ecuación diferencial parcial elíptica

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial elíptica es un tipo de ecuación diferencial parcial (EDP). En modelado matemático , las EDP elípticas se utilizan frecuentemente para modelar estados estacionarios , a diferencia de las EDP parabólicas e hiperbólicas , que generalmente modelan fenómenos que cambian con el tiempo. Los ejemplos canónicos de EDP elípticas son la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson . Las EDP elípticas también son importantes en matemáticas puras , donde son fundamentales para diversos campos de investigación como la geometría diferencial y el transporte óptimo .

Las ecuaciones diferenciales elípticas aparecen en muchos contextos y niveles de generalidad diferentes.

Consideremos primero una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden para una función desconocida de dos variables.${\displaystyle u=u(x,y)}$, escrito en la forma $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,}$$ donde A , B , C , D , E , F y G son funciones de${\displaystyle (x,y)}$, utilizando la notación de subíndices para las derivadas parciales. La EDP se denomina elíptica si $${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$$ por analogía con la ecuación de una elipse plana . Ecuaciones con${\displaystyle B^{2}-AC=0}$se denominan parabólicos mientras que aquellos con${\displaystyle B^{2}-AC>0}$son hiperbólicas .

Para una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden general, la incógnita puede ser una función de cualquier número de variables independientes.${\displaystyle u=u(x_{1},\dots ,x_{n})}$, que satisface una ecuación de la forma $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\dots ,x_{n})u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})u_{x_{i}}+c(x_{1},\dots ,x_{n})u=f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$$ dónde${\displaystyle a_{ij},b_{i},c,f}$son funciones definidas en el dominio sujetas a la simetría${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$Esta ecuación se llama elíptica si, al observar${\displaystyle a=(a_{ij})}$como función de${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$valorado en el espacio de${\displaystyle n\times n}$matrices simétricas , todos los valores propios son mayores que alguna constante positiva: es decir, existe un número positivo θ tal que $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\dots ,x_{n})\xi _{i}\xi _{j}\geq \theta (\xi _{1}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2})}$$ por cada punto${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$en el dominio y todos los números reales${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El ejemplo más simple de una EDP elíptica lineal de segundo orden es la ecuación de Laplace , en la que los coeficientes son funciones constantes.${\displaystyle a_{ij}=0}$para${\displaystyle i\neq j}$,${\displaystyle a_{ii}=1}$, y${\displaystyle b_{i}=c=f=0}$La ecuación de Poisson es una EDP elíptica lineal de segundo orden ligeramente más general, en la que no se requiere que f sea cero. Para ambas ecuaciones, la constante de elipticidad θ puede tomarse como 1 .

La terminología no se utiliza de forma consistente en toda la literatura: lo que algunos autores llaman "elíptico" otros lo llaman "estrictamente elíptico" o "uniformemente elíptico " . ^{[ 3 ]}

Consideremos una ecuación diferencial parcial elíptica de segundo orden.

${\displaystyle A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

para una función de dos variables${\displaystyle u=u(x,y)}$Esta ecuación es lineal en los términos de orden superior, pero permite expresiones no lineales que involucran los valores de la función y sus primeras derivadas; a esto a veces se le llama ecuación cuasilineal .

Una forma canónica pide una transformación${\displaystyle (w,z)=(w(x,y),z(x,y))}$del${\displaystyle (x,y)}$dominio de modo que, cuando u se considera como una función de w y z , la ecuación anterior toma la forma

${\displaystyle u_{ww}+u_{zz}+F(u_{w},u_{z},u,w,z)=0}$

para alguna nueva función F. La existencia de tal transformación puede establecerse localmente si A , B y C son funciones analíticas reales y, con un trabajo más elaborado, incluso si solo son continuamente diferenciables . La localidad implica que las transformaciones de coordenadas necesarias pueden no estar definidas en todo el dominio de u , sino solo en una pequeña región que rodea cualquier punto particular del dominio. ^{[ 10 ]}

El establecimiento formal de la existencia de tales transformaciones utiliza la existencia de soluciones a la ecuación de Beltrami . Desde la perspectiva de la geometría diferencial , la existencia de una forma canónica es equivalente a la existencia de coordenadas isotérmicas para la métrica riemanniana asociada.

${\displaystyle A(x,y)dx^{2}+2B(x,y)\,dx\,dy+C(x,y)dy^{2}}$

en el dominio. (La condición de elipticidad para la EDP, es decir, la positividad de AC – B ² , es lo que garantiza que este tensor o su negación sea efectivamente una métrica riemanniana).

Para ecuaciones diferenciales parciales elípticas cuasilineales de segundo orden con más de dos variables, no suele existir una forma canónica. Esto se debe a que las coordenadas isotérmicas no existen para métricas riemannianas generales en dimensiones superiores, sino solo para métricas muy particulares. ^{[ 11 ]}

• Problema de valores en la frontera elíptico
• Operador elíptico
• ecuación diferencial parcial hiperbólica
• ecuación diferencial parcial parabólica
• Principio del máximo (propiedad de las soluciones)
• espacio Sobolev

• "Ecuación diferencial parcial elíptica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Ecuación diferencial parcial elíptica, métodos numéricos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial parcial elíptica" . MathWorld .