Disco Siegel

Un disco de Siegel o disco de Siegel es un componente conexo en el conjunto de Fatou donde la dinámica es analíticamente conjugada a una rotación irracional .

Dado un endomorfismo holomorfo${\displaystyle f:S\to S}$en una superficie de Riemann${\displaystyle S}$consideramos el sistema dinámico generado por las iteraciones de${\displaystyle f}$denotado por${\displaystyle f^{n}=f\circ {\stackrel {\left(n\right)}{\cdots }}\circ f}$Entonces llamamos órbita${\displaystyle {\mathcal {O}}^{+}(z_{0})}$de${\displaystyle z_{0}}$como el conjunto de iteraciones hacia adelante de${\displaystyle z_{0}}$. Nos interesa el comportamiento asintótico de las órbitas en${\displaystyle S}$(que normalmente será${\displaystyle \mathbb {C} }$, el plano complejo o${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, la esfera de Riemann ), y la llamamos${\displaystyle S}$el plano de fase o plano dinámico .

Un posible comportamiento asintótico para un punto${\displaystyle z_{0}}$es ser un punto fijo , o en general un punto periódico . En este último caso${\displaystyle f^{p}(z_{0})=z_{0}}$dónde${\displaystyle p}$es el período y${\displaystyle p=1}$medio${\displaystyle z_{0}}$es un punto fijo. Entonces podemos definir el multiplicador de la órbita como${\displaystyle \rho =(f^{p})'(z_{0})}$y esto nos permite clasificar las órbitas periódicas como atractivas si${\displaystyle |\rho |<1}$superatractivo si${\displaystyle |\rho |=0}$), repeliendo si${\displaystyle |\rho |>1}$y indiferente si${\displaystyle |\rho |=1}$. Las órbitas periódicas indiferentes pueden ser racionalmente indiferentes o irracionalmente indiferentes , dependiendo de si${\displaystyle \rho ^{n}=1}$para algunos${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$o${\displaystyle \rho ^{n}\neq 1}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, respectivamente.

Los discos de Siegel son uno de los posibles casos de componentes conexas en el conjunto de Fatou (el conjunto complementario del conjunto de Julia ), según la Clasificación de componentes de Fatou , y pueden aparecer alrededor de puntos periódicos irracionalmente indiferentes. El conjunto de Fatou es, aproximadamente, el conjunto de puntos donde las iteraciones se comportan de manera similar a sus vecinos (forman una familia normal ). Los discos de Siegel corresponden a puntos donde la dinámica de${\displaystyle f}$son analíticamente conjugados a una rotación irracional del disco unitario complejo .

El disco Siegel recibe su nombre en honor a Carl Ludwig Siegel .

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  Disco de Siegel para una aplicación de tipo polinomial ^{[ 1 ]}
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  Julia se prepara para${\displaystyle B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)}$, dónde${\displaystyle a=15-15i}$y${\displaystyle \lambda }$es la proporción áurea . Las órbitas de algunos puntos dentro del disco de Siegel enfatizaron
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  Julia se prepara para${\displaystyle B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)}$, dónde${\displaystyle a=-0,33258+0,10324i}$y${\displaystyle \lambda }$es la proporción áurea . Se enfatizan las órbitas de algunos puntos dentro del disco de Siegel . El disco de Siegel es ilimitado o su frontera es un continuo indescomponible . ^{[ 2 ]}
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  Julia llena se prepara para${\displaystyle f_{c}(z)=z*z+c}$para el número de rotación de la Proporción Áurea con el interior coloreado proporcional a la velocidad discreta promedio en la órbita = abs( z_(n+1) - z_n ). Nótese que solo hay un disco de Siegel y muchas preimágenes de las órbitas dentro del disco de Siegel.
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  Disco de Siegel plegado cerca de 1/2
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  Disco de Siegel plegándose cerca de 1/3. Se puede ver un disco de Siegel virtual.
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  Disco de Siegel plegado cerca de 2/7
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  Julia estableció fc(z) = z*z+c donde c = -0.749998153581339 +0.001569040474910*I. El ángulo interno en giros es t = 0.49975027919634618290
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  Conjunto de polinomios cuadráticos de Julia con disco de Siegel para número de rotación [3,2,1000,1...]
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Dejar${\displaystyle f\colon S\to S}$ser un endomorfismo holomorfo donde${\displaystyle S}$es una superficie de Riemann , y sea U un componente conexo del conjunto de Fatou.${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$Decimos que U es un disco de Siegel de f alrededor del punto${\displaystyle z_{0}}$si existe un biholomorfismo${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {D} }$dónde${\displaystyle \mathbb {D} }$es el disco de la unidad y tal que${\displaystyle \phi (f^{n}(\phi ^{-1}(z)))=e^{2\pi i\alpha n}z}$para algunos${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$y${\displaystyle \phi (z_{0})=0}$.

El teorema de Siegel prueba la existencia de discos de Siegel para números irracionales que satisfacen una condición de irracionalidad fuerte (una condición diofántica ), resolviendo así un problema abierto ya que Fatou conjeturó su teorema sobre la clasificación de componentes de Fatou . ^{[ 3 ]}

Más tarde, Alexander D. Brjuno mejoró esta condición de irracionalidad, ampliándola a los números de Brjuno . ^{[ 4 ]}

Esto forma parte del resultado de la Clasificación de los componentes de Fatou .

• Conejo Douady
• Anillo de Herman

• Discos de Siegel en Scholarpedia