Distribución de cola pesada

Se dice que la distribución de una variable aleatoria X con función de distribución F tiene una cola pesada (derecha) si la función generadora de momentos de X , M _X ( t ), es infinita para todo t  >  0. ^{[ 3 ]}

Eso significa

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)=\infty \quad {\mbox{para todo }}t>0.}$^{[ 4 ]}

Esto también se escribe en términos de la función de distribución de cola.

${\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \Pr[X>x]\,}$

como

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{tx}{\overline {F}}(x)=\infty \quad {\mbox{para todo }}t>0.\,}$

Se dice que la distribución de una variable aleatoria X con función de distribución F tiene una cola derecha larga ^{[ 1 ]} si para todo t  >  0,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X>x+t\mid X>x]=1,\,}$

o equivalentemente

${\displaystyle {\overline {F}}(x+t)\sim {\overline {F}}(x)\quad {\mbox{cuando }}x\to \infty .\,}$

Esto tiene la interpretación intuitiva para una cantidad distribuida con cola larga y cola derecha de que si la cantidad de cola larga supera algún nivel alto, la probabilidad se acerca a 1 de que supere cualquier otro nivel superior.

Todas las distribuciones de cola larga son de cola pesada, pero lo contrario es falso, y es posible construir distribuciones de cola pesada que no sean de cola larga.

Esta sección describe el concepto de subexponencial en el contexto de distribuciones de cola pesada. Existe una definición casi opuesta de distribuciones subexponenciales en el contexto de distribuciones subgaussianas de cola ligera .

La subexponencialidad se define en términos de convoluciones de distribuciones de probabilidad . Para dos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas${\displaystyle X_{1},X_{2}}$con una función de distribución común${\displaystyle F}$, la convolución de${\displaystyle F}$con sí mismo, escrito${\displaystyle F^{*2}}$y llamado cuadrado de convolución, se define utilizando la integración de Lebesgue-Stieltjes mediante:

${\displaystyle \Pr[X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{0}^{x}F(xy)\,dF(y),}$

y la convolución n -plegable${\displaystyle F^{*n}}$se define inductivamente por la regla:

${\displaystyle F^{*n}(x)=\int _{0}^{x}F(xy)\,dF^{*n-1}(y).}$

La función de distribución de cola${\displaystyle {\overline {F}}}$se define como${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$.

Una distribución${\displaystyle F}$en la semirrecta positiva es subexponencial ^{[ 1 ] [ 5 ] [ 2 ]} si

${\displaystyle {\overline {F^{*2}}}(x)\sim 2{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

Esto implica ^{[ 6 ]} que, para cualquier${\displaystyle n\geq 1}$,

${\displaystyle {\overline {F^{*n}}}(x)\sim n{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

La interpretación probabilística ^{[ 6 ]} de esto es que, para una suma de${\displaystyle n}$variables aleatorias independientes${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$con distribución común${\displaystyle F}$,

${\displaystyle \Pr[X_{1}+\cdots +X_{n}>x]\sim \Pr[\max(X_{1},\ldots ,X_{n})>x]\quad {\text{as }}x\to \infty .}$

Esto se conoce a menudo como el principio del único gran salto ^{[ 7 ]} o principio de catástrofe. ^{[ 8 ]}

Una distribución${\displaystyle F}$en toda la recta real es subexponencial si la distribución ${\displaystyle FI([0,\infty ))}$es. ^{[ 9 ]} Aquí${\displaystyle I([0,\infty ))}$es la función indicadora de la semirrecta positiva. Alternativamente, una variable aleatoria${\displaystyle X}$soportada en la recta real es subexponencial si y solo si${\displaystyle X^{+}=\max(0,X)}$es subexponencial.

Todas las distribuciones subexponenciales tienen colas largas, pero se pueden construir ejemplos de distribuciones con colas largas que no sean subexponenciales.

Con${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$una secuencia aleatoria de funciones de densidad independientes e idénticas${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$, el dominio de máxima atracción ^{[ 14 ]} de la densidad de valores extremos generalizada${\displaystyle H}$, dónde${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$. Si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }k(n)=\infty }$y ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {k(n)}{n}}=0}$, entonces la estimación del índice de cola de Pickands es ^{[ 6 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Pickands}}={\frac {1}{\ln 2}}\ln \left({\frac {X_{(n-k(n)+1,n)}-X_{(n-2k(n)+1,n)}}{X_{(n-2k(n)+1,n)}-X_{(n-4k(n)+1,n)}}}\right),}$

dónde${\displaystyle X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots ,X_{n}\right)}$Este estimador converge en probabilidad a${\displaystyle \xi }$.

Dejar${\displaystyle (X_{t},t\geq 1)}$Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$, el dominio máximo de atracción de la distribución generalizada de valores extremos${\displaystyle H}$, dónde${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$. La ruta de ejemplo es${\displaystyle {X_{t}:1\leq t\leq n}}$dónde${\displaystyle n}$es el tamaño de la muestra. Si ${\displaystyle \{k(n)\}}$es una secuencia de orden intermedio, es decir${\displaystyle k(n)\in \{1,\ldots ,n-1\},}$,${\displaystyle k(n)\to \infty }$y ${\displaystyle k(n)/n\to 0}$, entonces el estimador del índice de cola de Hill es ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Hill}}=\left({\frac {1}{k(n)}}\sum _{i=n-k(n)+1}^{n}\ln(X_{(i,n)})-\ln(X_{(n-k(n)+1,n)})\right)^{-1},}$

dónde${\displaystyle X_{(i,n)}}$es el${\displaystyle i}$-estadística de orden -ésimo de${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$Este estimador converge en probabilidad a${\displaystyle \xi }$y es asintóticamente normal siempre que${\displaystyle k(n)\to \infty }$está restringido en base a una propiedad de variación regular de orden superior ^{[ 16 ]} . ^{[ 17 ]} La consistencia y la normalidad asintótica se extienden a una gran clase de secuencias dependientes y heterogéneas, ^{[ 18 ] [ 19 ]} independientemente de si${\displaystyle X_{t}}$Se observa, o un residuo calculado o datos filtrados de una gran clase de modelos y estimadores, incluidos modelos mal especificados y modelos con errores dependientes. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} Nótese que tanto los estimadores de índice de cola de Pickand como los de Hill suelen utilizar el logaritmo de las estadísticas de orden. ^{[ 23 ]}

El estimador de razón (RE-estimador) del índice de cola fue introducido por Goldie y Smith. ^{[ 24 ]} Se construye de manera similar al estimador de Hill, pero utiliza un "parámetro de ajuste" no aleatorio.

Una comparación de los estimadores de tipo Hill y de tipo RE se puede encontrar en Novak. ^{[ 13 ]}

• aest Archivado el 25/11/2020 en Wayback Machine , herramienta C para estimar el índice de cola pesada. ^{[ 25 ]}