La desigualdad de Harnack

En matemáticas, la desigualdad de Harnack relaciona los valores de una función armónica positiva en dos puntos, introducida por A. Harnack ( 1887 ) . Esta desigualdad se utiliza para demostrar el teorema de Harnack sobre la convergencia de sucesiones de funciones armónicas. J. Serrin ( 1955 ) y J. Moser ( 1961 , 1964 ) generalizaron la desigualdad de Harnack a soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas o parabólicas . Estos resultados pueden utilizarse para demostrar la regularidad interna de soluciones débiles .   

La solución de Perelman a la conjetura de Poincaré utiliza una versión de la desigualdad de Harnack, hallada por R. Hamilton ( 1993 ) , para el flujo de Ricci . 

La desigualdad de Harnack se aplica a una función no negativa f definida en una bola cerrada en R ⁿ con radio R y centro x ₀ . Establece que, si f es continua en la bola cerrada y armónica en su interior, entonces para cada punto x con | x  − x ₀ | = r < R ,     

${\displaystyle {\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}$

En el plano R ² ( n = 2) la desigualdad se puede escribir:

${\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0}).}$

Para dominios generales${\displaystyle \Omega }$en${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$La desigualdad se puede enunciar de la siguiente manera: Si${\displaystyle \omega }$es un dominio acotado con${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }$, entonces hay una constante${\displaystyle C}$de tal manera que

${\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)}$

para toda función dos veces diferenciable, armónica y no negativa${\displaystyle u(x)}$. La constante${\displaystyle C}$es independiente de${\displaystyle u}$; depende únicamente de los dominios${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle \omega }$.

Según la fórmula de Poisson

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,}$

donde ω _{n − 1} es el área de la esfera unitaria en R ⁿ y r = | x − x ₀ |.

Desde

${\displaystyle R-r\leq |x-y|\leq R+r,}$

El núcleo en el integrando satisface

${\displaystyle {\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leq {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.}$

La desigualdad de Harnack se obtiene sustituyendo esta desigualdad en la integral anterior y utilizando el hecho de que el promedio de una función armónica sobre una esfera es igual a su valor en el centro de la esfera:

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy.}$

Para ecuaciones diferenciales parciales elípticas , la desigualdad de Harnack establece que el supremo de una solución positiva en alguna región abierta conexa está acotado por una constante multiplicada por el ínfimo, posiblemente con un término añadido que contiene una norma funcional de los datos:

${\displaystyle \sup u\leq C(\inf u+\|f\|)}$

La constante depende de la elipticidad de la ecuación y de la región abierta conectada.

Existe una versión de la desigualdad de Harnack para EDP parabólicas lineales como la ecuación del calor .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {M}}}$sea ​​un dominio liso (acotado) en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y consideremos el operador elíptico lineal

${\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u}$

con coeficientes suaves y acotados y una matriz definida positiva${\displaystyle (a_{ij})}$. Supongamos que${\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})}$es una solución de

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0}$en${\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}}$

de tal manera que

${\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0{\text{ in }}(0,T)\times {\mathcal {M}}.}$

Dejar${\displaystyle K}$estar contenido de forma compacta en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$y elegir${\displaystyle \tau \in (0,T)}$. Entonces existe una constante C  >  0 (que depende solo de K ,${\displaystyle \tau }$,${\displaystyle t-\tau }$y los coeficientes de${\displaystyle {\mathcal {L}}}$) de tal manera que, para cada${\displaystyle t\in (\tau ,T)}$,

${\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).}$

• Teorema de Harnack

• Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier (1995), Ecuaciones elípticas totalmente no lineales , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 31–41 , ISBN  0-8218-0437-5
• Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2.ª  ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (1988), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer, ISBN 3-540-41160-7
• Hamilton, Richard S. (1993), "La estimación de Harnack para el flujo de Ricci", Journal of Differential Geometry , 37 (1): 225–243 , doi : 10.4310/jdg/1214453430 , ISSN 0022-040X , MR 1198607  
• Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene , Leipzig: VG Teubner
• John, Fritz (1982), Ecuaciones diferenciales parciales , Ciencias matemáticas aplicadas, vol.  1 (4.ª  ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
• Kamynin, LI (2001) [1994], "Teorema de Harnack" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kassmann, Moritz (2007), "Desigualdades de Harnack: una introducción" Boundary Value Problems 2007 :081415, doi : 10.1155/2007/81415 , MR 2291922
• Moser, Jürgen (1961), "Sobre el teorema de Harnack para ecuaciones diferenciales elípticas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 577– 591, doi : 10.1002/cpa.3160140329 , MR 0159138 
• Moser, Jürgen (1964), "Una desigualdad de Harnack para ecuaciones diferenciales parabólicas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 17 (1): 101– 134, doi : 10.1002/cpa.3160170106 , MR 0159139 
• Serrin, James (1955), "Sobre la desigualdad de Harnack para ecuaciones elípticas lineales", Journal d'Analyse Mathématique , 4 (1): 292–308 , doi : 10.1007/BF02787725 , MR 0081415 
• LC Evans (1998), Ecuaciones diferenciales parciales . American Mathematical Society, EE. UU. Para EDP elípticas, véase el Teorema 5, pág.  334, y para EDP parabólicas, véase el Teorema 10, pág.  370.