métrica de Bures

En matemáticas , en el área de la geometría de la información cuántica , la métrica de Bures (nombrada en honor a Donald Bures) ^{[ 1 ]} o la métrica de Helstrom (nombrada en honor a Carl W. Helstrom ) ^{[ 2 ]} define una distancia infinitesimal entre operadores de matriz de densidad que definen estados cuánticos . Es una generalización cuántica de la métrica de información de Fisher y es idéntica a la métrica de Fubini-Study ^{[ 3 ]} cuando se restringe únicamente a los estados puros.

La métrica de Bures puede definirse como

${\displaystyle [D_{\text{B}}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}$

dónde${\displaystyle G}$es el operador de 1-forma hermitiana dado implícitamente por

${\displaystyle \rho G+G\rho =d\rho ,}$

que es un caso especial de una ecuación de Lyapunov continua .

Algunas de las aplicaciones de la métrica de Bures incluyen que, dado un error objetivo, permite el cálculo del número mínimo de mediciones para distinguir dos estados diferentes ^{[ 4 ]} y el uso del elemento de volumen como candidato para la densidad de probabilidad a priori de Jeffreys ^{[ 5 ]} para estados cuánticos mixtos.

La distancia de Bures es la versión finita de la distancia cuadrada infinitesimal descrita anteriormente y viene dada por

${\displaystyle D_{\text{B}}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2\left[1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}\right],}$

dónde${\displaystyle F}$es la fidelidad , y se define como ^{[ 6 ]}

${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})={\Big [}{\mbox{tr}}{\Big (}{\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}}{\Big )}{\Big ]}^{2}.}$

Otra función asociada es el arco de Bures, también conocido como ángulo de Bures, longitud de Bures o ángulo cuántico , definido como

${\displaystyle D_{\text{A}}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},}$

que es una medida de la distancia estadística ^{[ 7 ]} entre estados cuánticos.

Cuando ambos operadores de densidad son diagonales (de modo que son simplemente distribuciones de probabilidad clásicas), entonces sea${\displaystyle \rho _{1}=\mathrm {diag} (p_{1},\dots )}$y de manera similar${\displaystyle \rho _{2}=\mathrm {diag} (q_{1},\dots )}$⁠ , entonces la fidelidad es$${\displaystyle {\sqrt {F}}=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$$donde la longitud de Bures se convierte en la distancia de Wootters .${\displaystyle \textstyle \arccos \left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)}$⁠ . La distancia de Wootters es la distancia geodésica entre las distribuciones de probabilidad.${\displaystyle p,q}$bajo la métrica chi-cuadrado ^{[ 4 ]} ⁠${\displaystyle \textstyle ds^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}^{2}}{p_{i}}}}$.​

Realizar un cambio de variables con ⁠${\displaystyle x_{i}:={\sqrt {p_{i}}}}$⁠ , entonces la métrica chi-cuadrado se convierte en ⁠${\displaystyle \textstyle ds^{2}=\sum _{i}dx_{i}^{2}}$⁠ . Dado que ⁠${\displaystyle \textstyle \sum _{i}x_{i}^{2}=\sum _{i}p_{i}=1}$⁠ , los puntos${\displaystyle x}$Están restringidos a moverse en el cuadrante positivo de una hiperesfera unitaria. Por lo tanto, las geodésicas son simplemente los círculos máximos en la hiperesfera, y también obtenemos la fórmula de la distancia de Wootters.

Si ambos operadores de densidad son estados puros ,${\displaystyle \psi }$,​​${\displaystyle \phi }$⁠ , entonces la fidelidad es ⁠${\displaystyle {\sqrt {F}}=\vert \langle \psi \vert \phi \rangle \vert }$⁠ , y obtenemos la versión cuántica de la distancia de Wootters ⁠${\displaystyle \arccos(\vert \langle \psi \vert \phi \rangle \vert )}$⁠ . ^{[ 8 ]}

En particular, la distancia de Bures directa entre dos estados ortogonales cualesquiera es${\displaystyle {\sqrt {2}}}$⁠ , mientras que la distancia de Bures sumada a lo largo del camino geodésico que los conecta es ⁠${\displaystyle \pi /2}$.​

La métrica de Bures puede considerarse como el equivalente cuántico de la métrica de información de Fisher y puede reescribirse en términos de la variación de los parámetros de coordenadas como

