Número figurado

El término número figurado es utilizado por diferentes autores para referirse a miembros de distintos conjuntos de números, generalizando desde los números triangulares hasta diferentes formas ( números poligonales ) y diferentes dimensiones (números poliédricos). Los antiguos matemáticos griegos ya consideraban los números triangulares , poligonales , tetraédricos y piramidales , ^{[ 1 ]} y los matemáticos posteriores han incluido otras clases de estos números, incluyendo números definidos a partir de otros tipos de poliedros y de sus análogos en otras dimensiones.

Algunos tipos de números figurados fueron discutidos en los siglos XVI y XVII bajo el nombre de "número figurado". ^{[ 2 ]}

En las obras históricas sobre matemáticas griegas, el término preferido solía ser número figurado . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En un uso que se remonta a Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli , ^{[ 1 ]} el término número figurado se utiliza para los números triangulares formados por enteros sucesivos , los números tetraédricos formados por números triangulares sucesivos, etc. Estos resultan ser los coeficientes binomiales . En este uso, los números cuadrados (4, 9, 16, 25, ...) no se considerarían números figurados cuando se visualizan dispuestos en un cuadrado.

Varias otras fuentes utilizan el término número figurado como sinónimo de números poligonales , ya sea solo el tipo habitual o ambos, los números poligonales centrados . ^{[ 5 ]}

Se dice que el estudio matemático de los números figurados se originó con Pitágoras , posiblemente basándose en precursores babilónicos o egipcios. También se le atribuye a Pitágoras la generación de la clase de números figurados que los pitagóricos estudiaron utilizando gnomones . Desafortunadamente, no hay una fuente confiable para estas afirmaciones, porque todos los escritos que se conservan sobre los pitagóricos ^{[ 6 ]} son ​​de siglos posteriores. ^{[ 7 ]} Speusipo es la fuente más antigua que expone la idea de que diez, como cuarto número triangular, era en realidad el tetractys , que se suponía que era de gran importancia para el pitagorismo . ^{[ 8 ]} Los números figurados eran una preocupación de la cosmovisión pitagórica. Se entendía bien que algunos números podían tener muchas figuraciones, por ejemplo, 36 es a la vez un cuadrado y un triángulo y también varios rectángulos.

El estudio moderno de los números figurados se remonta a Pierre de Fermat , específicamente al teorema de Fermat sobre los números poligonales . Posteriormente, se convirtió en un tema importante para Euler , quien proporcionó una fórmula explícita para todos los números triangulares que son también cuadrados perfectos , entre muchos otros descubrimientos relacionados con los números figurados.

Los números figurados han desempeñado un papel importante en las matemáticas recreativas modernas. ^{[ 9 ]} En matemáticas de investigación, los números figurados se estudian mediante los polinomios de Ehrhart , polinomios que cuentan el número de puntos enteros en un polígono o poliedro cuando se expande por un factor dado. ^{[ 10 ]}

Los números triangulares para n = 1, 2, 3, ... son el resultado de la yuxtaposición de los números lineales (gnomones lineales) para n = 1, 2, 3, ... :

Estos son los coeficientes binomiales${\displaystyle \textstyle {\binom {n+1}{2}}}$. Este es el caso r = 2 del hecho de que la r -ésima diagonal del triángulo de Pascal para r ≥ 0 consta de los números figurados para los análogos r -dimensionales de triángulos ( símplices r -dimensionales ).

Los números politópicos simpliciales para r = 1, 2, 3, 4, ... son:

• ${\displaystyle P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={\binom {n+0}{1}}={\binom {n}{1}}}$(números lineales),
• ${\displaystyle P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}}$( números triangulares ),
• ${\displaystyle P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}}$( números tetraédricos ),
• ${\displaystyle P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}}$(números pentacóricos, números pentatópicos , números 4-símplex),

${\displaystyle \qquad \vdots }$

• ${\displaystyle P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+(r-1)}{r}}}$( r - números de tópico, r - números simplex ).

Los términos número cuadrado y número cúbico derivan de su representación geométrica como un cuadrado o un cubo . La diferencia de dos números triangulares positivos es un número trapezoidal .

El gnomon es la pieza que se añade a un número figurado para transformarlo en el siguiente número mayor.

Por ejemplo, el gnomon del número cuadrado es el número impar , de la forma general 2 n + 1 , n = 0, 1, 2, 3, ... . El cuadrado de tamaño 8 compuesto por gnomones se ve así:

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&2&3&4&5&6&7&8\\3&3&3&4&5&6&7&8\\4&4&4&4&5&6&7&8\\5&5&5&5&5&6&7&8\\6&6&6&6&6&6&6&7&8\\7&7&7&7&7&7&7&7&8\\8&8&8&8&8&8&8&8\end{matrix}}}$

Para transformar un cuadrado de n lados (un cuadrado de tamaño n ) en un cuadrado de ( n + 1) lados, se añaden 2n + 1 elementos: uno al final de cada fila ( n elementos), uno al final de cada columna ( n elementos) y uno a la esquina. Por ejemplo, al transformar un cuadrado de 7 lados en un cuadrado de 8 lados, se añaden 15 elementos; estos elementos adicionales son los 8 de la figura anterior.

Esta técnica gnomónica también proporciona una prueba matemática de que la suma de los primeros n números impares es n ² ; la figura ilustra 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

Existe un gnomon similar con números hexagonales centrados que, al sumarse, forman cubos de cada número entero.

• Deza, Elena ; Deza, Michel Marie (2012), Figurar números , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3