) , el par (( X ₀ , X ₁ ) _θ , ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ ) es un par de interpolación exacto de exponente θ , es decir, si T  : X ₀ + X ₁ → Y ₀ + Y ₁ , es un operador lineal acotado de X _j a Y _j , j = 0, 1 , entonces T está acotado de ( X ₀ , X ₁ ) _θ a ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ y$${\displaystyle \|T\|_{\theta }\leq \|T\|_{0}^{1-\theta }\|T\|_{1}^{\theta }.}$$

La familia de espacios L ^p (que consiste en funciones de valor complejo) se comporta bien bajo interpolación compleja. ^{[ 6 ]} Si ( R , Σ, μ ) es un espacio de medida arbitrario , si 1 ≤ p ₀ , p ₁ ≤ ∞ y 0 < θ < 1 , entonces

${\displaystyle \left(L^{p_{0}}(R,\Sigma ,\mu ),L^{p_{1}}(R,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta }=L^{p}(R,\Sigma ,\mu ),\qquad {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},}$

con igualdad de normas. Este hecho está estrechamente relacionado con el teorema de Riesz-Thorin .

Existen dos maneras de introducir el método de interpolación real . La primera, y la más utilizada para identificar ejemplos de espacios de interpolación, es el método K. El segundo método, el método J, proporciona los mismos espacios de interpolación que el método K cuando el parámetro θ está en (0, 1) . La coincidencia entre los métodos J y K es importante para el estudio de los espacios duales de interpolación: básicamente, el espacio dual de un espacio de interpolación construido con el método K parece ser un espacio construido a partir del par dual mediante el método J; véase más adelante .

Se dice que un espacio intermedio X del par compatible ( X ₀ , X ₁ ) es de clase θ si ^{[ 14 ]}

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset X\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty },}$

con inyecciones continuas. Además de todos los espacios de interpolación reales ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} con parámetro θ y 1 ≤ q ≤ ∞ , el espacio de interpolación complejo ( X ₀ , X ₁ ) _θ es un espacio intermedio de clase θ de la pareja compatible ( X ₀ , X ₁ ) .

El teorema de reiteración dice, en esencia, que interpolar con un parámetro θ se comporta, de alguna manera, como formar una combinación convexa a = (1 − θ ) x ₀ + θx ₁ : tomar una combinación convexa adicional de dos combinaciones convexas da otra combinación convexa.

Teorema. ^{[ 15 ]} Sean A ₀ , A ₁ espacios intermedios del par compatible ( X ₀ , X ₁ ) , de clase θ ₀ y θ ₁ respectivamente, con 0 < θ ₀ ≠ θ ₁ < 1 . Cuando 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞ , se tiene$${\displaystyle (A_{0},A_{1})_{\theta ,q}=(X_{0},X_{1})_{\eta ,q},\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$$

Cabe destacar que al interpolar con el método real entre A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0 , q 0} y A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1 , q 1} , solo importan los valores de θ ₀ y θ _1. Además, A ₀ y A ₁ pueden ser espacios de interpolación complejos entre X ₀ y X ₁ , con parámetros θ ₀ y θ ₁ respectivamente.

También existe un teorema de reiteración para el método complejo.

Teorema. ^{[ 16 ]} Sea ( X ₀ , X ₁ ) un par compatible de espacios de Banach complejos, y supongamos que X ₀ ∩ X ₁ es denso en X ₀ y en X ₁ . Sea A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0} y A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1} , donde 0 ≤ θ ₀ ≤ θ ₁ ≤ 1 . Supongamos además que X ₀ ∩ X ₁ es denso en A ₀ ∩ A ₁ . Entonces, para todo 0 ≤ θ ≤ 1 ,$${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{0}},\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{1}}\right)_{\theta }=(X_{0},X_{1})_{\eta },\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$$

La condición de densidad siempre se satisface cuando X ₀ ⊂ X ₁ o X ₁ ⊂ X ₀ .

