Series armónicas (matemáticas)

Una forma de demostrar la divergencia es comparar la serie armónica con otra serie divergente, donde cada denominador se reemplaza por la siguiente mayor potencia de dos : $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {rojo}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {rojo}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}}$$ Agrupar términos iguales muestra que la segunda serie diverge (porque toda agrupación de series convergentes es solo convergente): $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}}$$ Dado que cada término de la serie armónica es mayor o igual que el término correspondiente de la segunda serie (y todos los términos son positivos), y puesto que la segunda serie diverge, se deduce (por el criterio de comparación ) que la serie armónica también diverge. El mismo argumento demuestra con mayor contundencia que, para todo entero positivo${\displaystyle k}$,$${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$$ Esta es la prueba original dada por Nicole Oresme alrededor de 1350. ^{[ 13 ]} La prueba de condensación de Cauchy es una generalización de este argumento. ^{[ 14 ]}

Es posible demostrar que la serie armónica diverge comparando su suma con una integral impropia . Específicamente, consideremos la disposición de rectángulos que se muestra en la figura de la derecha. Cada rectángulo tiene 1 unidad de ancho y${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$unidades de altura, por lo que si la serie armónica convergiera, el área total de los rectángulos sería la suma de la serie armónica. La curva${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$permanece completamente por debajo del límite superior de los rectángulos, por lo que el área bajo la curva (en el rango de${\displaystyle x}$desde uno hasta el infinito que está cubierto por rectángulos) sería menor que el área de la unión de los rectángulos. Sin embargo, el área bajo la curva está dada por una integral impropia divergente, $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$$ Como esta integral no converge, la suma tampoco puede converger. ^{[ 13 ]}

En la figura de la derecha, desplazar cada rectángulo una unidad hacia la izquierda produciría una secuencia de rectángulos cuyo límite se encuentra por debajo de la curva, en lugar de por encima. Esto demuestra que las sumas parciales de la serie armónica difieren de la integral en una cantidad limitada superior e inferiormente por el área unitaria del primer rectángulo. $${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}<\int _{1}^{N}{\frac {1}{x}}\,dx+1.}$$ Generalizando este argumento, cualquier suma infinita de valores de una función positiva monótona decreciente de${\displaystyle n}$(al igual que la serie armónica) tiene sumas parciales que se encuentran dentro de una distancia acotada de los valores de las integrales correspondientes. Por lo tanto, la suma converge si y solo si la integral sobre el mismo rango de la misma función converge. Cuando esta equivalencia se utiliza para comprobar la convergencia de una suma reemplazándola por una integral más sencilla, se conoce como el criterio integral de convergencia . ^{[ 15 ]}

Estos números crecen muy lentamente, con crecimiento logarítmico , como se puede observar en la prueba integral. ^{[ 15 ]} Más precisamente, mediante la fórmula de Euler-Maclaurin , $${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}$$ dónde${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$es la constante de Euler-Mascheroni y${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/(8n^{2})}$que se aproxima a 0 como${\displaystyle n}$va hasta el infinito. ^{[ 16 ]}

Ningún número armónico es entero excepto${\displaystyle H_{1}=1}$. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Una forma de demostrar que${\displaystyle H_{n}}$no es un número entero es considerar la mayor potencia de dos${\displaystyle 2^{k}}$en el rango de 1 a${\displaystyle n}$. Si${\displaystyle M}$es el mínimo común múltiplo de los números del 1 al${\displaystyle n}$, entonces ${\displaystyle H_{k}}$se puede reescribir como una suma de fracciones con denominadores iguales$${\displaystyle H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}}$$ en el que solo uno de los numeradores,${\displaystyle M/2^{k}}$, es impar y el resto son pares, y (cuando${\displaystyle n>1}$)${\displaystyle M}$es par en sí mismo. Por lo tanto, el resultado es una fracción con numerador impar y denominador par, que no puede ser un entero. ^{[ 17 ]} De manera más general, cualquier secuencia de enteros consecutivos tiene un único miembro divisible por una potencia de dos mayor que todos los demás miembros de la secuencia, de lo cual se deduce por el mismo argumento que no hay dos números armónicos que difieran en un entero. ^{[ 18 ]}

