Distribución resistente

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Hardy es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de la puntuación del hoyo para un jugador de golf determinado. Se basa en el supuesto básico de Hardy (Hardy, 1945) de que existen tres tipos de golpes:

bien ,${\estilo de visualización (G)}$
malo y${\estilo de visualización (B)}$
común , 
${\estilo de visualización (O)}$

donde la probabilidad de un buen golpe es igual a , la probabilidad de un mal golpe es igual a y la probabilidad de un golpe normal es igual a . Hardy asignó además ${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización 1-pq}$

un valor de 2 para un buen golpe,
un valor de 0 a un mal golpe y
un valor de 1 a un trazo regular u ordinario.

Una vez que la suma de los valores es mayor o igual al valor del par del hoyo, el número de golpes en cuestión es igual al resultado obtenido en ese hoyo. Un birdie en un par tres podría haberse producido de tres formas: , y , respectivamente, con probabilidades , y . ${\displaystyle OG}$${\displaystyle IR}$${\estilo de visualización GG}$${\displaystyle (1-pq)\,p}$${\estilo de visualización p\,(1-pq)}$$estilo de visualización p^{2}}$

Se dice que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución Hardy, con parámetros , y si tiene una función de masa de probabilidad dada por: ${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización m}$

${\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m+1}{2}}}^{m}{n-1 \choose nj}{q}^{nj}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}$Si m es impar

y

${\displaystyle P\left(X=n\right)\,=\,\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{n-1 \choose nj}{q}^{nj}\left(A_{j,m}+B_{j,m}\right)}$si m es par

con

${\displaystyle A_{j,m}\,=\,{j-1 \choose 2\,jm-1}{p}^{m-j+1}\left(1-pq\right)^{2\,jm-1}}$

y

${\displaystyle B_{j,m}\,=\,{j \elegir 2\,jm}{p}^{mj}\left(1-pq\right)^{2\,jm}}$

dónde

• m es el par del hoyo ( )${\displaystyle m=1,2,\lpuntos}$

• n es la puntuación del hoyo de golf ( ) si es par${\displaystyle n={\frac {m}{2}},{\frac {m}{2}}+1,{\frac {m}{2}}+2,\ldots }$${\estilo de visualización m}$

• n es la puntuación del hoyo de golf ( ) si es impar${\displaystyle n={\frac {m+1}{2}},{\frac {m+1}{2}}+1,{\frac {m+1}{2}}+2,\ldots }$${\estilo de visualización m}$

• p es la probabilidad de un buen tiro ( )${\estilo de visualización 0<p<1}$

• q es la probabilidad de un mal tiro ( ) y ( )${\estilo de visualización 0<q<1}$${\displaystyle 0<p+q<1}$

La función generadora de momentos viene dada por:

${\displaystyle M_{m}(t)=\sum _{j={\frac {m}{2}}+{\frac {1}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}})~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q)^{j}}}}$ Si m es impar

y

${\displaystyle M_{m}(t)=\sum _{j={\frac {m}{2}}}^{m}{\frac {\left(X_{\it {jm}}+Y_{\it {jm}})~e^{j~t}}{\left(1-e^{t}~q)^{j}}}}$si m es par

con

${\displaystyle X_{\it {jm}}\,=\,{j-1 \choose 2\,jm-1}{p}^{m+1-j}\left(1-pq\right)^{2\,jm-1}}$

y

${\displaystyle Y_{\it {jm}}\,=\,{j \choose 2\,jm}{p}^{-j+m}\left(1-pq\right)^{2\,jm}}$

Cada momento bruto y cada momento central se pueden determinar fácilmente con la función generadora de momentos , pero las fórmulas involucradas son demasiado grandes para presentarlas aquí.

Para un par tres:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{3}=n\right)&={n-1 \choose n-2}{q}^{n-2}\left({p}^{2}+2\,p\,\left(1-p-q\right)\right)+\\&+{n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{2}+\left(1-p-q\right)^{3}\right)\end{aligned}}}$$

Para un par cuatro:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{4}=n\right)&={n-1 \choose n-2}{q}^{n-2}{p}^{2}+\\&+{n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left(2\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)+3\,p\,\left(1-p-q\right)^{2}\right)+\\&+{n-1 \choose n-4}{q}^{n-4}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{3}+\left(1-p-q\right)^{4}\right)\end{aligned}}}$$

Observe el parecido con . Para un par cinco: ${\displaystyle P(T_{3}=n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(T_{5}=n\right)&={n-1 \choose n-3}{q}^{n-3}\left({p}^{3}+3\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)\right)+\\&+{n-1 \choose n-4}{q}^{n-4}\left(3\,{p}^{2}\left(1-p-q\right)^{2}+4\,p\,\left(1-p-q\right)^{3}\right)+\\&+{n-1 \choose n-5}{q}^{n-5}\left(p\,\left(1-p-q\right)^{4}+\left(1-p-q\right)^{5}\right)\end{aligned}}}$$

Nótese la semejanza con las fórmulas para y . ${\displaystyle P(T_{3}=n)}$${\displaystyle P(T_{4}=n)}$

Al intentar hacer una distribución de probabilidad en golf que describa la distribución de frecuencia del número de golpes en un hoyo, la configuración más simple es asumir que solo hay dos tipos de golpes:

Un buen golpe con una probabilidad de   
Un mal golpe con una probabilidad de .${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$
mientras
Un buen disparo entonces obtiene el valor 1 y
Un mal tiro obtiene el valor 0.