Sea ( X₀ , X₁ ₎ un par compatible, y supongamos que _X₀ ∩ X₁ es denso en X₀ _y en _{X₁ . En este caso, el mapa de} restricción del dual ( continuo )${\displaystyle X'_{j}}$de X _j , j = 0, 1, al dual de X ₀ ∩ X ₁ es biyectivo. De ello se deduce que el par de duales${\displaystyle \left(X'_{0},X'_{1}\right)}$es una pareja compatible continuamente incrustada en el dual ( X ₀ ∩ X ₁ )′ .

Para el método de interpolación compleja, se cumple el siguiente resultado de dualidad:

Teorema. ^{[ 17 ]} Sea ( X ₀ , X ₁ ) un par compatible de espacios de Banach complejos, y supongamos que X ₀ ∩ X ₁ es denso en X ₀ y en X ₁ . Si X ₀ y X ₁ son reflexivos , entonces el dual del espacio de interpolación complejo se obtiene interpolando los duales,$${\displaystyle ((X_{0},X_{1})_{\theta })'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta },\qquad 0<\theta <1.}$$

En general, el dual del espacio ( X ₀ , X ₁ ) _θ es igual ^{[ 17 ]} a${\displaystyle \left(X'_{0},X'_{1}\right)^{\theta },}$un espacio definido por una variante del método complejo. ^{[ 18 ]} Los métodos θ superior e inferior no coinciden en general, pero sí lo hacen si al menos uno de X ₀ , X ₁ es un espacio reflexivo. ^{[ 19 ]}

Para el método de interpolación real, la dualidad se cumple siempre que el parámetro q sea finito: 

Teorema. ^{[ 20 ]} Sean 0 < θ < 1, 1 ≤ q < ∞ y ( X ₀ , X ₁ ) un par compatible de espacios de Banach reales. Supongamos que X ₀ ∩ X ₁ es denso en X ₀ y en X ₁ . Entonces$${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta ,q}\right)'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta ,q'},}$$dónde${\displaystyle {\tfrac {1}{q'}}=1-{\tfrac {1}{q}}.}$

Dado que la función t → K ( x , t ) varía regularmente (es creciente, pero ⁠ 1 / t ⁠ K ( x , t ) es decreciente), la definición de la norma K _{θ , q} de un vector n , dada previamente por una integral, es equivalente a una definición dada por una serie. ^{[ 21 ]} Esta serie se obtiene dividiendo (0, ∞) en partes (2 ⁿ , 2 ^{n +1} ) de igual masa para la medida ⁠ d t / t ⁠ ,

${\displaystyle \|x\|_{\theta ,q;K}\simeq \left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{-\theta n}K\left(x,2^{n};X_{0},X_{1}\right)\right)^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

En el caso especial en que X ₀ está continuamente incrustado en X ₁ , se puede omitir la parte de la serie con índices negativos n . En este caso, cada una de las funciones x → K ( x , 2 ⁿ ; X ₀ , X ₁ ) define una norma equivalente en X ₁ .

El espacio de interpolación ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} es un "subespacio diagonal" de una ℓ ^q -suma de una secuencia de espacios de Banach (cada uno isomorfo a X ₀ + X ₁ ). Por lo tanto, cuando q es finito, el dual de ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} es un cociente de la ℓ ^p -suma de los duales, ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ = 1 , lo que conduce a la siguiente fórmula para la norma discreta J _{θ , p} de un funcional x' en el dual de ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} :

${\displaystyle \|x'\|_{\theta ,p;J}\simeq \inf \left\{\left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{\theta n}\max \left(\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{0}},2^{-n}\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{1}}\right)\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\$ :\ x'=\sum _{n\in \mathbf {Z} }x'_{n}\right\}.}

La fórmula habitual para la norma discreta J _{θ , p} se obtiene cambiando n por − n .

La definición discreta facilita el estudio de varias cuestiones, entre las que se encuentra la ya mencionada identificación del dual. Otras cuestiones similares son la compacidad o la débil compacidad de los operadores lineales. Lions y Peetre han demostrado que:

Teorema. ^{[ 22 ]} Si el operador lineal T es compacto de X ₀ a un espacio de Banach Y y acotado de X ₁ a Y , entonces T es compacto de ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} a Y cuando 0 < θ < 1 , 1 ≤ q ≤ ∞ .

