Desigualdad de Halanay

La desigualdad de Halanay es un teorema de comparación para ecuaciones diferenciales con retardo . ^{[ 1 ]} Esta desigualdad y sus generalizaciones se han aplicado para analizar la estabilidad de ecuaciones diferenciales con retardo, y en particular, la estabilidad de procesos industriales con tiempo muerto ^{[ 2 ]} y redes neuronales con retardo. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Dejar${\displaystyle t_{0}}$ser un número real y${\displaystyle \tau }$sea ​​un número no negativo. Si${\displaystyle v:[t_{0}-\tau ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$Satisface $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}v(t)\leq -\alpha v(t)+\beta \left[\sup _{s\in [t-\tau ,t]}v(s)\right],t\geq t_{0}}$$ dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son constantes con${\displaystyle \alpha >\beta >0}$, entonces $${\displaystyle v(t)\leq ke^{-\eta \left(t-t_{0}\right)},t\geq t_{0}}$$ dónde${\displaystyle k>0}$y${\displaystyle \eta >0}$.

• La desigualdad de Grönwall