La desigualdad de Hardy

La desigualdad de Hardy es una desigualdad matemática que recibe su nombre de G. H. Hardy .

Su versión discreta establece que si $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ es una secuencia de números reales no negativos , entonces para cada número real p > 1 se tiene

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.

Si el lado derecho es finito, la igualdad se cumple si y solo si $a_{n}=0$ para todo n .

Una versión integral de la desigualdad de Hardy establece lo siguiente: si f es una función medible con valores no negativos, entonces

\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.

Si el lado derecho es finito, la igualdad se cumple si y solo si f ( x ) = 0 casi en todas partes .

La desigualdad de Hardy se publicó y demostró por primera vez (al menos la versión discreta con una constante peor) en 1920 en una nota de Hardy. ^{[ 1 ]} La formulación original estaba en una forma integral ligeramente diferente a la anterior.

Declaraciones

Desigualdad de Hardy discreta general

La versión general ponderada unidimensional se lee de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}^{: §332} si $a_{n}\geq 0$ , $\lambda _ {n}>0$ y $p>1$ ,

\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _ {n}{\Bigl (}{\frac {\lambda _ {1}a_ {1}+\dotsb +\lambda _ {n}a_ {n}}{\lambda _ {1}+\dotsb +\lambda _ {n}}}{\Bigr )}^{p}\leq {\Bigl (}{\frac) {p}{p-1}}{\Bigr )}^{p}\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}a_{n}^{p}.

Desigualdad de Hardy integral unidimensional general

La versión general ponderada unidimensional se lee de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}^{: §330}

Si $\alpha +{\tfrac {1}{p}}<1$ , entonces

\int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{0}^{y}x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}1-\alpha -{\frac {1}{p}}{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx

Si $\alpha +{\tfrac {1}{p}}>1$ , entonces

\int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{y}^{\infty }x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}\alpha +{\frac {1}{p}}-1{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.

El caso más general es la desigualdad integral ponderada de Hardy.

Desigualdad de Hardy integral unidimensional ponderada

La declaración es la siguiente: si $1<p\leq q<\infty$ desigualdad

\left(\int _{a}^{b}{\left(\int _{a}^{x}{f(t)}dt\right)^{q}u(x)}dx\right)^{1/q}\leq C\left(\int _{a}^{b}{f^{p}(x)v(x)}dx\right)^{1/p}

se mantiene para $-\infty \leq a<b\leq \infty$ con $u,v$ medible, positivo en $(a,b)$ y también $f(x)\geq 0$ cualquier medible en $(a,b)$ , si y solo si

A=\sup _{x\in (a,b)}{\left(\int _{x}^{b}u(t)dt\right)^{1/q}\left(\int _{a}^{x}v^{1-p'}(t)dt\right)^{1/p'}}<\infty

Y si $1<q<p<\infty$ La desigualdad también se cumple si y solo si

A=\left(\int _{a}^{b}{{\left(\int _{x}^{b}u(t)dt\right)^{r/q}\left(\int _{a}^{x}v^{1-p'}(t)dt\right)^{r/q'}}v^{1-p'}(x)dx}\right)^{1/r}<\infty

dónde ${\frac {1}{r}}={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}},{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1$ y ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q'}}=1$

Desigualdades de Hardy multidimensionales con gradiente

Desigualdad de Hardy multidimensional alrededor de un punto

En el caso multidimensional, la desigualdad de Hardy puede extenderse a $L^{p}$ -espacios, tomando la forma ^{[ 3 ]}

\left\|{\frac {f}{|\cdot |}}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {p}{np}}\|\nabla f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})},2\leq n,1\leq p<n,

dónde $f\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ y donde la constante ${\frac {p}{np}}$ Se sabe que es nítido; por densidad se extiende entonces al espacio de Sobolev. $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$ .

De manera similar, si $p>n\geq 2$ , entonces uno tiene por cada $f\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$

{\Big (}1-{\frac {n}{p}}{\Big )}^{p}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\vert f(x)-f(0)\vert ^{p}}{|x|^{p}}}dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert \nabla f\vert ^{p}.

