Función armónica

Las funciones armónicas son infinitamente diferenciables en conjuntos abiertos. De hecho, las funciones armónicas son analíticas reales .

Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio de máximo : si${\displaystyle K}$es un subconjunto compacto no vacío de${\displaystyle U}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle f}$restringido a​${\displaystyle K}$alcanza su máximo y mínimo en el límite de${\displaystyle K}$⁠ . Si ⁠${\displaystyle U}$⁠ está conectado , esto significa que ⁠${\displaystyle f}$No puede tener máximos o mínimos locales, salvo en el caso excepcional en que${\displaystyle f}$es constante . Se pueden demostrar propiedades similares para funciones subarmónicas.

Si​${\displaystyle B(x,r)}$⁠ es una pelota con centro ⁠${\displaystyle x}$y radio​${\displaystyle r}$que está completamente contenido en el conjunto abierto${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$⁠ , entonces el valor ⁠${\displaystyle u(x)}$de una función armónica${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$en el centro de la bola viene dado por el valor medio de ⁠${\displaystyle u}$en la superficie de la pelota; este valor promedio también es igual al valor promedio de${\displaystyle u}$en el interior de la pelota. En otras palabras, $${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV}$$ donde​${\displaystyle \omega _{n}}$⁠ es el volumen de la bola unitaria en ⁠${\displaystyle n}$dimensiones y​${\displaystyle \sigma }$es el​${\displaystyle (n-1)}$Medida de superficie dimensional .

Por el contrario, todas las funciones localmente integrables que satisfacen la propiedad del valor medio (de volumen) son infinitamente diferenciables y armónicas.

En términos de convoluciones , si $${\displaystyle \chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}}$$ denota la función característica de la bola con radio ⁠${\displaystyle r}$⁠ alrededor del origen, normalizado de modo que ⁠${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1}$, la función${\displaystyle u}$es armónico en${\displaystyle \Omega }$si y solo si $${\displaystyle u(x)=u*\chi _{r}(x)}$$ para todos${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle r}$de tal manera que${\displaystyle B(x,r)\subset \Omega }$⁠ .

Bosquejo de la demostración. La demostración de la propiedad del valor medio de las funciones armónicas y su recíproca se deduce inmediatamente observando que la ecuación no homogénea, para cualquier ⁠${\displaystyle 0<s<r}$⁠$${\displaystyle \Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}}$$ admite una solución explícita sencilla${\displaystyle w_{r,s}}$de clase​${\displaystyle C_{1,1}}$con soporte compacto en${\displaystyle B(0,r)}$⁠ . Por lo tanto, si ⁠${\displaystyle u}$es armónico en${\displaystyle \Omega }$⁠$${\displaystyle 0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}}$$se mantiene en el conjunto${\displaystyle \Omega _{r}}$de todos los puntos${\displaystyle x}$en​​${\displaystyle \Omega }$con​​${\displaystyle \operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r}$⁠

Desde​${\displaystyle u}$es continuo en${\displaystyle \Omega }$⁠ ,${\displaystyle u*\chi _{s}}$converge a${\displaystyle u}$como​​${\displaystyle s\to 0}$mostrando la propiedad del valor medio para${\displaystyle u}$en​​${\displaystyle \Omega }$⁠ . Por el contrario, si ⁠${\displaystyle u}$¿ Hay alguno?${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}}$función que satisface la propiedad del valor medio en${\displaystyle \Omega }$⁠ , es decir, $${\displaystyle u*\chi _{r}=u*\chi _{s}}$$ se mantiene en ⁠${\displaystyle \Omega _{r}}$para todos​${\displaystyle 0<s<r}$⁠ luego, iterando ⁠${\displaystyle m}$⁠ veces la convolución con ⁠${\displaystyle \xi _{r}}$uno tiene: $${\displaystyle u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},}$$ para que${\displaystyle u}$es​${\displaystyle C^{m-1}(\Omega _{mr})}$porque el${\displaystyle m}$Convolución iterada de -pliegues de${\displaystyle \xi _{r}}$es de clase${\displaystyle C^{m-1}}$con apoyo${\displaystyle B(0,mr)}$⁠ . Dado que ⁠${\displaystyle r}$y​​${\displaystyle m}$son arbitrarios ,${\displaystyle u}$es​${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$también. Además, $${\displaystyle \Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0}$$ para todos${\displaystyle 0<s<r}$para que​${\displaystyle \Delta u=0}$en​​${\displaystyle \Omega }$⁠ por el teorema fundamental del cálculo de variaciones, que demuestra la equivalencia entre la harmonicidad y la propiedad del valor medio.

