Prueba de Durbin-Wu-Hausman

La prueba de Durbin-Wu-Hausman (también llamada prueba de especificación de Hausman ) es una prueba de hipótesis estadística en econometría que lleva el nombre de James Durbin , De-Min Wu y Jerry A. Hausman . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} La prueba evalúa la consistencia de un estimador en comparación con un estimador alternativo, menos eficiente , que ya se sabe que es consistente. ^{[ 5 ]} Ayuda a evaluar si un modelo estadístico se corresponde con los datos.

Consideremos el modelo lineal y  = Xb + e , donde y es la variable dependiente y X es _el vector de regresores , b es un vector de coeficientes y e es el término de error . Tenemos dos estimadores para b : b₀ y b₁ _. Bajo la hipótesis nula , ambos estimadores son consistentes , pero b₁ es eficiente (tiene la menor varianza asintótica), al menos en la _clase de estimadores que contiene b₀ _. Bajo la hipótesis alternativa , b₀ es consistente, mientras que _b₁ no _lo es.   

Entonces, la estadística de Wu-Hausman es: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle H=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),}$

donde ^† denota la pseudoinversa de Moore-Penrose . Bajo la hipótesis nula, este estadístico tiene asintóticamente la distribución chi-cuadrado con un número de grados de libertad igual al rango de la matriz Var( b ₀ ) − Var( b ₁ ) .

Si rechazamos la hipótesis nula, significa que b ₁ es inconsistente. Esta prueba se puede utilizar para comprobar la endogeneidad de una variable (comparando las estimaciones de variables instrumentales (VI) con las estimaciones de mínimos cuadrados ordinarios (MCO)). También se puede utilizar para comprobar la validez de instrumentos adicionales comparando las estimaciones de VI que utilizan un conjunto completo de instrumentos Z con las estimaciones de VI que utilizan un subconjunto adecuado de Z. Cabe señalar que, para que la prueba funcione en este último caso, debemos estar seguros de la validez del subconjunto de Z y dicho subconjunto debe tener suficientes instrumentos para identificar los parámetros de la ecuación.

Hausman también demostró que la covarianza entre un estimador eficiente y la diferencia entre un estimador eficiente y uno ineficiente es cero.

Suponiendo normalidad conjunta de los estimadores. ^{[ 3 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\sqrt {N}}{\begin{bmatrix}b_{1}-b\\b_{0}-b\end{bmatrix}}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}\right)}$

Consideremos la función  :${\displaystyle q=b_{0}-b_{1}\Rightarrow \operatorname {plim} q=0}$

Mediante el método delta

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {N}}(q-0){\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left(0,{\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&\operatorname {Var} (q)=\operatorname {Var} (b_{1})+\operatorname {Var} (b_{0})-2\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\end{aligned}}}$

Utilizando el resultado de Hausman de que la covarianza de un estimador eficiente con su diferencia de un estimador ineficiente es cero,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&=\operatorname {Cov} (b_{1},b_{1}+q)\\&=\operatorname {Cov} (b_{1},b_{1})+\operatorname {Cov} (b_{1},q)\\&=\operatorname {Var} (b_{1})+0\\\operatorname {Var} (q)&=\operatorname {Var} (b_{0})+\operatorname {Var} (b_{1})-2\operatorname {Var} (b_{1})\\&=\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1})\end{aligned}}}$

La prueba de chi-cuadrado se basa en el criterio de Wald.

${\displaystyle H=\chi ^{2}[K-1]=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),}$

donde ^† denota la pseudoinversa de Moore-Penrose y K denota la dimensión del vector b .

La prueba de Hausman se puede utilizar para diferenciar entre el modelo de efectos fijos y el modelo de efectos aleatorios en el análisis de datos de panel . En este caso, bajo la hipótesis nula, se prefiere el modelo de efectos aleatorios (ER) debido a su mayor eficiencia, mientras que bajo la hipótesis alternativa, el modelo de efectos fijos (EF) es al menos igual de consistente y, por lo tanto, se prefiere.

• Validación del modelo de regresión
• Especificación del modelo estadístico

• Baltagi, Badi H. (1999). Econometría (Segunda  ed.). Berlín: Springer. págs. 290–294 . ISBN  3-540-63617-X.
• Bierens, Herman J. (1994). Temas de econometría avanzada . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 89–109 . ISBN  0-521-41900-X.
• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimación e inferencia en econometría . Nueva York: Oxford University Press. págs. 237–242 , 389–395 . ISBN  0-19-506011-3.
• Florens, Jean-Pierre; Marimoutou, Velayoudom; Peguin-Feissolle, Anne (2007). Econometric Modeling and Inference . Cambridge University Press. pp. 78–82 . ISBN  978-0-521-70006-1.
• Ruud, Paul A. (2000). Introducción a la teoría econométrica clásica . Nueva York: Oxford University Press. pp. 578–585 . ISBN  0-19-511164-8.