Teorema de regularidad de Harish-Chandra

En matemáticas, el teorema de regularidad de Harish-Chandra , introducido por Harish-Chandra ( 1963 ) , establece que toda distribución propia invariante en un grupo de Lie semisimple , y en particular todo carácter de una representación unitaria irreducible en un espacio de Hilbert , viene dado por una función localmente integrable . Harish-Chandra ( 1978 , 1999 ) demostró un teorema similar para grupos p -ádicos semisimples .  

Harish-Chandra ( 1955 , 1956 ) había demostrado previamente que cualquier distribución de autovalores invariante es analítica en los elementos regulares del grupo, al mostrar que en estos elementos es solución de una ecuación diferencial elíptica . El problema radica en que puede presentar singularidades en los elementos singulares del grupo; el teorema de regularidad implica que estas singularidades no son demasiado severas. 

Una distribución en un grupo G o su álgebra de Lie se llama invariante si es invariante bajo la conjugación por G.

Una distribución en un grupo G o su álgebra de Lie se llama distribución propia si es un vector propio del centro del álgebra envolvente universal de G (identificada con los operadores diferenciales invariantes izquierdo y derecho de G ).

El teorema de regularidad de Harish-Chandra establece que cualquier autodistribución invariante en un grupo semisimple o álgebra de Lie es una función localmente integrable. La condición de que sea una autodistribución puede relajarse ligeramente a la condición de que su imagen bajo el centro del álgebra envolvente universal sea de dimensión finita. El teorema de regularidad también implica que en cada subálgebra de Cartan la distribución puede escribirse como una suma finita de exponenciales dividida por una función Δ que se asemeja mucho al denominador de la fórmula de caracteres de Weyl .

La demostración original del teorema de regularidad de Harish-Chandra se presenta en una serie de cinco artículos (Harish-Chandra 1964a , 1964b , 1964c , 1965a , 1965b ) . Atiyah (1988) expuso la demostración del teorema de regularidad de Harish-Chandra para el caso de SL ₂ ( R ) y esbozó su generalización a grupos de rango superior. 

La mayoría de las demostraciones se pueden dividir en varios pasos como se indica a continuación.

• Paso 1. Si Θ es una distribución propia invariante, entonces es analítica en los elementos regulares de G. Esto se deduce de la regularidad elíptica , al demostrar que el centro del álgebra envolvente universal tiene un elemento que es "elíptico transversal a una órbita de G" para cualquier órbita regular.
• Paso 2. Si Θ es una distribución propia invariante, entonces su restricción a los elementos regulares de G es localmente integrable en G. (Esto tiene sentido ya que los elementos no regulares de G tienen medida cero). Esto se deduce al demostrar que ΔΘ en cada subálgebra de Cartan es una suma finita de exponenciales, donde Δ es esencialmente el denominador de la fórmula del denominador de Weyl, con 1/Δ localmente integrable.
• Paso 3. Mediante los pasos 1 y 2, la distribución propia invariante Θ es una suma S + F , donde F es una función localmente integrable y S tiene soporte en los elementos singulares de G. El problema consiste en demostrar que S se anula. Esto se logra estratificando el conjunto de elementos singulares de G como una unión de subvariedades localmente cerradas de G y utilizando inducción sobre la codimensión de los estratos. Si bien es posible que una autofunción de una ecuación diferencial sea de la forma S + F , con F localmente integrable y S con soporte singular en una subvariedad , esto solo es posible si el operador diferencial satisface ciertas condiciones restrictivas. Se puede entonces comprobar que el operador de Casimir de G no satisface estas condiciones en los estratos del conjunto singular, lo que obliga a que S se anule.

• Atiyah, Michael (1988), "Características de grupos de Lie semisimples", Obras completas. Vol. 4 , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, pp. 491–557 , ISBN  978-0-19-853278-1, MR 0951895 
• Harish-Chandra (1955), "Sobre los caracteres de un grupo de Lie semisimple", Bulletin of the American Mathematical Society , 61 (5): 389–396 , doi : 10.1090/S0002-9904-1955-09935-X , ISSN 0002-9904 , MR 0071715  
• Harish-Chandra (1956), "Los caracteres de los grupos de Lie semisimples", Transactions of the American Mathematical Society , 83 (1): 98–163 , doi : 10.2307/1992907 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1992907 , MR 0080875   
• Harish-Chandra (1963), "Distribuciones propias invariantes en grupos de Lie semisimples", Bulletin of the American Mathematical Society , 69 : 117–123 , doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10889-7 , ISSN 0002-9904 , MR 0145006  
• Harish-Chandra (1964a), "Distribuciones invariantes en álgebras de Lie", American Journal of Mathematics , 86 (2): 271–309 , doi : 10.2307/2373165 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373165 , MR 0161940   
• Harish-Chandra (1964b), "Operadores diferenciales invariantes y distribuciones en un álgebra de Lie semisimple", American Journal of Mathematics , 86 (3): 534– 564, doi : 10.2307/2373023 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373023 , MR 0180628   
• Harish-Chandra (1964c), "Algunos resultados sobre una integral invariante en un álgebra de Lie semisimple", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 80 (3): 551– 593, doi : 10.2307/1970664 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970664 , MR 0180629   
• Harish-Chandra (1965a), "Distribuciones propias invariantes en un álgebra de Lie semisimple" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 27 (27): 5– 54, doi : 10.1007/BF02684374 , ISSN 1618-1913 , MR 0180630  
• Harish-Chandra (1965b), "Distribuciones propias invariantes en un grupo de Lie semisimple", Transactions of the American Mathematical Society , 119 (3): 457– 508, doi : 10.2307/1994080 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994080 , MR 0180631   
• Harish-Chandra (1978), "Distribuciones invariantes admisibles en grupos p-ádicos reductivos", en Rossmann, Wulf (ed.), Teorías de Lie y sus aplicaciones (actas del seminario anual de 1977 del congreso matemático canadiense, Queen's University en Kingston, Ontario, 1977) , Queen's Papers in Pure Appl. Math., vol.  48, Kingston, Ont.: Queen's Univ., pp. 281–347 , MR 0579175 , Reimpreso en el volumen 4 de sus obras completas.  
• Harish-Chandra (1999), DeBacker, Stephen; Sally, Paul J. Jr. (eds.), Admissible invariant distributions on reductive p-adic groups , University Lecture Series, vol.  16, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2025-4, MR 1702257