Densidad de Hausdorff

En la teoría de la medida , un campo de las matemáticas, la densidad de Hausdorff mide cuán concentrada está una medida de Radon en un punto determinado.

Dejar${\displaystyle \mu }$ser una medida de radón y${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$algún punto en el espacio euclidiano . Las densidades de Hausdorff superior e inferior de dimensión s se definen como, respectivamente,

${\displaystyle \Theta ^{*s}(\mu ,a)=\limsup _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}}$

y

${\displaystyle \Theta _{*}^{s}(\mu ,a)=\liminf _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}}$

dónde${\displaystyle B_{r}(a)}$es la bola de radio r > 0 centrada en a . Claramente,${\displaystyle \Theta _{*}^{s}(\mu ,a)\leq \Theta ^{*s}(\mu ,a)}$a pesar de${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$. En caso de que ambos sean iguales, llamamos a su valor común la s-densidad de${\displaystyle \mu }$en a y denotarlo${\displaystyle \Theta ^{s}(\mu ,a)}$.

El siguiente teorema establece que los momentos en que existe la densidad s son bastante raros.

Teorema de Marstrand: Sea${\displaystyle \mu }$ser una medida de radón en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Supongamos que la s -densidad${\displaystyle \Theta ^{s}(\mu ,a)}$existe y es positivo y finito para a en un conjunto positivo${\displaystyle \mu }$medida. Entonces s es un número entero.

En 1987, David Preiss demostró una versión más fuerte del teorema de Marstrand. Una consecuencia es que los conjuntos con densidad positiva y finita son conjuntos rectificables .

Teorema de Preiss: Sea${\displaystyle \mu }$ser una medida de radón en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Supongamos que m${\displaystyle \geq 1}$es un número entero y la densidad m${\displaystyle \Theta ^{m}(\mu ,a)}$existe y es positivo y finito para${\displaystyle \mu }$casi todos en apoyo de${\displaystyle \mu }$. Entonces${\displaystyle \mu }$es m -rectificable, es decir${\displaystyle \mu \ll H^{m}}$(${\displaystyle \mu }$es absolutamente continuo con respecto a la medida de Hausdorff${\displaystyle H^{m}}$) y el apoyo de${\displaystyle \mu }$es un conjunto rectificable m .

• Densidad de un conjunto en la Enciclopedia de Matemáticas
• Conjunto rectificable en la Enciclopedia de Matemáticas

• Pertti Mattila , Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos. Cambridge Press, 1995.
• Preiss, David (1987). "Geometría de medidas en${\displaystyle R^{n}}$: distribución, rectificabilidad y densidades". Ann. Math . 125 (3): 537– 643. doi : 10.2307/1971410 . hdl : 10338.dmlcz/133417 . JSTOR 1971410 .