Anillo de Herman

En la disciplina matemática conocida como dinámica compleja , el anillo de Herman es un componente de Fatou ^{[ 1 ]} donde la función racional es conformemente conjugada a una rotación irracional del anillo estándar .

Definición formal

Es decir, si ƒ posee un anillo de Herman U con periodo p , entonces existe una aplicación conforme.

\phi :U\rightarrow \{\zeta :0<r<|\zeta |<1\}

y un número irracional $\theta$ , de tal manera que

\phi \circ f^{\circ p}\circ \phi ^{-1}(\zeta )=e^{2\pi i\theta }\zeta .

Por lo tanto, la dinámica en el anillo de Herman es simple.

Nombre

Fue introducido por, y posteriormente nombrado en honor a, Michael Herman (1979 ^{[ 2 ]} ), quien fue el primero en encontrar y construir este tipo de componente Fatou.

Función

Los polinomios no tienen anillos de Herman.
Las funciones racionales pueden tener anillos de Herman. Según el resultado de Shishikura, si una función racional ƒ posee un anillo de Herman, entonces el grado de ƒ es al menos 3.
Los mapas enteros trascendentales no los tienen ^{[ 3 ]}
Las funciones meromorfas pueden poseer anillos de Herman. T. Nayak estudió los anillos de Herman para funciones meromorfas trascendentales. Según un resultado de Nayak, si existe un valor omitido para dicha función, entonces no existen anillos de Herman de periodo 1 o 2. Además, se demuestra que si solo hay un polo y al menos un valor omitido, la función no tiene anillo de Herman de ningún periodo.

Ejemplos

Herman y la cuenca parabólica

Aquí hay un ejemplo de una función racional que posee un anillo de Herman. ^{[ 1 ]}

f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}

dónde $\tau =0.6151732\dots$ de tal manera que el número de rotación de ƒ en el círculo unitario sea $({\sqrt {5}}-1)/2$ .

La imagen que se muestra a la derecha es el conjunto de Julia de ƒ : las curvas en el anillo blanco son las órbitas de algunos puntos bajo las iteraciones de ƒ, mientras que la línea discontinua denota el círculo unitario.

Existe un ejemplo de función racional que posee un anillo de Herman y, al mismo tiempo, algunos componentes parabólicos periódicos de Fatou .

Una función racional $f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^{3}\,{\frac {1-{\overline {a}}z}{za}}\,{\frac {1-{\overline {b}}z}{zb}}$ que posee un anillo de Herman y algunos componentes parabólicos periódicos de Fatou, donde $t=0.6141866\dots ,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i$ de tal manera que el número de rotación de $f_{t,a,b}$ en el círculo unitario es $({\sqrt {5}}-1)/2$ La imagen ha sido rotada.

{\displaystyle f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^{3}\,{\frac {1-{\overline {a}}z}{za}}\,{\frac {1-{\overline {b}}z}{zb}}} — Una función racional $f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^{3}\,{\frac {1-{\overline {a}}z}{za}}\,{\frac {1-{\overline {b}}z}{zb}}$ que posee un anillo de Herman y algunos componentes parabólicos periódicos de Fatou, donde $t=0.6141866\dots ,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i$ de tal manera que el número de rotación de $f_{t,a,b}$ en el círculo unitario es $({\sqrt {5}}-1)/2$ La imagen ha sido rotada.

Anillo Herman del período 2

Además, existe una función racional que posee un anillo de Herman con periodo 2.

Aquí la expresión de esta función racional es

g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(za)}{zb}}+c,\,

dónde

{\begin{aligned}a&=0.17021425+0.12612303i,\\b&=0.17115266+0.12592514i,\\c&=-1.18521775-0.16885254i.\end{aligned}}

Este ejemplo fue construido mediante cirugía cuasiconforme ^{[ 4 ]} a partir del polinomio cuadrático.

h(z)=z^{2}-1-{\frac {e^{{\sqrt {5}}\pi i}}{4}}

que posee un disco de Siegel con período 2. Los parámetros a , b , c se calculan por ensayo y error .

Alquiler

{\begin{aligned}a&=0.14285933+0.06404502i,\\b&=0.14362386+0.06461542i,{\text{ y}}\\c&=-0.18242894-0.81957139i,\end{aligned}}

Entonces, el período de uno de los anillos de Herman de g _{a , b , c} es 3.

Shishikura también dio un ejemplo: ^{[ 5 ]} una función racional que posee un anillo de Herman con período 2, pero los parámetros mostrados arriba son diferentes a los suyos.

Anillo Herman del Periodo 5

Entonces surge una pregunta: ¿Cómo encontrar las fórmulas de las funciones racionales que poseen anillos de Herman con período superior?