Otra prueba de que los números armónicos no son enteros observa que el denominador de${\displaystyle H_{n}}$debe ser divisible por todos los números primos mayores que${\displaystyle n/2}$y menor o igual a${\displaystyle n}$y utiliza el postulado de Bertrand para demostrar que este conjunto de primos no es vacío. El mismo argumento implica con mayor fuerza que, excepto por${\displaystyle H_{1}=1}$,${\displaystyle H_{2}=1.5}$, y${\displaystyle H_{6}=2.45}$, ningún número armónico puede tener una representación decimal finita . ^{[ 17 ]} Se ha conjeturado que todo número primo divide los numeradores de solo un subconjunto finito de los números armónicos, pero esto sigue sin probarse. ^{[ 19 ]}

La función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma.$${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$$ Así como la función gamma proporciona una interpolación continua de los factoriales , la función digamma proporciona una interpolación continua de los números armónicos, en el sentido de que${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$. ^{[ 20 ]} Esta ecuación puede utilizarse para extender la definición a números armónicos con índices racionales. ^{[ 21 ]}

Aunque la serie armónica es divergente, su suma de Ramanujan tiene la constante de Euler-Mascheroni ⁠${\displaystyle \gamma }$como su valor finito: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}{\frac {1}{n}}=\gamma .}$$

El problema del jeep o problema de la travesía del desierto está incluido en una colección de problemas del siglo IX de Alcuino , Propositiones ad Acuendos Juvenes (formulado en términos de camellos en lugar de jeeps), pero con una solución incorrecta. ^{[ 23 ]} El problema pregunta hasta qué distancia en el desierto puede viajar un jeep y regresar, partiendo de una base con${\displaystyle n}$grandes cantidades de combustible, transportando parte del combustible al desierto y dejándolo en depósitos. La solución óptima implica colocar depósitos espaciados a distancias${\displaystyle {\tfrac {r}{2n}},{\tfrac {r}{2(n-1)}},{\tfrac {r}{2(n-2)}},\dots }$desde el punto de partida y entre sí, donde${\displaystyle r}$es el rango de distancia que el jeep puede recorrer con una sola carga de combustible. En cada viaje de ida y vuelta desde la base, el jeep coloca un depósito más, repostando en los otros depósitos a lo largo del camino y colocando tanto combustible como puede en el depósito recién colocado, dejando aún suficiente para regresar a los depósitos anteriores y a la base. Por lo tanto, la distancia total alcanzada en el${\displaystyle n}$El viaje es$${\displaystyle {\frac {r}{2n}}+{\frac {r}{2(n-1)}}+{\frac {r}{2(n-2)}}+\cdots ={\frac {r}{2}}H_{n},}$$ dónde${\displaystyle H_{n}}$es el${\displaystyle n}$número armónico n.º. La divergencia de la serie armónica implica que son posibles cruces de cualquier longitud con suficiente combustible. ^{[ 24 ]}

Por ejemplo, en la versión del problema de Alcuino,${\displaystyle r=30}$: un camello puede transportar 30 medidas de grano y puede recorrer una leuca mientras come una sola medida, donde una leuca es una unidad de distancia aproximadamente igual a 2,3 kilómetros (1,4 millas) . El problema tiene ${\displaystyle n=3}$Hay 90 medidas de grano, suficientes para abastecer tres viajes. Para la formulación estándar del problema de cruzar el desierto, sería posible que el camello viajara${\displaystyle {\tfrac {30}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}})=27.5}$leucas y regreso, colocando un depósito de almacenamiento de grano a 5 leucas de la base en el primer viaje y a 12,5 leucas de la base en el segundo viaje. Sin embargo, Alcuino pregunta en cambio cuánto grano se puede transportar a una distancia de 30 leucas sin un viaje de regreso final, ya sea dejando algunos camellos varados en el desierto o sin tener en cuenta la cantidad de grano consumido por los camellos en sus viajes de regreso. ^{[ 23 ]}

En el problema de apilamiento de bloques , uno debe colocar una pila de${\displaystyle n}$bloques rectangulares idénticos, uno por capa, de manera que cuelguen lo más lejos posible del borde de una mesa sin caerse. El bloque superior se puede colocar con${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$de su longitud extendiéndose más allá del siguiente bloque inferior. Si se coloca de esta manera, el siguiente bloque hacia abajo debe colocarse con como máximo${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$de su longitud extendiéndose más allá del siguiente bloque inferior, de modo que el centro de masa de los dos bloques superiores esté apoyado y no se vuelquen. El tercer bloque debe colocarse con como máximo${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}$de su longitud extendiéndose más allá del siguiente bloque inferior, de modo que el centro de masa de los tres bloques superiores esté apoyado y no se vuelquen, y así sucesivamente. De esta manera, es posible colocar el${\displaystyle n}$bloques de tal manera que se extienden${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}H_{n}}$longitudes más allá de la mesa, donde${\displaystyle H_{n}}$es el${\displaystyle n}$número armónico. [ ^{25 ] [ 26 ] La} divergencia de la serie armónica implica que no hay límite en cuanto a cuánto más allá de la tabla puede extenderse la pila de bloques. ^{[ 26 ]} Para pilas con un bloque por capa, no es posible una mejor solución, pero se puede lograr un voladizo significativamente mayor utilizando pilas con más de un bloque por capa. ^{[ 27 ]}

