Heptágono

El área ( A ) de un heptágono regular de lado a viene dada por:

${\displaystyle A={\tfrac {7}{4}}a^{2}\cot {\tfrac {1}{7}}\pi \simeq 3.634a^{2}.}$

Esto se puede ver subdividiendo el heptágono de lado unitario en siete "porciones de pastel" triangulares con vértices en el centro y en los vértices del heptágono, y luego dividiendo cada triángulo por la mitad usando la apotema como lado común. La apotema es la mitad de la cotangente de ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$y el área de cada uno de los 14 triángulos pequeños es un cuarto de la apotema.

El área de un heptágono regular inscrito en un círculo de radio R es${\displaystyle {\tfrac {7}{2}}R^{2}\sin {\tfrac {2}{7}}\pi,}$mientras que el área del círculo en sí es${\displaystyle \pi R^{2};}$De este modo, el heptágono regular ocupa aproximadamente el 0,8710 de su círculo circunscrito.

Como 7 es un primo de Pierpont pero no un primo de Fermat , el heptágono regular no se puede construir con regla y compás, pero sí con regla graduada y compás. Es el polígono regular más pequeño con esta propiedad. Este tipo de construcción se llama construcción de neusis . También se puede construir con compás, regla y trisectriz de ángulos . La imposibilidad de la construcción con regla y compás se deduce de la observación de que${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi \approx 1.247}$es un cero del ^polinomio cúbico irreducible x³ + x² ⁻ 2x − 1. En consecuencia, este polinomio es el polinomio mínimo de ⁠${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi }$⁠ , mientras que el grado del polinomio mínimo para un número construible debe ser una potencia de 2.

Una aproximación para uso práctico con un error de aproximadamente 0,2% consiste en usar la mitad del lado de un triángulo equilátero inscrito en el mismo círculo como la longitud del lado de un heptágono regular. Se desconoce quién descubrió esta aproximación por primera vez, pero fue mencionada por la Métrica de Herón de Alejandría en el siglo I d. C., era bien conocida por los matemáticos islámicos medievales y se puede encontrar en la obra de Alberto Durero . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Sea A un punto situado en la circunferencia de la circunferencia circunscrita. Dibuje el arco BOC . Entonces${\displaystyle \textstyle {BD={\tfrac {1}{2}}BC}}$proporciona una aproximación para el borde del heptágono.

Esta aproximación utiliza${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\aproximadamente 0,86603}$para el lado del heptágono inscrito en el círculo unitario mientras que el valor exacto es${\displaystyle \textstyle 2\sin {\tfrac {1}{7}}\pi \aproximadamente 0,86777}$.

Ejemplo para ilustrar el error: En un círculo circunscrito con radio r = 1 m , el error absoluto del primer lado sería aproximadamente − 1,7 mm.

Existen otras aproximaciones de un heptágono utilizando compás y regla, pero su dibujo requiere mucho tiempo. ^{[ 4 ]}

El heptágono regular pertenece al grupo puntual D _7h ( notación de Schoenflies ), orden 28. Los elementos de simetría son: un eje de rotación propio de orden 7, C ₇ , un eje de rotación impropio de orden 7, S ₇ , 7 planos de simetría verticales, σ _v , 7 ejes de rotación de orden 2, C ₂ , en el plano del heptágono y un plano de simetría horizontal, σ _h , también en el plano del heptágono. ^{[ 6 ]}

El lado a del heptágono regular , la diagonal más corta b y la diagonal más larga c , con a < b < c , satisfacen ^{[ 7 ] : Lema 1}

${\displaystyle a^{2}=c(cb),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ (la ecuación óptica )

y por lo tanto

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

y ^{[ 7 ] : Coro. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

Por lo tanto, b / c , c / a y a / b satisfacen la ecuación cúbica.${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$Sin embargo, no existen expresiones algebraicas con términos puramente reales para las soluciones de esta ecuación, porque es un ejemplo de casus irreducibilis .

Las longitudes aproximadas de las diagonales en términos del lado del heptágono regular vienen dadas por

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

También tenemos ^{[ 8 ]}

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

y

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

Un triángulo heptagonal tiene vértices que coinciden con el primer, segundo y cuarto vértice de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario) y ángulos ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$,​​${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}\pi }$y​​${\displaystyle {\tfrac {4}{7}}\pi }$⁠ . Por lo tanto, sus lados coinciden con un lado y dos diagonales particulares del heptágono regular. ^{[ 7 ]}

Aparte del prisma heptagonal y el antiprisma heptagonal , ningún poliedro convexo formado enteramente por polígonos regulares contiene un heptágono como cara.