Davis, Figiel, Johnson y Pełczyński han utilizado la interpolación en su demostración del siguiente resultado:

Teorema. ^{[ 23 ]} Un operador lineal acotado entre dos espacios de Banach es débilmente compacto si y solo si se factoriza a través de un espacio reflexivo .

Se dispone de varios resultados de interpolación para espacios de Sobolev y espacios de Besov en R ⁿ , ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{p}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p\leq \infty \\&B_{p,q}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p,q\leq \infty \end{aligned}}}$

Estos espacios son espacios de funciones medibles en R ⁿ cuando s ≥ 0 , y de distribuciones temperadas en R ⁿ cuando s < 0. Para el resto de la sección, se utilizará la siguiente configuración y notación:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&<\theta <1,\\1&\leq p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1}\leq \infty ,\\s,&s_{0},s_{1}\in \mathbf {R} ,\\s_{\theta }&=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1},\\[4pt]{\frac {1}{p_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\\[4pt]{\frac {1}{q_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.\end{aligned}}}$

La interpolación compleja funciona bien en la clase de espacios de Sobolev.${\displaystyle H_{p}^{s}}$(los espacios potenciales de Bessel ) así como los espacios de Besov:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(H_{p_{0}}^{s_{0}},H_{p_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=H_{p_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},1<p_{0},p_{1}<\infty .\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\end{aligned}}}$

La interpolación real entre espacios de Sobolev puede dar espacios de Besov, excepto cuando s ₀ = s ₁ ,

${\displaystyle \left(H_{p_{0}}^{s},H_{p_{1}}^{s}\right)_{\theta ,p_{\theta }}=H_{p_{\theta }}^{s}.}$

Cuando s ₀ ≠ s ₁ pero p ₀ = p ₁ , la interpolación real entre espacios de Sobolev da como resultado un espacio de Besov:

${\displaystyle \left(H_{p}^{s_{0}},H_{p}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}=B_{p,q}^{s_{\theta }},\qquad s_{0}\neq s_{1}.}$

También,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(B_{p,q_{0}}^{s_{0}},B_{p,q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\\\left(B_{p,q_{0}}^{s},B_{p,q_{1}}^{s}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q_{\theta }}^{s}.\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q_{\theta }}&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},p_{\theta }=q_{\theta }.\end{aligned}}}$

• Lema fundamental de la teoría de la interpolación
• Teorema de Riesz-Thorin
• Teorema de interpolación de Marcinkiewicz

• Calderón, Alberto P. (1964), "Espacios intermedios e interpolación, el método complejo", Studia Math. , 24 (2): 113– 190, doi : 10.4064/sm-24-2-113-190.
• Leones, Jacques-Louis. ; Peetre, Jaak (1964), "Sur una clase de espacios de interpolación" , Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas. (en francés), 19 : 5– 68, doi : 10.1007/bf02684796 , S2CID 124471748 .
• Bennett, Colin; Sharpley, Robert (1988), Interpolación de operadores , Matemáticas Puras y Aplicadas, vol.  129, Academic Press, Inc., Boston, MA, pp.  xiv+469, ISBN 978-0-12-088730-9.
• Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen (1976), Espacios de interpolación. Una introducción , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  223, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs.  x+207, ISBN 978-3-540-07875-3.
• Leoni, Giovanni (2017). Un primer curso sobre espacios de Sobolev: Segunda edición . Estudios de posgrado en matemáticas . 181. Sociedad Matemática Americana. pp.  734. ISBN 978-1-4704-2921-8.
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1979), Espacios clásicos de Banach. II. Espacios funcionales , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines], vol.  97, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs.  x+243, ISBN 978-3-540-08888-2.
• Tartar, Luc (2007), Introducción a los espacios de Sobolev y la interpolación , Springer, ISBN 978-3-540-71482-8.