En 1737, Leonhard Euler observó que, como suma formal , la serie armónica es igual a un producto de Euler en el que cada término proviene de un número primo :$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}},}$$dónde${\displaystyle \mathbb {P} }$denota el conjunto de números primos. La igualdad de la izquierda proviene de aplicar la ley distributiva al producto y reconocer los términos resultantes como las factorizaciones primas de los términos en la serie armónica, y la igualdad de la derecha utiliza la fórmula estándar para una serie geométrica . El producto es divergente, al igual que la suma, pero si convergiera se podrían tomar logaritmos y obtener$${\displaystyle \ln \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln {\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}+K.}$$ Aquí, cada logaritmo se reemplaza por su serie de Taylor y la constante${\displaystyle K}$A la derecha se muestra la evaluación de la serie convergente de términos con exponente mayor que uno. De estas manipulaciones se deduce que la suma de los recíprocos de los primos, a la derecha de esta igualdad, debe divergir, pues si convergiera, estos pasos podrían invertirse para demostrar que la serie armónica también converge, lo cual no ocurre. Un corolario inmediato es que existen infinitos números primos , porque una suma finita no puede divergir. ^{[ 28 ]} Aunque el trabajo de Euler no se considera suficientemente riguroso según los estándares de las matemáticas modernas, puede hacerse riguroso prestando más atención a los límites y las cotas de error. ^{[ 29 ]} La conclusión de Euler de que las sumas parciales de los recíprocos de los primos crecen como el doble logaritmo del número de términos ha sido confirmada por matemáticos posteriores como uno de los teoremas de Mertens , ^{[ 30 ]} y puede considerarse un precursor del teorema de los números primos . ^{[ 29 ]}

Otro problema en la teoría de números estrechamente relacionado con la serie armónica se refiere al número promedio de divisores de los números en un rango de 1 a${\displaystyle n}$, formalizado como el orden promedio de la función divisora ​​, $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{i}}=H_{n}.}$$ La operación de redondear cada término de la serie armónica al siguiente múltiplo entero más pequeño de${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$hace que este promedio difiera de los números armónicos por una pequeña constante, y Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró con mayor precisión que el número promedio de divisores es${\displaystyle \ln n+2\gamma -1+O(1/{\sqrt {n}})}$(expresado en notación O grande ). Acotar el término de error final con mayor precisión sigue siendo un problema abierto, conocido como el problema del divisor de Dirichlet . ^{[ 31 ]}

Varios juegos o actividades recreativas comunes implican repetir una selección aleatoria de un conjunto de elementos hasta que se hayan seleccionado todas las opciones posibles; estos incluyen la colección de tarjetas coleccionables ^{[ 32 ] [ 33 ]} y completar el bingo de parkrun , en el que el objetivo es obtener los 60 números posibles de segundos en los tiempos de una secuencia de eventos de carrera. ^{[ 34 ]} Aplicaciones más serias de este problema incluyen el muestreo de todas las variaciones de un producto manufacturado para su control de calidad , ^{[ 35 ]} y la conectividad de grafos aleatorios . ^{[ 36 ]} En situaciones de esta forma, una vez que hay${\displaystyle k}$artículos que quedan por recoger de un total de${\displaystyle n}$elementos igualmente probables, la probabilidad de obtener un nuevo elemento en una sola elección aleatoria es${\displaystyle k/n}$y el número esperado de elecciones aleatorias necesarias hasta que se recoja un nuevo elemento es${\displaystyle n/k}$. Sumando sobre todos los valores de${\displaystyle k}$de${\displaystyle n}$Si se reduce a 1, se indica que el número total esperado de elecciones aleatorias necesarias para recolectar todos los elementos es${\displaystyle nH_{n}}$, dónde${\displaystyle H_{n}}$es el${\displaystyle n}$número armónico . ^{[ 37 ]}

