Teorema de extensión de Hartogs

En la teoría de funciones de varias variables complejas , el teorema de extensión de Hartogs es un enunciado sobre las singularidades de las funciones holomorfas de varias variables. De manera informal, afirma que el soporte de las singularidades de dichas funciones no puede ser compacto ; por lo tanto, el conjunto singular de una función de varias variables complejas debe (en términos generales) "tender al infinito" en alguna dirección. Más precisamente, muestra que una singularidad aislada es siempre una singularidad removible para cualquier función analítica de n > 1 variables complejas. Una primera versión de este teorema fue demostrada por Friedrich Hartogs , ^{[ 1 ]} y como tal también se conoce como el lema de Hartogs y el principio de Hartogs ; en la literatura soviética anterior , ^{[ 2 ]} también se le llama teorema de Osgood-Brown , reconociendo el trabajo posterior de Arthur Barton Brown y William Fogg Osgood . ^{[ 3 ]} Esta propiedad de las funciones holomorfas de varias variables también se llama fenómeno de Hartogs ; sin embargo, la locución "fenómeno de Hartogs" también se usa para identificar la propiedad de las soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales o de convolución que satisfacen teoremas de tipo Hartogs. ^{[ 4 ]}

La demostración original fue dada por Friedrich Hartogs en 1906, utilizando la fórmula integral de Cauchy para funciones de varias variables complejas . ^{[ 1 ]} Hoy en día, las demostraciones habituales se basan en la fórmula de Bochner-Martinelli-Koppelman o en la solución de las ecuaciones de Cauchy-Riemann no homogéneas con soporte compacto. Este último enfoque se debe a Leon Ehrenpreis , quien lo inició en el artículo ( Ehrenpreis 1961 ) . Otra demostración muy simple de este resultado fue dada por Gaetano Fichera en el artículo ( Fichera 1957 ) , utilizando su solución del problema de Dirichlet para funciones holomorfas de varias variables y el concepto relacionado de función CR : ^{[ 5 ]} Posteriormente extendió el teorema a una cierta clase de operadores diferenciales parciales en el artículo ( Fichera 1983 ) , y sus ideas fueron exploradas más tarde por Giuliano Bratti. ^{[ 6 ]} Asimismo, la escuela japonesa de la teoría de operadores diferenciales parciales trabajó mucho en este tema, con contribuciones notables de Akira Kaneko. ^{[ 7 ]} Su enfoque es utilizar el principio fundamental de Ehrenpreis .

Por ejemplo, en dos variables, consideremos el dominio interior.

${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{o}}\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}}$

en el polidisco bidimensional${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$dónde${\displaystyle 0<\varepsilon <1.}$

Teorema de Hartogs (1906) : Cualquier función holomorfa${\displaystyle f}$en${\ Displaystyle H _ {\ varepsilon}}$puede continuarse analíticamente${\displaystyle \Delta ^{2}.}$Es decir, existe una función holomorfa${\displaystyle F}$en${\displaystyle \Delta ^{2}}$de tal manera que${\displaystyle F=f}$en ${\displaystyle H_{\varepsilon}.}$

Dicho fenómeno se denomina fenómeno de Hartogs , que da lugar a la noción del teorema de extensión de Hartogs y al dominio de la holomorfía .

Sea f una función holomorfa en un conjunto G  \ K  , donde G es un subconjunto abierto de C ⁿ ( n ≥ 2 ) y K es un subconjunto compacto de G . Si el complemento G  \ K  es conexo, entonces f puede extenderse a una única función holomorfa F en G . ^{[ 8 ]}

La demostración de Ehrenpreis se basa en la existencia de funciones de bulto suaves , la continuación única de funciones holomorfas y el lema de Poincaré , que establece que para cualquier forma diferencial (0,1) suave y con soporte compacto ω en C ⁿ con ∂ ω = 0 , existe una función suave y con soporte compacto η en C ⁿ con ∂ η = ω . La condición crucial n ≥ 2 es necesaria para la validez de este lema de Poincaré; si n = 1 , generalmente es imposible que η tenga soporte compacto. ^{[ 9 ]}

La expresión para F es φ f − v para funciones suaves φ y v en G ; dicha expresión tiene sentido siempre que φ sea idénticamente igual a cero donde f no está definida (es decir, en K ). Además, dada cualquier función holomorfa en G que sea igual a f en algún conjunto abierto , la continuación única (basada en la conexidad de G \  K )  muestra que es igual a f en todo G \ K.  

La holomorficidad de esta función es idéntica a la condición ∂ v = f ∂ φ . Para cualquier función suave φ , la forma diferencial (0,1) f ∂ φ es ∂ -cerrada. Si elegimos φ como una función suave idénticamente igual a cero en K e idénticamente igual a uno en el complemento de algún subconjunto compacto L de G , esta forma (0,1) tiene además soporte compacto, de modo que el lema de Poincaré identifica un v apropiado de soporte compacto. Esto define F como una función holomorfa en G ; solo resta demostrar (siguiendo los comentarios anteriores) que coincide con f en algún conjunto abierto.

En el conjunto C ⁿ  \ L  , v es holomorfo ya que φ es idénticamente constante. Como es cero cerca del infinito, la continuación única se aplica para mostrar que es idénticamente cero en algún subconjunto abierto de G  \ L  . ^{[ 10 ]} Por lo tanto, en este subconjunto abierto, F es igual a f y se demuestra la parte de existencia del teorema de Hartog. La unicidad es automática a partir de la continuación única, basada en la conexidad de G .

El teorema no se cumple cuando n = 1. Para comprobarlo, basta con considerar la función f ( z ) = z ⁻¹ , que es claramente holomorfa en C  \  {0}, pero no puede continuarse como una función holomorfa en todo C . Por lo tanto, el fenómeno de Hartogs es un fenómeno elemental que pone de manifiesto la diferencia entre la teoría de funciones de una y varias variables complejas.

• Chirka, EM (2001) [1994], "Teorema de Hartogs" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Fallo del teorema de Hartogs en una dimensión" . PlanetMath .
• El teorema de Hartogs en PlanetMath .
• Demostración del teorema de Hartogs en PlanetMath .