Una vez que la suma de los valores de los golpes es igual al par del hoyo, es decir, el número de golpes necesarios para completar el hoyo. Está claro que con esta configuración no es posible hacer un birdie. Después de todo, el menor número de golpes que se pueden conseguir es el par del hoyo. Hardy (1945) probablemente también se dio cuenta de eso y se le ocurrió la idea de no asumir que solo había dos tipos de golpes: buenos y malos , sino tres tipos: ${\displaystyle (G)}$${\displaystyle (B)}$

bueno con probabilidad     
malo con probabilidad     
ordinario con probabilidad .   
${\displaystyle (G)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (B)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (O)}$${\displaystyle 1-p-q}$

De hecho, Hardy llamó a un buen tiro un supertiro y a un mal tiro un subtiro . ^[1] Minton más tarde llamó al supertiro de Hardy un tiro excelente y al subtiro de Hardy un tiro malo . ^[2] En este artículo, el tiro excelente de Minton se llama un buen tiro . Hardy ideó la idea de tres tipos de tiros en 1945, pero la derivación real de la distribución de probabilidad de la puntuación del hoyo no fue dada hasta 2012 por van der Ven. ^[3]${\displaystyle (E)}$${\displaystyle (B)}$${\displaystyle (G)}$

Hardy supuso que la probabilidad de un buen golpe era igual a la probabilidad de un mal golpe, es decir , . Esto fue confirmado por Kang: ${\displaystyle p=q}$

El modelo de Hardy es muy simple, ya que todos los golpes son independientes entre sí y la probabilidad de producir un buen tiro es igual a la probabilidad de producir un mal tiro. ^[4]

En retrospectiva, Hardy bien podría haber estado en lo cierto, como lo muestran los datos de la Tabla 2 de van der Ven (2013). Esta tabla muestra los valores estimados de - y - para los hoyos 1 a 18 en las rondas 1 y 2 del Campeonato Abierto Británico de 2012. Los valores medios fueron iguales a 0,0633 y 0,0697, respectivamente. Más tarde, Cohen (2002) introdujo la idea de que y deberían ser diferentes. Kang dice al respecto: ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Cohen da otro paso adelante e incluye la posibilidad de que la probabilidad de buenos y malos tiros pueda ser diferente. ^[4]

Para la distribución Hardy, los valores de y pueden ser diferentes. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

La distribución de Hardy proporciona la distribución de probabilidad de la puntuación de un solo jugador en un hoyo. Se necesitan varias observaciones para realizar una prueba de bondad de ajuste (ver Prueba de bondad de ajuste ) para verificar si la distribución de Hardy se aplica o no. Esto se puede hacer con un solo individuo haciendo que el individuo juegue el mismo hoyo varias veces. Las pruebas de bondad de ajuste suponen réplicas puras (ver Replicación (estadísticas) ). Esto significa que no debería haber ningún cambio en la habilidad de golf del jugador durante el juego repetido del hoyo. Por ejemplo, no debería haber un proceso de aprendizaje continuo (ver Aprendizaje ). Tales efectos no pueden realmente descartarse. Una forma de solucionar este problema es utilizar múltiples jugadores que se pueda suponer que tienen aproximadamente la misma habilidad de golf. Dichos jugadores son los participantes en torneos de golf profesionales (ver PGA Tour ). Antes de utilizar una prueba de bondad de ajuste, primero se debe verificar que los participantes tengan aproximadamente la misma habilidad de golf. Esto se puede hacer por separado para cada hoyo utilizando, por ejemplo, el coeficiente de correlación de Pearson entre la puntuación del hoyo en el primer día y el segundo día de un torneo. Si no hay diferencias sistemáticas (ver Teoría de pruebas clásica ) entre los jugadores, la correlación (ver Correlación ) entre la puntuación obtenida el día 1 en un hoyo y la puntuación obtenida el día 2 en ese hoyo no diferirá significativamente (ver Significación estadística ) de cero. Esto se puede probar fácilmente estadísticamente. En un estudio de van der Ven, ^[5] se informaron los resultados de una prueba de bondad de ajuste de la distribución de Hardy utilizando las puntuaciones hoyo por hoyo del Open Championship 2012 jugado en el St Andrews Golf Club . La distribución se ha probado por separado para cada hoyo. La prueba de chi-cuadrado de Pearson se utilizó para determinar si las frecuencias de muestra observadas de las puntuaciones de los hoyos diferían significativamente de las frecuencias esperadas según la distribución de Hardy. El ajuste entre las frecuencias observadas y esperadas fue generalmente muy satisfactorio.

Notas