Esta afirmación de la propiedad del valor medio se puede generalizar de la siguiente manera: Si ⁠${\displaystyle h}$⁠ es cualquier función esféricamente simétrica admitida en ⁠${\displaystyle B(x,r)}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle \int h=1}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle u(x)=h*u(x)}$⁠ . En otras palabras, podemos tomar el promedio ponderado de ⁠${\displaystyle u}$⁠ sobre un punto y recuperarse ⁠${\displaystyle u(x)}$⁠ . En particular, al tomar ⁠${\displaystyle h}$ser un​${\displaystyle C^{\infty }}$⁠ función, podemos recuperar el valor de ⁠${\displaystyle u}$⁠ en cualquier momento, incluso si solo sabemos cómo ⁠${\displaystyle u}$Actúa como una distribución . Véase el lema de Weyl .

Dejar $${\displaystyle V\subset {\overline {V}}\subset \Omega }$$ ser un conjunto conexo en un dominio acotado${\displaystyle \Omega }$⁠ . Entonces, para cada función armónica no negativa ⁠${\displaystyle u}$⁠ , la desigualdad de Harnack$${\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u}$$ se cumple para alguna constante${\displaystyle C}$Eso depende únicamente de${\displaystyle V}$y​​${\displaystyle \Omega }$⁠ .

El siguiente principio de eliminación de singularidades es válido para las funciones armónicas. Si${\displaystyle f}$es una función armónica definida en un subconjunto abierto punteado .${\displaystyle \Omega \smallsetminus \{x_{0}\}}$de​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ , que es menos singular en ⁠${\displaystyle x_{0}}$que la solución fundamental ( para${\displaystyle n>2}$⁠ ), es decir $${\displaystyle f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},}$$ entonces​${\displaystyle f}$⁠ se extiende a una función armónica en ⁠${\displaystyle \Omega }$( Compárese con el teorema de Riemann para funciones de una variable compleja).

Teorema : Si${\displaystyle f}$es una función armónica definida en todo${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ que está acotado superior o inferiormente, entonces ⁠${\displaystyle f}$es constante.

(Compárese con el teorema de Liouville para funciones de una variable compleja ).

Edward Nelson dio una demostración particularmente breve de este teorema para el caso de funciones acotadas, ^{[ 2 ]} utilizando la propiedad del valor medio mencionada anteriormente:

Dados dos puntos, elige dos bolas con los puntos dados como centros y de igual radio. Si el radio es suficientemente grande, las dos bolas coincidirán excepto por una proporción arbitrariamente pequeña de su volumen. Dado que${\displaystyle f}$⁠ está acotado, los promedios de este sobre las dos bolas son arbitrariamente cercanos, y por lo tanto ⁠${\displaystyle f}$asume el mismo valor en cualesquiera dos puntos.

La demostración puede adaptarse al caso en que la función armónica ⁠${\displaystyle f}$⁠ simplemente está limitado por arriba o por abajo. Al agregar una constante y posiblemente multiplicar por ⁠${\displaystyle -1}$⁠ , podemos suponer que ⁠${\displaystyle f}$es no negativo. Entonces, para cualesquiera dos puntos${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$y cualquier número positivo${\displaystyle R}$⁠ , dejamos ⁠${\displaystyle r=R+d(x,y)}$⁠ . Luego consideramos las bolas ⁠${\displaystyle B_{R}(x)}$y​​${\displaystyle B_{r}(y)}$donde , por la desigualdad triangular, la primera bola está contenida en la segunda.

Por la propiedad de promediación y la monotonicidad de la integral, tenemos $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.}$$ (Tenga en cuenta que desde${\displaystyle \operatorname {vol} B_{R}(x)}$es independiente de${\displaystyle x}$⁠ , lo denotamos simplemente como ⁠${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{R})}$⁠ .) En la última expresión, podemos multiplicar y dividir por ⁠${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{r})}$y utilice de nuevo la propiedad de promediar para obtener $${\displaystyle f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).}$$ Pero como${\displaystyle R\rightarrow \infty }$⁠ , la cantidad $${\displaystyle {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {\left(R+d(x,y)\right)^{n}}{R^{n}}}}$$ tiende a${\displaystyle 1}$⁠ . Por lo tanto, ⁠${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$⁠ . El mismo argumento con los roles de ⁠${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$⁠ al revés se muestra que ⁠${\displaystyle f(y)\leq f(x)}$⁠ , de modo que ⁠${\displaystyle f(x)=f(y)}$⁠ .

