Número pentatópico

En teoría de números , un número de pentatopo (o número hipertetraédrico o número triangular ) es un número en la quinta celda de cualquier fila del triángulo de Pascal, comenzando con la fila de 5 términos 1 4 6 4 1 , ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Recibe este nombre porque representa la cantidad de esferas unitarias tridimensionales que se pueden empaquetar en un pentatopo (un tetraedro de 4 dimensiones ) de longitudes de lado crecientes.

Los primeros números de este tipo son:

1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 210 , 330 , 495 , 715 , 1001 , 1365 (secuencia A000332 en el OEIS )

Los números pentatópicos pertenecen a la clase de números figurados , que pueden representarse como patrones geométricos regulares y discretos. ^{[ 1 ]}

La fórmula para el n -ésimo número pentatópico está representada por el cuarto factorial ascendente de n dividido por el factorial de 4:

${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}.}$

Los números pentatópicos también pueden representarse como coeficientes binomiales :

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}$

que es el número de cuádruples distintos que se pueden seleccionar de n + 3 objetos, y se lee en voz alta como " n más tres eligen cuatro".

Dos de cada tres números pentatópicos son también números pentagonales . Para ser precisos, el (3 k − 2) ésimo número pentatópico es siempre el${\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}-k}{2}}\right)}$el enésimo número pentagonal y el (3 k − 1) enésimo número pentopo es siempre el${\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}+k}{2}}\right)}$Número pentagonal (3k)-ésimo. El número pentagonal (3k ) -ésimo es el número pentagonal generalizado que se obtiene tomando el índice negativo.${\displaystyle -{\tfrac {3k^{2}+k}{2}}}$en la fórmula para números pentagonales. (Estas expresiones siempre dan números enteros ). ^{[ 2 ]}

La suma infinita de los recíprocos de todos los números pentatópicos es ⁠ 4 / 3 ⁠ . ^{[ 3 ]} Esto se puede derivar usando series telescópicas .

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4!}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}={\frac {4}{3}}.}$

Los números pentatópicos se pueden representar como la suma de los primeros n números tetraédricos : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Te} _{k},}$

y también están relacionados con los propios números tetraédricos:

${\displaystyle P_{n}={\tfrac {1}{4}}(n+3)\mathrm {Te} _{n}.}$

Ningún número primo es predecesor de un número pentatópico (solo necesita comprobar −1 y 4 = 2 ² ), y el semiprimo más grande que es predecesor de un número pentatópico es 1819.

De manera similar, los únicos números primos que preceden a un número 6-símplex son 83 y 461.

Podemos derivar esta prueba a partir de la fórmula para el n -ésimo número pentatópico.

Dado un entero positivo x , para comprobar si es un número pentatópico podemos calcular la raíz positiva utilizando el método de Ferrari :

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {5+4{\sqrt {24x+1}}}}-3}{2}}.}$

El número x es pentatópico si y solo si n es un número natural . En ese caso, x es el n -ésimo número pentatópico.

La función generadora para los números pentatópicos es ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .}$

En bioquímica , los números pentatópicos representan el número de posibles disposiciones de n subunidades polipeptídicas diferentes en una proteína tetramérica (tetraédrica).