Grupo retenido

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Held He es un grupo simple esporádico de orden

   4.030.387.200 = 2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 ² · 7 ³ · 17    

≈ 4 × 10⁹ .

Es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por Dieter Held ( 1969a , 1969b ) durante una investigación de grupos simples que contienen una involución cuyo centralizador es una extensión del grupo extra especial 2 ¹⁺⁶ por el grupo lineal L ₃ (2), que es el mismo centralizador de involución que el grupo de Mathieu M _24. Un segundo grupo de este tipo es el grupo lineal L ₅ (2). El grupo de Held es la tercera posibilidad, y su construcción fue completada por John McKay y Graham Higman . En todos estos grupos, la extensión se divide. 

El grupo de automorfismos externos tiene orden 2 y el multiplicador de Schur es trivial.

La representación compleja fiel más pequeña tiene dimensión 51; existen dos representaciones de este tipo que son duales entre sí.

Centraliza un elemento de orden 7 en el grupo Monster . Como resultado , el número primo 7 desempeña un papel especial en la teoría del grupo; por ejemplo, la representación más pequeña del grupo Held sobre cualquier cuerpo es la representación de 50 dimensiones sobre el cuerpo con 7 elementos, y actúa de forma natural sobre un álgebra de operadores de vértice sobre el cuerpo con 7 elementos.

La representación de permutación más pequeña es una acción de rango 5 sobre 2058 puntos con estabilizador de punto Sp ₄ (4):2. El grafo asociado con esta representación tiene rango 5 y es dirigido ; el automorfismo exterior invierte la dirección de las aristas, disminuyendo el rango a 4.

Dado que He es el normalizador de un grupo de Frobenius 7:3 en el grupo Monster , no solo conmuta con un ciclo de 7, sino también con algunos ciclos de 3. Cada uno de estos ciclos de 3 está normalizado por el grupo de Fischer Fi ₂₄ , por lo que He:2 es un subgrupo del subgrupo derivado Fi ₂₄ ' (el grupo no simple Fi ₂₄ tiene 2 clases de conjugación de He:2, que están fusionadas por un automorfismo externo). Como se mencionó anteriormente, la representación de permutación más pequeña de He tiene 2058 puntos, y cuando se realiza dentro de Fi ₂₄ ', hay una órbita de 2058 transposiciones .

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que el fenómeno de la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Posteriormente, Larissa Queen y otros descubrieron que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para He , la serie de McKay-Thompson relevante es${\displaystyle T_{7A}(\tau )}$donde se puede establecer el término constante a(0) = 10 ( OEIS : A007264  ),

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=T_{7A}(\tau )+10\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{2}+7\left({\tfrac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+1956q^{4}+5135q^{5}+\dots \end{aligned}}}$

y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .

Se puede definir en términos de los generadores a y b y relaciones

${\displaystyle a^{2}=b^{7}=(ab)^{17}=[a,b]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4}ab^{2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.}$

Butler (1981) encontró las 11 clases de conjugación de subgrupos máximos de He de la siguiente manera:

• Butler, Gregory (1981), "Los subgrupos maximales del grupo simple esporádico de Held", Journal of Algebra , 69 (1): 67–81 , doi : 10.1016/0021-8693(81)90127-7 , ISSN 0021-8693 , MR 0613857  
• Held, D. (1969a), "Algunos grupos simples relacionados con M ₂₄ ", en Brauer, Richard ; Shah, Chih-Han (eds.), Theory of Finite Groups: A Symposium , WA Benjamin
• Held, Dieter (1969b), "Los grupos simples relacionados con M ₂₄ ", Journal of Algebra , 13 (2): 253– 296, doi : 10.1016/0021-8693(69)90074-X , MR 0249500 
• Ryba, AJE (1988), "Cálculo de los caracteres 7-modulares del grupo de Held", Journal of Algebra , 117 (1): 240–255 , doi : 10.1016/0021-8693(88)90252-9 , MR 0955602 

• MathWorld: Grupo retenido
• Atlas de representaciones de grupos finitos: Grupo de Held