Otra prueba utiliza el hecho de que, dado un movimiento browniano ,${\displaystyle B_{t}}$en​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, de tal manera que${\displaystyle B_{0}=x_{0}}$⁠ , tenemos${\displaystyle E[f(B_{t})]=f(x_{0})}$para todos${\displaystyle t\geq 0}$En otras palabras, dice que una función armónica define una martingala para el movimiento browniano. Luego, un argumento de acoplamiento probabilístico completa la demostración. ^{[ 3 ]}

Una función (o, más generalmente, una distribución ) es débilmente armónica si satisface la ecuación de Laplace. $${\displaystyle \Delta f=0\,}$$ En un sentido débil (o, equivalentemente, en el sentido de las distribuciones). Una función débilmente armónica coincide casi en todas partes con una función fuertemente armónica y, en particular, es suave. Una distribución débilmente armónica es precisamente la distribución asociada a una función fuertemente armónica y, por lo tanto, también es suave. Este es el lema de Weyl .

Existen otras formulaciones débiles de la ecuación de Laplace que suelen ser útiles. Una de ellas es el principio de Dirichlet , que representa funciones armónicas en el espacio de Sobolev .${\displaystyle H^{1}(}$como minimizadores de laintegral de energía de Dirichlet$${\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx}$$ con respecto a las variaciones locales, es decir, todas las funciones${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$de tal manera que${\displaystyle J(u)\leq J(u+v)}$Se aplica a todos${\displaystyle v\in C_{\text{c}}^{\infty }(\Omega )}$⁠ , o equivalentemente, para todos ⁠${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$⁠ .

Las funciones armónicas se pueden definir en una variedad riemanniana arbitraria , utilizando el operador de Laplace-Beltrami .${\displaystyle \Delta }$⁠ . En este contexto, una función se denomina armónica si $${\displaystyle \Delta f=0.}$$ Muchas de las propiedades de las funciones armónicas en dominios del espacio euclidiano se extienden a este contexto más general, incluyendo el teorema del valor medio (sobre bolas geodésicas ), el principio del máximo y la desigualdad de Harnack. Con la excepción del teorema del valor medio, estas propiedades son consecuencias directas de los resultados correspondientes para ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales generales de segundo orden.

A​${\displaystyle C^{2}}$función que satisface${\displaystyle \Delta f\geq 0}$Se denomina subarmónica. Esta condición garantiza que se cumpla el principio del máximo, aunque otras propiedades de las funciones armónicas puedan fallar. En términos más generales, una función es subarmónica si y solo si, en el interior de cualquier esfera de su dominio, su gráfica se encuentra por debajo de la de la función armónica que interpola sus valores límite en dicha esfera.

Una generalización del estudio de las funciones armónicas es el estudio de las formas armónicas en variedades riemannianas , y está relacionado con el estudio de la cohomología . También es posible definir funciones armónicas con valores vectoriales, o aplicaciones armónicas de dos variedades riemannianas, que son puntos críticos de un funcional de energía de Dirichlet generalizado (esto incluye las funciones armónicas como un caso especial, un resultado conocido como principio de Dirichlet ). Este tipo de aplicación armónica aparece en la teoría de superficies mínimas. Por ejemplo, una curva, es decir, una aplicación de un intervalo en${\displaystyle \mathbb {R} }$Una aplicación a una variedad riemanniana es una aplicación armónica si y solo si es una geodésica .

Si​${\displaystyle M}$y​​${\displaystyle N}$son dos variedades riemannianas, entonces un mapa armónico${\displaystyle u:M\to N}$se define como un punto crítico de la energía de Dirichlet $${\displaystyle D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\left\|du\right\|^{2}\,d\operatorname {Vol} }$$ en el cual${\displaystyle du:TM\to TN}$es el diferencial de${\displaystyle u}$⁠ , y la norma es la inducida por la métrica en ⁠${\displaystyle M}$y eso en${\displaystyle N}$en el haz de productos tensoriales${\displaystyle T^{\ast }M\otimes u^{-1}TN}$⁠ .

Entre los casos especiales importantes de aplicaciones armónicas entre variedades se encuentran las superficies mínimas , que son precisamente inmersiones armónicas de una superficie en el espacio euclidiano tridimensional. De forma más general, las subvariedades mínimas son inmersiones armónicas de una variedad en otra. Las coordenadas armónicas son un difeomorfismo armónico de una variedad a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano de la misma dimensión.