Desigualdad de Hardy multidimensional cerca del límite

Si $\Omega \subsetneq \mathbb {R} ^{n}$ es un conjunto abierto convexo no vacío , entonces para $1<p<\infty$ y cada $f\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ ,

{\Big (}1-{\frac {1}{p}}{\Big )}^{p}\int _{\Omega }{\frac {\vert f(x)\vert ^{p}}{\operatorname {dist} (x,\partial \Omega )^{p}}}\,dx\leq \int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p},

y la constante no se puede mejorar. ^{[ 4 ]}

Desigualdad de Hardy fraccionaria

Si $1\leq p<\infty$ y $0<\lambda <\infty$ , $\lambda \neq 1$ , existe una constante $C$ de tal manera que para cada $f:(0,\infty )\to \mathbb {R}$ satisfactorio $\int _{0}^{\infty }\vert f(x)\vert ^{p}/x^{\lambda }\,dx<\infty$ , uno tiene ^{[ 5 ]}^{: Lema 2}

\int _{0}^{\infty }{\frac {\vert f(x)\vert ^{p}}{x^{\lambda }}}\,dx\leq C\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {\vert f(x)-f(y)\vert ^{p}}{\vert x-y\vert ^{1+\lambda }}}\,dx\,dy.

Demostración de la desigualdad

Versión integral (integración por partes y Hölder)

La demostración original de Hardy ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{: §327 (ii)} comienza con una integración por partes para obtener

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}dx&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}{\frac {1}{x^{p}}}dx\\[0.2em]&={\frac {p}{p-1}}\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p-1}{\frac {f(x)}{x^{p-1}}}dx\\[0.2em]&={\frac {p}{p-1}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p-1}f(x)dx\end{aligned}}

Luego, por la desigualdad de Hölder ,

\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}dx\leq {\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}dx\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{\frac {1}{p}},

Y a continuación se presenta la conclusión.

Versión integral (escalamiento y Minkowski)

Un cambio de variables da como resultado

\left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\ dx\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,ds\right)^{p}\,dx\right)^{1/p},

que es menor o igual que $\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,dx\right)^{1/p}\,ds$ por la desigualdad integral de Minkowski . Finalmente, mediante otro cambio de variables, la última expresión es igual a

\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}s^{-1/p}\,ds={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}.

Versión discreta: de la versión continua

Suponiendo que el lado derecho sea finito, debemos tener $a_{n}\to 0$ como $n\to \infty$ Por lo tanto, para cualquier entero positivo $j$ , solo hay un número finito de términos mayores que $2^{-j}$ Esto nos permite construir una secuencia decreciente. $b_{1}\geq b_{2}\geq \dotsb$ que contiene los mismos términos positivos que la secuencia original (pero posiblemente sin términos cero). Dado que $a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\dotsb +b_{n}$ Para cada $n$ , basta con demostrar la desigualdad para la nueva secuencia. Esto se deduce directamente de la forma integral, definiendo $f(x)=b_{n}$ si $n-1<x<n$ y $f(x)=0$ de lo contrario. De hecho, uno tiene

\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}

y, para $n-1<x<n$ , allí se sostiene

{\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geq {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}

(la última desigualdad es equivalente a $(n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}$ , lo cual es cierto ya que la nueva secuencia es decreciente) y por lo tanto

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx

.

Versión discreta: Prueba directa

Dejar $p>1$ y dejar $b_{1},\dots ,b_{n}$ sean números reales positivos. Establecer $S_{k}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}$ Primero demostramos la desigualdad.

Dejar $T_{n}={\frac {S_{n}}{n}}$ y dejar $\Delta _{n}$ ser la diferencia entre la $n$ términos -ésimos en el lado derecho y el lado izquierdo de * , es decir, $\Delta _{n}:=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}b_{n}T_{n}^{p-1}$ . Tenemos:

\Delta _{n}=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}b_{n}T_{n}^{p-1}=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}(nT_{n}-(n-1)T_{n-1})T_{n}^{p-1}

o

\Delta _{n}=T_{n}^{p}\left(1-{\frac {np}{p-1}}\right)+{\frac {p(n-1)}{p-1}}T_{n-1}T_{n}^{p}.