${\displaystyle [D_{\text{B}}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

que se mantiene siempre y cuando${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \rho +d\rho }$tienen el mismo rango. En los casos en que no tienen el mismo rango, hay un término adicional en el lado derecho. ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle L_{\mu }}$es el operador de derivada logarítmica simétrica (SLD) definido en ^{[ 11 ].}

${\displaystyle {\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}}={\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu }}}.}$

De esta manera, uno tiene

${\displaystyle [D_{\text{B}}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

donde la métrica de Fisher cuántica (componentes tensoriales) se identifica como

${\displaystyle J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right].}$

La definición de SLD implica que la métrica de Fisher cuántica es 4 veces la métrica de Bures. En otras palabras, dado que${\displaystyle g_{\mu \nu }}$son componentes del tensor métrico de Bures, uno tiene

${\displaystyle J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.}$

Al igual que ocurre con la métrica de información de Fisher clásica, la métrica de Fisher cuántica se puede utilizar para encontrar la cota de Cramér-Rao de la covarianza .

El cálculo real de la métrica de Bures no es evidente a partir de la definición, por lo que se desarrollaron algunas fórmulas para ese propósito. Para sistemas de 2  ×  2 y 3  ×  3, respectivamente, la forma cuadrática de la métrica de Bures se calcula como ^{[ 12 ].}

${\displaystyle [D_{\text{B}}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],}$

${\displaystyle [D_{\text{B}}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho +{\frac {3\det {\rho }}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].}$

Para sistemas generales, la métrica de Bures se puede escribir en términos de los autovectores y autovalores de la matriz de densidad.${\displaystyle \textstyle \rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|}$como ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle [D_{\text{B}}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}$

como una integral, ^{[ 11 ]}

${\displaystyle [D_{\text{B}}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{-\rho t}d\rho ]\ dt,}$

o en términos de producto de Kronecker y vectorización , ^{[ 15 ]}

${\displaystyle [D_{\text{B}}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\dagger }{\big (}\rho ^{*}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho ],}$

dónde${\displaystyle ^{*}}$denota conjugado complejo y${\displaystyle ^{\dagger }}$denota la transpuesta conjugada . Esta fórmula es válida para matrices de densidad invertibles. Para matrices de densidad no invertibles, la inversa anterior se sustituye por la inversa de Moore-Penrose . Alternativamente, la expresión también puede calcularse realizando un límite sobre un estado mixto y, por lo tanto, invertible.

El estado de un sistema de dos niveles se puede parametrizar con tres variables como

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es el vector de matrices de Pauli y${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$es el vector de Bloch (tridimensional) que satisface ⁠${\displaystyle r^{2}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1}$⁠ . Los componentes de la métrica de Bures en esta parametrización se pueden calcular como

${\displaystyle {\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}.}$

La medida de Bures se puede calcular tomando la raíz cuadrada del determinante para encontrar

${\displaystyle dV_{\text{B}}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},}$

que se puede utilizar para calcular el volumen de Bures como

${\displaystyle V_{\text{B}}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}$

El estado de un sistema de tres niveles se puede parametrizar con ocho variables como

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}$

dónde${\displaystyle \lambda _{\nu }}$son las ocho matrices de Gell-Mann y${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}}$el vector de Bloch de 8 dimensiones que satisface ciertas restricciones.

• Métrica de Fubini-Estudio
• Fidelidad de los estados cuánticos
• Información de Fisher
• Métrica de información de Fisher

• Uhlmann, A. (1992). «La métrica de Bures y la fase geométrica». En Gielerak, R.; Lukierski, J.; Popowicz, Z. (eds.). Grupos y temas relacionados . Actas del Primer Simposio Max Born. pp. 267–274 . doi : 10.1007/978-94-011-2801-8_23 . ISBN  94-010-5244-1.
• Sommers, HJ; Zyczkowski, K. (2003). "Volumen de Bures del conjunto de estados cuánticos mixtos". Journal of Physics A . 36 (39): 10083– 10100. arXiv : quant-ph/0304041 . Bibcode : 2003JPhA...3610083S . doi : 10.1088/0305-4470/36/39/308 . S2CID 39943897 . 
• Dittmann, J. (1993). "Sobre la geometría riemanniana de estados mixtos de dimensión finita" (PDF) . Seminario Sophus Lie . 73 .
• Slater, Paul B. (1996). "Información cuántica de Fisher-Bures de sistemas de dos niveles y una extensión de tres niveles". J. Phys. A: Math. Gen. 29 ( 10): L271– L275. doi : 10.1088/0305-4470/29/10/008 .
• Nielsen, MA; Chuang, IL (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press. ISBN 0-521-63235-8.