Esta pregunta puede responderse (para cualquier período > 0) utilizando el conjunto de Mandelbrot para las funciones racionales g _{a , b , c} . El conjunto de Mandelbrot clásico (para polinomios cuadráticos) se aproxima iterando el punto crítico para cada uno de dichos polinomios e identificando los polinomios para los cuales las iteraciones del punto crítico no convergen al infinito. De manera similar, se puede definir un conjunto de Mandelbrot para el conjunto de funciones racionales g _{a , b , c} distinguiendo entre los valores de (a,b,c) en el espacio complejo tridimensional para los cuales los tres puntos críticos (es decir, los puntos donde la derivada se anula) de la función convergen al infinito, y los valores cuyos puntos críticos no convergen todos al infinito.

Para cada valor de a y b, el conjunto de Mandelbrot para g _{a , b , c} se puede calcular en el plano de los valores complejos c. Cuando a y b son casi iguales, este conjunto se aproxima al conjunto de Mandelbrot clásico para polinomios cuadráticos, ya que g _{a , b , c} es igual a x ² + c cuando a=b. En el conjunto de Mandelbrot clásico, los discos de Siegel se pueden aproximar eligiendo puntos a lo largo del borde del conjunto de Mandelbrot con un número de vueltas irracional que tenga una expansión en fracción continua con denominadores acotados. Los números irracionales, por supuesto, solo se aproximan en su representación computacional. Estos denominadores se pueden identificar mediante la secuencia de nodos a lo largo del borde del conjunto de Mandelbrot que se aproximan al punto. De manera similar, los anillos de Herman se pueden identificar en un conjunto de Mandelbrot de funciones racionales observando una serie de nodos dispuestos a ambos lados de una curva y eligiendo puntos a lo largo de esa curva, evitando los nodos adyacentes, obteniendo así una secuencia deseada de denominadores en la expansión en fracción continua del número de rotación. A continuación se ilustra una sección plana del conjunto de Mandelbrot de g _{a , b ,c} con |ab| = .0001, y con c centrado en un valor de c que identifica un ciclo de 5 discos de Siegel en el conjunto clásico de Mandelbrot.

Conjunto de Mandelbrot de la función racional g, en el plano c, cerca de 5 ciclos.

La imagen anterior utiliza a = 0,12601278 + 0,0458649i, b = 0,12582484 + 0,045796497i, y está centrada en un valor de c = 0,3688 - 0,3578, que está cerca de 5 ciclos de discos de Siegel en el conjunto clásico de Mandelbrot. En la imagen anterior, un 5-ciclo de anillos de Herman se puede aproximar eligiendo un punto c a lo largo de la curva ilustrada anteriormente que tiene nodos en ambos lados, para el cual g _{a , b ,c} tiene aproximadamente el número de vueltas deseado, utilizando los siguientes valores:

${\begin{aligned}a&=.12601278+.0458649i,\\b&=.12582484+.045796497i,{\text{ y}}\\c&=0.37144067-.35829275i,\end{aligned}}$

El ciclo de 5 anillos de Herman resultante se ilustra a continuación:

Conjunto de Julia g que muestra un anillo Herman del período 5.

Véase también

Referencias

1 2 John Milnor , Dinámica en una variable compleja : Tercera edición, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006.
^ Herman, Michael-Robert (1979), "Sur la conjugaison différentiable des diféomorphismes du cercle à des rotaciones" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 49 (49): 5– 233, doi : 10.1007/BF02684798 , ISSN 1618-1913 , SEÑOR 0538680 , S2CID 118356096
↑ Valores omitidos y anillos de Herman por Tarakanta Nayak.
↑ Mitsuhiro Shishikura , Sobre la cirugía cuasiconforme de funciones racionales . Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 20 (1987), n.º 1, 1–29.
↑ Mitsuhiro Shishikura , Cirugía de sistemas dinámicos analíticos complejos , en "Sistemas dinámicos y oscilaciones no lineales", editado por Giko Ikegami, World Scientific Advanced Series in Dynamical Systems, 1, World Scientific, 1986, 93–105.

[dyn-1] 1 2 John Milnor , Dinámica en una variable compleja : Tercera edición, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006.

[2] Herman, Michael-Robert (1979), "Sur la conjugaison différentiable des diféomorphismes du cercle à des rotaciones" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 49 (49): 5– 233, doi : 10.1007/BF02684798 , ISSN 1618-1913 , SEÑOR 0538680 , S2CID 118356096

[3] Valores omitidos y anillos de Herman por Tarakanta Nayak.

[4] Mitsuhiro Shishikura , Sobre la cirugía cuasiconforme de funciones racionales . Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 20 (1987), n.º 1, 1–29.

[5] Mitsuhiro Shishikura , Cirugía de sistemas dinámicos analíticos complejos , en "Sistemas dinámicos y oscilaciones no lineales", editado por Giko Ikegami, World Scientific Advanced Series in Dynamical Systems, 1, World Scientific, 1986, 93–105.

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