Función zeta de Hasse-Weil

En matemáticas , la función zeta de Hasse-Weil asociada a una variedad algebraica V definida sobre un cuerpo numérico algebraico K es una función meromorfa en el plano complejo definida en términos del número de puntos en la variedad después de reducir módulo cada número primo p . Es una función L global definida como un producto euleriano de funciones zeta locales .

Las funciones L de Hasse-Weil constituyen una de las dos clases principales de funciones L globales , junto con las funciones L asociadas a representaciones automórficas . Conjeturadamente, estos dos tipos de funciones L globales son en realidad dos descripciones del mismo tipo de función L global ; esto representaría una vasta generalización de la conjetura de Taniyama-Weil , un resultado importante en la teoría de números .

Para una curva elíptica sobre un cuerpo numérico K , la función zeta de Hasse-Weil está relacionada conjeturalmente con el grupo de puntos racionales de la curva elíptica sobre K mediante la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer .

La descripción de la función zeta de Hasse-Weil, salvo un número finito de factores de su producto de Euler, es relativamente sencilla. Esto sigue las sugerencias iniciales de Helmut Hasse y André Weil , motivadas por la función zeta de Riemann , que resulta del caso en que V es un único punto. ^{[ 1 ]}

Consideremos el caso de K , el campo de los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$y V una variedad proyectiva no singular , para casi todos los números primos p la reducción de V módulo p , una variedad algebraica V _p sobre el cuerpo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$con p elementos (definidos reduciendo módulo p ecuaciones para V ). Nuevamente, para casi todo p será proyectivo y no singular. Definimos una serie de Dirichlet de la variable compleja s ,

${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)=\prod _{p}Z_{V\!,\,p}(p^{-s}),}$

que es el producto infinito de las funciones zeta locales

${\displaystyle Z_{V\!,\,p}(p^{-s})=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(p^{-s})^{k}\right)}$

donde N _k es el número de puntos de V definidos sobre la extensión finita del campo.${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$de${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

Este${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)}$está bien definido solo hasta la multiplicación por funciones racionales en${\displaystyle p^{-s}}$para un número finito de primos p .

Dado que la indeterminación es relativamente inofensiva y tiene continuación meromorfa en todas partes, en cierto sentido las propiedades de Z(s) no dependen esencialmente de ella. En particular, si bien la forma exacta de la ecuación funcional para Z ( s ), reflejada en una línea vertical en el plano complejo, dependerá sin duda de los factores "faltantes", la existencia de dicha ecuación funcional no depende de ella.

Una definición más refinada fue posible con el desarrollo de la cohomología étale ; esto explica claramente qué hacer con los factores faltantes, los factores de "mala reducción". Según los principios generales visibles en la teoría de la ramificación , los primos "malos" contienen buena información (teoría del conductor ). Esto se manifiesta en la teoría étale en el criterio de Néron-Ogg-Shafarevich para la buena reducción ; es decir, que hay buena reducción, en un sentido definido, en todos los primos p para los cuales la representación de Galois ρ en los grupos de cohomología étale de V no está ramificada . Para esos, la definición de función zeta local puede recuperarse en términos del polinomio característico de

${\displaystyle \rho (\operatorname {Frob} (p)),}$

Frob( p ) es un elemento de Frobenius para p . Lo que sucede en el p ramificado es que ρ no es trivial en el grupo de inercia I ( p ) para p . En esos primos la definición debe ser "corregida", tomando el mayor cociente de la representación ρ sobre la cual actúa el grupo de inercia por la representación trivial . Con este refinamiento, la definición de Z ( s ) puede actualizarse con éxito de "casi todos" p a todos los p que participan en el producto de Euler. Las consecuencias para la ecuación funcional fueron desarrolladas por Serre y Deligne a finales de la década de 1960; la ecuación funcional en sí no ha sido demostrada en general.

La conjetura de Hasse-Weil afirma que la función zeta de Hasse-Weil debe extenderse a una función meromorfa para todos los números complejos s , y debe satisfacer una ecuación funcional similar a la de la función zeta de Riemann . Para curvas elípticas sobre los números racionales, la conjetura de Hasse-Weil se deduce ^{[ 2 ]} del teorema de modularidad : cada curva elíptica E sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$es modular.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que el rango del grupo abeliano E ( K ) de puntos de una curva elíptica E es el orden del cero de la función L de Hasse-Weil L ( E , s ) en s = 1, y que el primer coeficiente no nulo en el desarrollo de Taylor de L ( E , s ) en s = 1 viene dado por datos aritméticos más refinados asociados a E sobre K. ^{[ 3 ]} La conjetura es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio enumerados por el Instituto Clay de Matemáticas , que ha ofrecido un premio de 1.000.000 de dólares a la primera demostración correcta. ^{[ 4 ]}  

Una curva elíptica es un tipo específico de variedad. Sea E una curva elíptica sobre Q de conductor N. Entonces, E tiene buena reducción en todos los primos ^p que no dividen a N , tiene reducción multiplicativa en los primos p que dividen exactamente a N (es decir, tales que p divide a N , pero p² no; esto se escribe p || N ), y tiene reducción aditiva en otros lugares (es decir ^, en los primos donde p² divide a N ). La función zeta de Hasse-Weil de E toma entonces la forma

${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(E,s)}}.\,}$

Aquí, ζ( s ) es la función zeta de Riemann usual y L ( E , s ) se llama la función L de E / Q , que toma la forma ^{[ 5 ]}

${\displaystyle L(E,s)=\prod _{p}L_{p}(E,s)^{-1}\,}$

donde, para un primo p dado ,

${\displaystyle L_{p}(E,s)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}}$

donde en el caso de una buena reducción a _p es p  +  1 − (número de puntos de E mod p ), y en el caso de una reducción multiplicativa a _p es ±1 dependiendo de si E tiene una reducción multiplicativa escindida (signo más) o no escindida (signo menos) en p . Se dice que una reducción multiplicativa de la curva E por el primo p es escindida si -c ₆ es un cuadrado en el cuerpo finito con p elementos. ^{[ 6 ]}     

Existe una relación útil que no utiliza al conductor:

1. Si p no divide${\displaystyle \Delta }$(dónde${\displaystyle \Delta }$es el discriminante de la curva elíptica) entonces E tiene una buena reducción en p .
2. Si p divide${\displaystyle \Delta }$pero no${\displaystyle c_{4}}$entonces E tiene una mala reducción multiplicativa en p .
3. Si p divide ambos${\displaystyle \Delta }$y${\displaystyle c_{4}}$entonces E tiene una mala reducción aditiva en p .

• Función zeta aritmética

• J.-P. Serre , Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (définitions et conjectures) , 1969/1970, Sém. Delange–Pisot–Poitou, exposición 19