Según la desigualdad de Young tenemos:

T_{n-1}T_{n}^{p-1}\leq {\frac {T_{n-1}^{p}}{p}}+(p-1){\frac {T_{n}^{p}}{p}},

De lo cual se deduce que:

\Delta _{n}\leq {\frac {n-1}{p-1}}T_{n-1}^{p}-{\frac {n}{p-1}}T_{n}^{p}.

Al extender el telescopio tenemos:

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\Delta _{n}&\leq 0-{\frac {1}{p-1}}T_{1}^{p}+{\frac {1}{p-1}}T_{1}^{p}-{\frac {2}{p-1}}T_{2}^{p}+{\frac {2}{p-1}}T_{2}^{p}-\\&\qquad -{\frac {3}{p-1}}T_{3}^{p}+\dotsb +{\frac {N-1}{p-1}}T_{N-1}^{p}-{\frac {N}{p-1}}T_{N}^{p}\\&\qquad =-{\frac {N}{p-1}}T_{N}^{p}<0\end{aligned}}

demostrando * . Aplicando la desigualdad de Hölder al lado derecho de * tenemos:

\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {b_{n}S_{n}^{p-1}}{n^{p-1}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\left(\sum _{n=1}^{N}b_{n}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\right)^{(p-1)/p}

de lo cual obtenemos inmediatamente:

\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{N}b_{n}^{p}.

Alquiler $N\rightarrow \infty$ Obtenemos la desigualdad de Hardy.

Véase también

La desigualdad de Carleman

Notas

^ Hardy , GH (1920). "Nota sobre un teorema de Hilbert" . Mathematische Zeitschrift . 6 ( 3– 4): 314– 317. doi : 10.1007/BF01199965 . S2CID 122571449 .
1 2 3 Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952). Desigualdades (Segunda edición). Cambridge, Reino Unido. {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
↑ Ruzhansky, Michael; Suragan, Durvudkhan (2019). Desigualdades de Hardy en grupos homogéneos: 100 años de desigualdades de Hardy . Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-02894-7.
↑ Marcus, Moshe; Mizel, Victor J.; Pinchover, Yehuda (1998). "Sobre la mejor constante para la desigualdad de Hardy en $\mathbb {R}^n$" . Transactions of the American Mathematical Society . 350 (8): 3237– 3255. doi : 10.1090/S0002-9947-98-02122-9 .
^ Mironescu, Petru (2018). "El papel de las desigualdades de tipo Hardy en la teoría de los espacios funcionales" (PDF) . Revue roumaine de mathématiques pures et appliquées . 63 (4): 447–525 .

Referencias

Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952). Desigualdades (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik (2003). Desigualdades ponderadas de tipo Hardy . World Scientific Publishing. ISBN 981-238-195-3.

Masmoudi, Nader (2011), "Acerca de la dura desigualdad", en Dierk Schleicher; Malte Lackmann (eds.), Una invitación a las matemáticas , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4.
Ruzhansky, Michael; Suragan, Durvudkhan (2019). Desigualdades de Hardy en grupos homogéneos: 100 años de desigualdades de Hardy . Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-02895-4.

Enlaces externos

"Desigualdad de Hardy" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[Hardy1920-1] Hardy , GH (1920). "Nota sobre un teorema de Hilbert" . Mathematische Zeitschrift . 6 ( 3– 4): 314– 317. doi : 10.1007/BF01199965 . S2CID 122571449 .

[Hardy_Littlewood_Polya-2] 1 2 3 Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952). Desigualdades (Segunda edición). Cambridge, Reino Unido. {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

[3] Ruzhansky, Michael; Suragan, Durvudkhan (2019). Desigualdades de Hardy en grupos homogéneos: 100 años de desigualdades de Hardy . Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-02894-7.

[4] Marcus, Moshe; Mizel, Victor J.; Pinchover, Yehuda (1998). "Sobre la mejor constante para la desigualdad de Hardy en $\mathbb {R}^n$" . Transactions of the American Mathematical Society . 350 (8): 3237– 3255. doi : 10.1090/S0002-9947-98-02122-9 .

[5] Mironescu, Petru (2018). "El papel de las desigualdades de tipo Hardy en la teoría de los espacios funcionales" (PDF) . Revue roumaine de mathématiques pures et appliquées . 63 (4): 447–525 .

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