El algoritmo Quicksort para ordenar un conjunto de elementos se puede analizar utilizando los números armónicos. El algoritmo opera eligiendo un elemento como "pivote", comparándolo con todos los demás y ordenando recursivamente los dos subconjuntos de elementos cuya comparación los coloca antes y después del pivote. Tanto en su complejidad promedio (con la suposición de que todas las permutaciones de entrada son igualmente probables) como en su análisis de tiempo esperado para las entradas del peor caso con una elección aleatoria del pivote, todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos como pivote. Para tales casos, se puede calcular la probabilidad de que dos elementos se comparen entre sí, a lo largo de la recursión, en función del número de otros elementos que los separan en el orden final ordenado. Si los elementos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$están separados por${\displaystyle k}$otros elementos, luego el algoritmo hará una comparación entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$solo cuando, a medida que avanza la recursión, elige${\displaystyle x}$o${\displaystyle y}$como punto de inflexión antes de elegir cualquiera de los otros${\displaystyle k}$elementos entre ellos. Porque cada uno de estos${\displaystyle k+2}$Los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos primero, esto sucede con probabilidad${\displaystyle {\tfrac {2}{k+2}}}$El número total esperado de comparaciones, que controla el tiempo total de ejecución del algoritmo, se puede calcular sumando estas probabilidades sobre todos los pares, lo que da como resultado ^{[ 38 ].}$${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}\sum _{k=0}^{i-2}{\frac {2}{k+2}}=\sum _{i=1}^{n-1}2H_{i}=O(n\log n).}$$ La divergencia de la serie armónica corresponde en esta aplicación al hecho de que, en el modelo de comparación de ordenación utilizado para quicksort, no es posible ordenar en tiempo lineal . ^{[ 39 ]}

La serie $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$ Se la conoce como la serie armónica alternada . Es condicionalmente convergente según el criterio de la serie alternada , pero no absolutamente convergente . Su suma es el logaritmo natural de 2. ^{[ 40 ]}

Más precisamente, la expansión asintótica de la serie comienza como $${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{4n}}+O(n^{-2}).}$$ Esto resulta de la igualdad${\textstyle H_{n}=2\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2k}}}$y la fórmula de Euler-Maclaurin .

El uso de signos alternos con fracciones unitarias impares produce una serie relacionada, la fórmula de Leibniz para π ^{[ 41 ].}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$

La función zeta de Riemann se define para valores reales.${\displaystyle x>1}$por la serie convergente $${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots ,}$$ que para${\displaystyle x=1}$sería la serie armónica. Se puede extender mediante continuación analítica a una función holomorfa en todos los números complejos excepto${\displaystyle x=1}$donde la función extendida tiene un polo simple . Otros valores importantes de la función zeta incluyen:${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$, la solución al problema de Basilea , la constante de Apéry${\displaystyle \zeta (3)}$, demostrado por Roger Apéry como un número irracional , y la "línea crítica" de los números complejos con parte real${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, conjeturado por la hipótesis de Riemann como los únicos valores distintos de los enteros negativos donde la función puede ser cero. ^{[ 42 ]}

La serie armónica aleatoria es $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$$ donde los valores${\displaystyle s_{n}}$son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que toman los dos valores${\displaystyle +1}$y${\displaystyle -1}$con igual probabilidad${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Converge con probabilidad  1 , como se puede ver utilizando el teorema de las tres series de Kolmogorov o la desigualdad maximal de Kolmogorov estrechamente relacionada . La suma de la serie, que puede reordenarse como una suma infinita de variables uniformes en${\displaystyle [-{\tfrac {1}{2n+1}},{\tfrac {1}{2n+1}}]}$con probabilidad 1, es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(xt)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(2t/(2n+1))}{2t/(2n+1)}}dt\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(xt)\prod _{n=1}^{\infty }\cos(t/n)dt.\end{aligned}}}$

Esta función está cerca de${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$para valores entre${\displaystyle -1}$y${\displaystyle 1}$, con el${\displaystyle g(0)\approx 0.2499943958}$a diez decimales. Disminuye asintóticamente como una distribución normal para valores mayores que${\displaystyle 3}$o menos de${\displaystyle -3}$. Intermedio entre estos rangos, en los valores${\displaystyle \pm 2}$, la densidad de probabilidad es${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}-\varepsilon }$para un valor distinto de cero pero muy pequeño${\displaystyle \varepsilon <10^{-42}}$. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Se puede demostrar que la serie armónica empobrecida, donde se eliminan todos los términos en los que aparece el dígito 9 en cualquier parte del denominador, converge al valor 22,92067 66192 64150 34816 ... . ^{[ 45 ]} De hecho, cuando se eliminan todos los términos que contienen cualquier cadena particular de dígitos (en cualquier base ), la serie converge. ^{[ 46 ]}