Matriz de Hankel

En álgebra lineal , una matriz de Hankel (o matriz catalectante ), llamada así en honor a Hermann Hankel , es una matriz rectangular en la que cada diagonal oscilante ascendente de izquierda a derecha es constante. Por ejemplo,

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

En términos más generales, una matriz de Hankel es cualquier${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$de la forma

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

En términos de los componentes, si el${\displaystyle i,j}$elemento de${\displaystyle A}$se denota con${\displaystyle A_{ij}}$y suponiendo${\displaystyle i\leq j}$, entonces tenemos${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,jk}}$a pesar de${\displaystyle k=0,...,ji.}$

• Cualquier matriz de Hankel cuadrada es simétrica .
• Dejar${\displaystyle J_{n}}$ser el${\displaystyle n\times n}$matriz de intercambio . Si${\displaystyle H}$es un${\displaystyle m\times n}$Matriz de Hankel, entonces${\displaystyle H=TJ_{n}}$dónde${\displaystyle T}$es un${\displaystyle m\times n}$Matriz de Toeplitz .
• Si${\displaystyle T}$es simétrico real , entonces${\displaystyle H=TJ_{n}}$tendrán los mismos valores propios que${\displaystyle T}$hasta firmar. ^{[ 1 ]}
• La matriz de Hilbert es un ejemplo de matriz de Hankel.
• El determinante de una matriz de Hankel se llama catalectante .
• Si${\displaystyle H}$es un${\displaystyle n\times n}$Matriz de Hankel, entonces${\displaystyle H=V^{T}DV}$dónde${\displaystyle V}$es una matriz de Vandermonde confluente y${\displaystyle D}$es una matriz diagonal por bloques, con bloques antitriangulares simétricos y superiores ^{[ 2 ]} .

Dado un formal Laurent serie$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$El operador de Hankel correspondiente se define como ^{[ 3 ].}$${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$ Esto requiere un polinomio${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$y lo envía al producto${\displaystyle fg}$, pero descarta todos los poderes de${\displaystyle z}$con un exponente no negativo, de modo que se obtenga un elemento en${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$, la serie de potencias formal con exponentes estrictamente negativos. El mapa${\displaystyle H_{f}}$es de forma natural${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$-lineal, y su matriz con respecto a los elementos${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$y${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$es la matriz de Hankel $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{-1}&a_{-2}&\ldots \\a_{-2}&a_{-3}&\ldots \\a_{-3}&a_{-4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$ Cualquier matriz de Hankel surge de esta manera. Un teorema debido a Kronecker dice que el rango de esta matriz es finito precisamente si${\displaystyle f}$es una función racional , es decir, una fracción de dos polinomios $${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

A menudo nos interesan las aproximaciones de los operadores de Hankel, posiblemente mediante operadores de bajo orden. Para aproximar la salida del operador, podemos usar la norma espectral (norma 2 del operador) para medir el error de nuestra aproximación. Esto sugiere que la descomposición en valores singulares es una técnica posible para aproximar la acción del operador.

Tenga en cuenta que la matriz${\displaystyle A}$No tiene por qué ser finito. Si es infinito, los métodos tradicionales para calcular vectores singulares individuales no funcionarán directamente. También requerimos que la aproximación sea una matriz de Hankel, lo cual se puede demostrar con la teoría AAK .

La transformada matricial de Hankel , o simplemente transformada de Hankel , de una secuencia${\displaystyle b_{k}}$es la secuencia de los determinantes de las matrices de Hankel formadas a partir de${\displaystyle b_{k}}$Dado un número entero${\displaystyle n>0}$, definir el correspondiente${\displaystyle (n\times n)}$matriz de Hankel dimensional${\displaystyle B_{n}}$como tener los elementos de la matriz${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$Luego la secuencia${\displaystyle h_{n}}$dado por $${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$ es la transformada de Hankel de la secuencia${\displaystyle b_{k}.}$La transformada de Hankel es invariante bajo la transformada binomial de una secuencia. Es decir, si se escribe $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$ como la transformación binomial de la secuencia${\displaystyle b_{n}}$, entonces uno tiene${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

Las matrices de Hankel se forman cuando, dada una secuencia de datos de salida, se desea una realización de un modelo de espacio de estados o un modelo oculto de Markov subyacente. ^{[ 4 ]} La descomposición en valores singulares de la matriz de Hankel proporciona un medio para calcular las matrices A , B y C que definen la realización del espacio de estados. ^{[ 5 ]} Se ha comprobado que la matriz de Hankel formada a partir de la señal es útil para la descomposición de señales no estacionarias y la representación tiempo-frecuencia.

• matriz de Cauchy
• Operador Jacobi
• Matriz de Toeplitz , una matriz de Hankel "invertida" (es decir, con las filas invertidas).
• Matriz de Vandermonde

• Brent RP (1999), "Estabilidad de algoritmos rápidos para sistemas lineales estructurados", Algoritmos rápidos y fiables para matrices con estructura (editores : T. Kailath, AH Sayed), cap. 4 ( SIAM ).
• Fuhrmann, Paul A. (2012). Un enfoque polinomial del álgebra lineal . Universitext (2.ª  ed.). Nueva York, NY: Springer. doi : 10.1007/978-1-4614-0338-8 . ISBN 978-1-4614-0337-1. Zbl 1239.15001 . 

• Victor Y. Pan (2001). Matrices y polinomios estructurados: algoritmos ultrarrápidos unificados . Birkhäuser . ISBN 0817642404.
• JR Partington (1988). Introducción a los operadores de Hankel . Textos para estudiantes de LMS. Vol.  13. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36791-3.